2015年全国高考数学新课标II卷(理)试题及答案word版_图文


2015 年全国高考数学新课标 II(理)试题及答案
第I卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. (1)已知集合 A={ ? 2,?1,0,1,2 },B={ x | ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 },则 A ? B ? (A) {?1,0} (B){0,1} (C) {?1,0,1} (D){0,1,2}

(2)若 a 为实数,且 (2 ? ai)(a ? 2i) ? ?4i ,则 a ? (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不 正确的是

(A)逐年比较,2008 年减少二氧化硫的效果最明显 (B)2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 (C)2006 年以来我国治理二氧化硫排放量呈减少趋势 (D)2006 年以来我国治理二氧化硫排放量与年份正相关 (4)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 3, a1 ? a3 ? a5 ? 21,则 a3 ? a5 ? a7 ? (A)21 (B)42 (C)63 (D)84

?1 ? log (2 ? x), x ? 1 (5)设函数 f ( x) ? ? x ?1 2 ,则 f (?2) ? f (log2 12) ? , x ?1 ? 2
(A)3 (B)6 (C)9 (D)12

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右,则截去部分体积和剩余部分体积 的比值为 (A)
1 8 1 7 1 6 1 5

(B)

(C)

(D)

(7)过三点 A(1,3), B(4,2), C (1,?7) 的圆交 y 轴于 M , N 两点,则 MN ?
1

(A) 2 6

(B)8

(C) 4 6

(D)10

(8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”. 执行该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18, 则输出的 a ? (A)0 (B)2 (C)4 (D)14 (9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? ,C 为该球面上的动点. 若三棱锥 O ? ABC 体积的最 大值为 36,则求 O 的表面积为
36? (A)

(B)64?

144 ? (C)

(D)256 ?

(10)如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2, BC ? 1 ,O 是 AB 的中点,点 P 沿 着边 BC,CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x . 将动点 P 到 A,B 两点距离之和 表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y ? f ( x) 的图像大致是

(A)

(B)

(C)

(D)

(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左右顶点,点 M 在 E 上, ? ABM 为等腰三角形,且顶角为 120 ? ,则 E 的离心率是 (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2

(12)设函数 f ?( x ) 是奇函数 f ( x)(x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得
f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是

(A) (??,?1) ? (0,1) (C) (??,?1) ? (?1,0)

0) ? (1, ? ?) (B) (?1, ? ?) (D) (0,1) ? (1,
2

第 II 卷 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)设向量 a, b 不平行,向量 ? a ? b与a ? 2b 平行,则实数 ? ? _______
? x ? y ?1 ? 0 ? (14)若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为_______ ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

(15) (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? _______ (16)设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? ?1, an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn ? _______ 三.解答题 (17)(本小题满分 12 分)
?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ?BAC, ?ABD面积是 ?ADC 的 2 倍.

(1)求

sin ?B ; sin ?C

(2)若 AD=1, DC ?

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

(18)(本小题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区随机调查了 20 个用户,得到用户对产品满意 度的评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平 均值及分散程度(不要求计算具体值,给出结论即可); (II)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意
3

不低于 90 分 非常满意

记事件 C:“A 地区用户满意度等级高于 B 地区用户满意度等级”. 假设两地区用户的评价结果相 互独立. 根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率.

(19)(本小题满分 12 分) 如图, 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,AB ? 16, BC ? 10, AA F 分别在 A1 B1 , D1C1 上,A1E ? D1F ? 4 . 1 ? 8, 点 E, 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (I)在图中画出这个正方形,不必说明画法和理由; (II)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值.

(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 9 x 2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A,B, 线段 AB 的中点为 M. (I)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率之积为定值; (II)若 l 过点 (
m , m ) ,延迟线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此 3

时 l 的斜率;若不能,说明理由.

(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx (I)证明: f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0,??) 单调递增;
4

(II)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ,求 m 的取值范围.

请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按第一题计分. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (I)证明:EF//BC; (II)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN= 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? t cos? 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ? (t为参数,t ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? . 在以 O 为极点, x 轴正 ? y ? t sin ?
半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2 sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2与C3 交点的直角坐标; (II)若 C1与C2 相交于点 A, C1与C3 相交于点 B,求 AB 的最大值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.
5

6

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