基本不等式应用技巧之高级篇


基本不等式应用技巧之高级篇
基本不等式在不等式的证明、求最大值、最小值的有些问题上给我们带来了很大 的方便,但有时很想用基本不等式,却感到力不从心。这需要一点技巧,就是要能适 当的配凑,即把相关的系数做适当的配凑。比如下面的例题 1。

例题1. 已知 x ?

1 5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 4 x ? 5 的最大值。 4

解:因 x ? 5 ,所以 4 x ? 5 ? 0
4



这可以先调整式子的符号,但 (4 x ? 2)
y ? 4x ? 2 ?

1 不是常数,所以必须对 4 x ? 2 进行拆分。 4x ? 5

1 1 ? ?(5 ? 4 x ? ) ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4x ? 5 5 ? 4x
1

当且仅当 5 ? 4 x ? 5 ? 4 x ,即 x ? 1 时取等号。
故当 x ? 1 时, ymax ? 1

但是有些题目的配凑并不是这么显然。我们应该如何去配凑,又有何规律可循 呢?请看下面的例题 2. 例题2. 设 x, y , z , w 是不全为零的实数,求

xy ? 2 yz ? zw 的最大值。 x ? y 2 ? z 2 ? w2
2

显然我们只需考虑 x ? 0, y ? 0, z ? 0, w ? 0 的情形,但直接使用基本不等式是不行的, 我们假设可以找到相应的正参数 ? , ? 满足:

x 2 ? y 2 ? z 2 ? w2 ? ( x 2 ? ? y 2 ) ? (1 ? ? ) y 2 ? ? z 2 ? ( 1 ? ?)z 2 ? w2 ? 2 ? xy ? 2 (1 ? ? ) ? yz ? 2 (1 ? ? ) zw
故依据取等号的条件得,

1 2 ?

?

2 1 ? ? t ,参数 t 就是我们要求的最大值。 2 (1 ? ? ) ? 2 1 ? ?

消去 ? , ? 我们得到一个方程 4t 2 ? 4t ? 1 ? 0 此方程的最大根为我们所求的最大值

得到 t ?

2 ?1 2

从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式

1 2 ?

?

,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为 2 1 ? 2 (1 ? ? )? 2 1 ? ?

了取得最值。 我们再看一些类似的问题,请大家细心体会。 例题3. 设 x, y , z , w 是不全为零的实数,求 引入参数 ? , ? , ? 使其满足:

16 x ? 9 2 xy ? 9 3 3xyz 的最大值。 x ? 2y ? z

x ? 2 y ? z ? (1 ? ? ? ? ) x ? ? x ? ? y ? ? x ? (2 ? ? ) y ? z ? (1 ? ? ? ? ) x ? 2 ?? xy ? 3 3 ? (2 ? ? ) xyz
依据取等号条件,我们有

16 9 2 93 3 ? ? ?t 1 ? ? ? ? 2 ?? 3 3 ? (2 ? ? ) xyz

消去参数 ? , ? , ? 我们得到一个方程

(t ?18)(16t 5 ? 224t 4 ? 584t 3 ?1440t 2 ? 1377t ?1458) ? 0
解得 t ? 18 这就是我们所求的最大值。因此,

16 x ? 9 2 xy ? 9 3 xyz ? x ? 2y ? z 3( x ? 18 y ) x ? 18 y ? 36 z 16 x ? ? 2 2 ? ? 18 x ? 2y ? z
3

16 x ? 3 x ?18 y ?

3 3 x ?18 y ? 36 z 2 x ? 2y ? z

当且仅当 x : y : z ? 1:18 : 36 取等号。

再看看下面这个题目。

10 x 2 ? 10 y 2 ? z 2 例题4. 设 x, y , z 是正实数,求 的最小值。 xy ? yz ? zx
解:引进参数 k ,使之满足:

z2 z2 2 10 x ? 10 y ? z ? kx ? ky ? (10 ? k ) x ? ? (10 ? k ) y ? 2 2 ? 2kxy ? 2(10 ? k )( yz ? zx)
2 2 2 2 2 2

依据取等号的条件,有: 2k ? 2(10 ? k ) ? t ? t ? 4 故

10 x 2 ? 10 y 2 ? z 2 的最小值 4. xy ? yz ? zx

例题5. 设 x, y , z 是正实数且满足 x ? y ? z ? 3 ,求 x2 ? y 2 ? z 3 的最小值。 解:观察题目的结构考虑到 x, y , z 的对称性,引进参数 k , l

? x 2 ? k 2 ? 2 xk ? 2 2 2 3 2 2 2 2 ? y ? k ? 2 yk ? x ? y ? z ? 2(k ? l ) ? 2k ( x ? y) ? 3l z ? z 3 ? l 3 ? l 3 ? 3zl 2 ?
由取等号的条件有: 2k 2 ? 3l 2 , k ? x, k ? y, z ? l ? 2k ? l ? 3 解得 k ?

19 ? 37 ?1 ? 37 ,l ? 12 6 317 ? 43 37 108

所以, x2 ? y 2 ? z3 ? 2k ( x ? y) ? 3l 2 z ? 2(k 2 ? l 2 ) ? 6k ? 2(k 2 ? l 2 ) ? 例题6. 设 x , y 是正实数且满足 x ? y ? 1 ,求

1 8 ? 2 的最小值。 2 x y

解:考虑到 x ? y ? 1 ,为了使用基本不等式,我们引进参数 k : k ? k ( x ? y ) 则

1 8 1 8 1 kx kx 8 ky ky k2 3 ? ? k ? ? ? k ( x ? y ) ? ? ? ? ? ? ? ? 9 x2 y 2 x2 y 2 x2 2 2 y 2 2 2 4

? 1 kx ? x2 ? 2 ? 2 1 ? 8 ky ? 3 ? ? k ? 54 由取等号的条件: ? 2 ? 2 k 3 ?y ?x ? y ? 1 ? ?
所以

1 8 k2 3 ? ? 9 ? k ? 27 x2 y 2 4

例题7. 若 x ? 2 xy ? a( x ? y) 对任意的正实数 x , y 恒成立,求 a 的最小值。

解: x ? 2 xy ? a( x ? y) 对任意的正实数 x , y 恒成立, 所以

x ? 2 xy ? a 对任意的正实数 x , y 恒成立。 x? y

设 x ? y ? (1 ? k ) x ? kx ? y ? (1 ? k ) x ? 2 kxy 由取等号条件:

1 2 ? ?t 1? k k
解得: t ?

消去 k ,可以得到: t 2 ? t ? 1 ? 0

5 ?1 2

因此 a 的最小值为

5 ?1 。 2

例题8. 若 a ? ? , b ? ? 且 a ? b ? 1 ,求证: 2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2 2 分析:使用柯西不等式很简单处理了,但我们还是玩一下基本不等式。

1 2

1 2

2a ? 1 ? m2 ? ? 2a ? 1 m2 ? ? 2a ? 1 ? m 2 m 2 ? 设? 2b ? 1 ? m2 ? ? 2b ? 1 ? m 2b ? 1 ? m2 ? m2 2 ?

? 2a ? 1 ? 2b ? 1 ?

m2 ?

2a ? 1 2b ? 1 m2 ? 2 m ? m2 ? m2 ? 2 2 2 m2

考虑到取等号的条件,有

? 2 2a ? 1 ?m ? m2 ? 1 ? 2 2b ? 1 ? a ? b ? , m2 ? 2 ?m ? 2 m 2 ? ? a ?b ?1 ? ?
所以, 2a ? 1 ? 2b ? 1 ? m 2 ?

2 ?2 2 m2

例题9. 有一边长为 a , b ( a ? b )的长方形纸板,在四个角各裁出一个大小相同的正方 形,把四边折起做成一个无盖的盒子,要使盒子的容积最大,问裁去的正方形的 边长应为多少? 分析:这是一个高考题,很古老了。可以利用函数和导数来解决。但我们也可以用基 本不等式来处理它。 解:设裁去的正方形的边长为 x ,则做成的无盖长方体容积为

b V=x(a ? x)(b ? 2 x) , (0 ? x ? ) 2
引入参数 m, n ,则

V=x(a ? x)(b ? 2 x) ?

1 (mx)n(a ? 2 x)(b ? 2 x) mn

mx ? n(a ? 2 x) ? (b ? 2 x) 3 ) ((m? 2 n ? 2) x ? na ? b)3 3 ? ? mn 27mn (
由取等号的条件得 mx ? n(a ? 2 x) ? b ? 2 x 当 m ? 2n ? 2 ? 0 时,右边为常数。 故当二者同时成立时,函数有最大值。 消去参数得到: 12 x2 ? 4(a ? b) x ? ab ? 0 解之得

(a ? b) ? a 2 ? ab ? b2 x? 6

b (0 ? x ? ) 2

(a ? b) ? a 2 ? ab ? b2 故 x? 6
Vmax =[x(a ? x)(b ? 2 x)]max ? (na ? b) [(a ? b)(2 a ? b) ? (a ? ab ? b )] ? 27mn 54
3 2 2 3 2

例题10. 求函数 y ? x 2 ? x ?

1 ( x ? 0) 的最小值。 2x
1 1? ? ? ? x2 ? x ? ? 数用单调性的方法。但 2x 2x 2x

分析:单变量函数优选求导 y ? x 2 ? x ? 本题也是可以使用基本不等式的。 解:引进参数 ? >0,

则 y ? x2 ? x ?

1 1? ? ? ? x2 ? x ? ? 2x 2x 2x ? ? 1? ? ? ( x2 ? ? ) ? (x ? ) 4x 4x 2x

? 33

?2
16

?2

1? ? 2

由取等号的条件得: x 2 ?
3

?

4x 消去参数 ? 得, 4 x ? 2 x ? 1 ? 0
2

,x?

1? ? 2x

化简得, (2 x ?1)(2 x2 ? 2 x ? 1) ? 0 解之得

x?

1 2

此时 ? ?

1 7 , ymin ? 2 4

例题11. 问 ? ( 0 ? ? ? 解:引进参数 a, b ? 0 ,

?
2

)取何值时, y ? cos2 ? sin ? 取最大值。

(a ? b ? (b ? 1 ? a ) sin ? )3 1 a (1 ? sin ? )b(1 ? sin ? ) sin ? ? 由 y ? cos ? sin ? ? ab 27ab
2

由取等号成立的条件得:

?a(1 ? sin ? ) ? b(1 ? sin ? ) ? sin ? 1 ? ? sin 2 ? ? , 0 ? ? ? ? 3 2 ? b ?1? a ? 0 3 ? ? ? are sin , 3 3 ?1 3 ?1 所以 a ? , b? ; 2 2 ( a ? b) 3 2 3 2 所以 y ? cos ? sin ? ? ? 27ab 9
基本不等式是一个非常有用的结论,从上面的例子中我们可以看出,适当的配凑 可以解决很多看似无法使用基本不等式解决的一些问题。同学们在学习基本不等式时 时要细心体会,才能达到灵活应用的。


相关文档

(高级篇)基本不等式及其应用
基本不等式应用技巧
基本不等式的应用技巧
论均值不等式的应用技巧
基本不等式求最值的应用技巧
基本不等式的几种应用技巧
代数不等式的应用技巧之知识篇
均值不等式的几点应用技巧
例谈基本不等式应用的若干应用技巧
电脑版