兰州市2015届高三第二次诊断考试数学文试卷


兰州市 2015 届高三第二次诊断考试数学文试卷
兰州市 2015 届高三第二次诊断考试

数学(文)

注意事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自忆的姓名、考号填写的答 题纸上.
2. 本试卷满分 150 分.考试用时 120 分种.答题全部在答题纸上,试卷上答题无效.
第Ⅰ卷

一、选 择题:(本大题 12 小题,每 小题 5 分,共 60 分。在每 小题给 出的四个选项中,只有一项是符 合要求的.

1.已知全集U ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7}, A ? ?1,3,5,6? 则 ?U A ?

(C )

A. ?1,3,5,6?

B. ?2,3,7?

C. ?2,4,7? D. ?2,5,7?

解: ?U A ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7}- ?1,3,5,6? = ?2, 4,7?

2. i ? z ?1? i ( i 为虚数单位),则 z ? ( B )

A. 2

B. 2

C. 1

解∵i ? z ?1? i, ∴ i ? z ? 1? i = 2 ∴ z ? 2

D. 2 2

3.已知△ABC 内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,若 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC ,,则 C ? ( D )

A. ?

B. ?

6

4

C. ? 3

? D.
2

解:∵ c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC ,又∵c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC ,∴cosC ? 0 ,∴C ? ? 2

4.已知命题 p :?? ? R, cos(? ??) ? cos? ;命题 q :?? R, x2 ?1 ? 0 .则下面结论正确的是( A)

A. p ? q 是真命题

B. p ? q 是假命题

C. ? p 是真命题

D. p 是假命题

解:因为? ? ? 时, cos(? ?? ) ? cos? ,所以 p 是真命题,又因为?? R, x2 ≥ 0 , 2
所以?? R, x2 ?1≥1 ? 0 ,所以 q 是真命题,所以 p ? q 是真命题.

5.已知实数 x, y 满足 ax ? a y ( 0 ? a ? 1),则下列关系式恒成立的是( A ) 1 / 13

A. x3 ? y3

兰州市 2015 届高三第二次诊断考试数学文试卷

B. sin x ? sin y

C. ln(x2 ?1) ? ln(y2 ?1)

D.

x

1 2?

1

?

1 y2 ?1

解:∵ax ? ay , 0 ? a ? 1,∴x ? y ,∴ x3 ? y3 ,但 x ? y ? x2 ? y2

6.已知点 F 是抛物线 y2 ? 4x 的焦点, M , N 是该抛物线上两点, MF ? NF ? 6 ,则 MN 中点到准线的

离为( C )

A. 3

B.2

C.3

D.4

2

? ? 解:因为 MN 的中点到准线的距离是 M , N 到准线距离的中位线长,故为 1 MF ? NF ? 3
2

7.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是( B )

A. 29 B. 29 C. 13

2 3正视图

2

2

2

侧视图

D. 13

2 4

俯视图

解:三视图所示的几何体是四棱锥 S ? ABCD ,如图: S
SD ? AD ? 2, BC ? 4 , AB ? 3 ,

且 SA ? 平面ABCD ,∴SD ? 2 2 ,

A

B

SB ? 13 , SC ? SB2 ? BC2 ? 29

D 所以最长的侧棱长为 SC ? 29

C

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兰州市 2015 届高三第二次诊断考试数学文试卷 8.阅读右侧程序框图,如果输出 i ? 5 ,那么在空白矩形框( C )

中应填入的语句为

开始

A. S ? 2*i ? 2 B. S ? 2*i?1 C. S ? 2*i D. 2*i ? 4

i=1,S=0 i=i+1
i 是奇数?



S ? 2*i ?1


S ?10?

输出 i

解:① i ? 1, S ? 0 ? i ? 2不是奇数 ? S ? 2*i?1 ? 5 ? 10 ; 结束

② i ? 3是奇数,从选项看,前次 S 值无效,要重新计算,这时选项都适合条件,进入下一次循环;

③ i ? 4不是奇数,S ? 2*i ?1 ? 9 ? 10 ,进入下次循环;

④ i ? 5是奇数,S ? 9 ? 10 ,这时选项 A 和 B 都适合条件循环,只有 C 不符合条件,输出 i ,

所以选项 C 是正确的。

9.已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的各个顶点都在表面积为16? 的球面上,且 AB ? 3AD, AA1 ? 2AD,则四棱锥 D1 ? ABCD 的体积为( B )

A. 2 6 3

B. 4 6 3

解∵AB ? 3AD, AA1 ? 2AD

∴设AD ? a,则AB ? a, AA1 ? 2a
又因为长方体的对角线是其外接球的直径,

∴(2r)2 ? AD2 ? AB2 ? AA12 ? 8a2

C. 2 6
A1 B1
A 3a B

∴r2 ? 2a2 , 又∵4? r2 ? 16? ,∴r2 ? 4 ,∴a ? 2 ,

D. 4 6

D1

C1

2a

a

D

C

∴VD1? ABCD

?

1 3

?

S

ABCD

?

AA1

?

1? 3

2?

6?2

2?4 6 3

.

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10.定义运算: a1 a3

a2 a4

? a1a4 ? a2a3 ,若将函数 f (x) ?

3 1

度后,所得图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A )

sin x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位长 cos x

A. 5?

B. ?

6

8

C. ? 3

D. 2? 3

解: ∵ f (x) ? 3 sin x ? 3 cos x ? sin x ? ?2sin(x ? ? )

1 cos x

3

∴ 向左平移 m(m ? 0) 个单位长度后得: y ? ?2sin(x ? m ? ? ) 3

又因为平移后的图象关于 y 轴对称,所以 y ? ?2sin(x ? m ? ? ) 是偶函数, 3

∴m ? ? ? k? ? ? , ∴m ? k? ? 5? ,∵m ? 0, ∴k ? 0时,m取得最小值 5?

3

2

6

6

11.已知椭圆 C 的中心为 O ,两焦点为 F1 、 F2 , M 是椭圆 C 上一点,且满足 MF1 ? 2 MO ? 2 MF2 , 则椭圆的离心率 e ? ( D )

A. 2 5 5

B. 2 3

C. 3 3

D. 6 3

解:设 MF2 ? m ,则 MF1 ? 2m, MO ? m ∵MN ? F1F2 , F1F2 ? 2OF1 ? 2c , 又∵ MO ? MF2 ,∴N 为 OF2 中点

M

F1

O

N

F2

∴ MF12 ? F1N 2 ? MF22 ? F2 N 2

,∴

(2m)2 ? (3c)2 ? m2 ? ( c )2

2

2

,∴c ?

6m 2

∴2a ? 3m,∴a ? 3 m ,∴e ? 6

2

3

12.已知函数 f (x) ? x ? sin x(x ? R) ,且 f (y2 ? 2 y ? 3) ? f (x2 ? 4x ?1) ≤ 0 ,则当 y ≥1时, y 的 x ?1
取值范围是( D )

A. [0, 4] 3

B. [0, 3] 4

C. [1 , 1] 43

D. [1 , 3] 44

解:因为 f ?(x) ?1? cos x ≥0 ,所以函数递增,又 f (?x) ? ?x ? sin(?x) ? ? f (x) ,所以 f (x) 是奇函数

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兰州市 2015 届高三第二次诊断考试数学文试卷 又 f (y2 ? 2 y ? 3) ? f (x2 ? 4x ?1) ≤ 0 , f (y2 ? 2 y ? 3) ≤ - f (x2 ? 4x ?1) ? f (?x2 ? 4x ?1)

∴y2? 2y ? 3≤ ?x2 ? 4x ?1,

∴(x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

令 y ? k ,则 y ? k(x ?1) ,∴ 1 ≤ k ≤ 3

x ?1

4

4

tan? ? 1 , tan 2? ? 3 .

3

4

第 II 卷

本卷包括必 考题和选考题两部分.第 12~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~24 题为选 考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.已知向量 a ? (x2 ?1, 2 ? x) , b ? (x,1) ,若 a ∥ b ,则 x ? ____________________ .

解:∵a ∥b ,∴ x2 ?1 ? (2 ? x)x ,∴ x ? ? 1 , 2

14.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的 概率为 _________________________. 解:甲任选一件运动服有 3 种选法,乙也有 3 种选法,所以甲、乙各自任选一套运动服,不同选法共
有 9 种,他们所选运动服相同共有 3 种,所以他们选择相同颜色运动服的概率为 1 . 3

?x ? 2y≥0

15.已知实数

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y



0

, z ? x ? y ,若 z 的最大值为 12,则 k ? ___6______.

??0 ≤ y ≤ k

解:

16.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1 , E 、 F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点,过直线 EF 的平面 分别与 BB1 、 DD1 相交于点 M 、 N .设 BM ? x, x ?[0,1]有以下命题:
①平面 MENF ? 平面 BDD1B1 ;

②当 x ? 1 时,四边形 MENF 的面积最小; 2
③四边形 MENF 的周长 L ? f (x) , x ?[0,1] 是单调函数;

④四棱锥 C1 ? MENF 的体积V ? g(x) 为常函数。

其中下确结论的序号是__

_①②④_______________.(将正确结论的序号都填上)

三、解答题:(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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17.(本小题满分 12 分)

已知数列?an? 中, a1

? 1,

前n

项和 Sn

?

3 2

n2

?

1 2

n

.

(I)求数列?an? 的通项公式.

(II)设 bn ? 2an ,求证: b1 ? b2 ?

? bn

?

2 7

.

18.(本小题满分 12 分)

在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D, E, F 分别是 BB1、AA1、AC 的中点, AC ? BC ,

AB ? 2AC . CD ? C1D .

C1

(I)求证: CD∥平面BEF

A1

B1

(II)求证:平面 BEF ? 平面 A1C1D .

F

D

C

E

A

B

19.(本小题满分 12 分)

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据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过 120 分钟.该校随机抽取部分新入校的新生其在上学 路上所需时间(单位:分钟)进行调查,并将所得数据绘制成频率分布直方图.
(I)求频率分布直方图中 a 的值.
(II)为减轻学生负担,学校规定在上学路上所需时间不少于 1 小时的学生可申请在校内住宿.请根据抽 样数据估计该校 600 名新生中有多少学生可申请在校内住宿. 频率/组距
0.025

a

0.0060

0.0030 0.0021 0.0014
O

20 40 60 80 100 120 时间/分钟

20.(本小题满分12 分)
已知点 P 为 y 轴上的动点,点 M 为 x 轴上动点,点 F (1, 0) 为定点,且满足 PN ? 1 NM ? 0, 2
PM ? PF ? 0 . (I)求动点 N 的轨迹 E 的方程. (II)过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 E 交于两点 A、B ,试判断在 x 轴上是否存在点 C ,使得
CA 2 ? CB 2 ? AB 2 成立,请说明理由。

21.(本小题满分 12 分)

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兰州市 2015 届高三第二次诊断考试数学文试卷 已知函数 f (x) ? 2 ln x ? m .
x ?1 (I)当函数 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 4x ?1 ? 0 垂直时,求实数 m 的值; (II)若 x ≥1时, f (x) ≥1 恒成立,求实数 m 的取值范围.

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,如果多答按所答第一题评分.

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

如图,在正△ABC 中,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,且 BD ? 1 BC , CE ? 1 CA , AD、BE 相交

3

3

于点 P .

求证:

A

(I)四点 P、D、C、E 共圆. (II) AP ? CP .

P

B

D

E C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标系与参数方程
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已知平面直角坐标系

xoy

中,曲线

C1

的方程为

? ? ?

x y

? cos? ?1? sin?

,(?

为参数),以原点 O

为极点,

x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ?(cos? ? sin? ) ? 5 ? 0 .

(I)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;

(II)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 的距离的取值范围.

24.(本小题满分 10 分,选修 4—5:不等式选讲
设函数 f (x) ? x ?1 ? x ? a (a ? R). ( I )当 a ? 4 时,求不等式 f (x) ≥5 的解集; (II )若 f (x) ≥ 4 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2015 年兰州市高三实战考试(二诊) 数学参考答案及评分标准(文科)
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一、选择题

题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号

答C B D A A C B C B A D D 案

8.解析: 当 空 白 矩 形 框 中 填 入 的 语 句 为 S = 2 * i 时 ,

程序在运行过程中各变量的值如下表示:

i

S 是否继续循环

循环前 1

0

第一圈 2

5



第二圈 3

6



第三圈 4

9



第四圈 5

10



故输出的i值为:5,符合题意.故选C.

11.解析:过 M 向椭圆的长轴做垂线,垂足为 N ,则 N 为 OF2 的中点,设 | MF2 |? t ,则有

|

MF1

|2

?|

F1N

|2 ?|

MF2

|?|

F2N

|2

,即 4t2

?

9 4

c2

?

t2

?

1 4

c2

,所以, c

?

6 t ,而 a ? 3 t ,所以

2

2

e? 6 3
12.解析:因为, f (?x) ? ?x ? sin(?x) ? ? f (x) ,且 f '(x) ? 1? cos x ? 0,

所以函数为奇函数,且在 R 是增函数.

所以,由 f ( y2 ? 2 y ? 3) ? f (x2 ? 4x ?1) ? 0 得

f ( y2 ? 2 y ? 3) ? f (?x2 ? 4x ?1), y2 ? 2 y ? 3 ? ?x2 ? 4x ?1 .

即 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 4) ? 0, (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,其表示圆 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 及其内部.

x

y ?1

表示满足

? ??( x

?

2)2

y ?

?l ( y ?1)2

?

的点 1

P

与定点

A(?1, 0)

连线的斜率.结合图形分析可知,

直线 AC 的斜率 1? 0 ? 1 最小,切线 AB 的斜率 3 ? (?1) 4

tan ?BAX

? tan 2?PAX

?

1

2 ?

tan tan

?PAX 2 ?PAX

2? 1 ?3
1? (1)2

?

3 最大 4

3

二、填空题

13. ? 1 2

14. 1 3

三、解答题

15. 6

16. ①②④

17.

解:(Ⅰ)∵ Sn

?

3 n2 ? 1 n 22



n

?

2时,

an

?

Sn

?

Sn?1

?

3 2

n2

?

1 2

n

?

3 (n 2

? 1)2

?

1 2

(n

? 1)

?

3n

?

2

当 n ? 1时, a1 ? 3 ? 2 ? 1

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∴ an ? 3n ? 2

…………………6分

(Ⅱ)∵ bn ? 2an ? 23n?2

∴ bn?1 bn

?

23( n ?1)?2 23n?2

?8

∴数列{bn}是以 b1 ? 23?2 ? 2 为首项,以 8 为公比的等比数列

∴ b1 ? b2 ?

?

bn

?

2(1 ? 8n ) 1? 8

?

2 7

(8n

? 1)

∵ n ? 1 ∴ 8n ?1 ? 1

∴ 2 (8n ? 1) ? 2

7

7

∴ b1 ? b2 ?

?

bn

?

2 7

…………………12 分

18. 证明:(Ⅰ)连接 A1C

∵ D 、 E 、 F 分别是 BB1 、 AA1 、 AC 的中点

∴ A1D ∥ BF , A1C ∥ EF

∵在平面 A1CD 中 A1D A1C ? A1 在平面 BEF 中 BF EF ? F

∴平面 A1CD ∥平面 BEF ,而 CD ? 平面 A1CD

∴ CD ∥平面 BEF

…………………6 分

(Ⅱ)依题意有 AC ? BC

∴ A1C1 ? 平面 BCC1B1

∴ A1C1 ? CD

∵ CD ? C1D

∴ CD ? 平面 A1C1D ,而 CD ? 平面 A1CD

∴平面 A1CD ? 平面 A1C1D

由(Ⅰ)知平面 A1CD∥平面 BEF

∴平面 BEF ? 平面 A1C1D

…………………12 分

19. 解:(Ⅰ) 有频率直方图可得

(0.0014 ? 0.0021? 0.0030 ? 0.0060 ? a ? 0.025) ? 20 ? 1

a ? 0.0125

…………………5 分

(Ⅱ) 新生上学所需时间不少于1 小时的频率为:

(0.0030 ? 0.0021? 0.0014) ? 20 ? 0.13

…………………9 分

所以,该校 600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为

600?0.13 ? 78

…………………12 分

20. 解:(Ⅰ)设 N(x, y) ,则由 PN ? 1 NM ? 0 ,得 P 为 MN 的中点. ……2 分 2

∴ P(0, y ) , M (?x,0) . 2

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∴ PM ? (?x, ? y ) , PF ? (1, ? y ) .

2

2

∴ PM ? PF ? ?x ? y2 ? 0 , 即 y2 ? 4x . 4

∴动点 N 的轨迹 E 的方程 y2 ? 4x .

………………5 分

(Ⅱ)设直线

l

的方程为

y

?

k(x

?1)

,由

? ? ?

y ? k(x y2 ? 4x

?1)

消去 x 得 y2 ? 4 y ? 4 ? 0 . k

设 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,



y1 ? y2

?4, k

y1 y2 ? ?4 .

………………6 分

假设存在点 C(m, 0) 满足条件,则 CA ? (x1 ? m, y1) , CB ? (x2 ? m, y2) ,

∴ CA?CB

?

x1x2

? m(x1

?

x2) ? m2

?

y1 y2

?

(

y1 y2 )2 4

? m(

y12

? 4

y22

)

?

m2

?4

?

?

m 4

[(

y1

?

y2 )2

?

2

y1

y2

]

?

m2

?

3

?

m2

?

m(

4 k2

?

2)

?

3.

………………9 分



?

?

(

4 k2

?

2)2

?12

?

0,

∴关于 m

的方程 m2

?

m(

4 k2

?

2)

?

3

?

0

有解

.

………………11 分

∴假设成立,即在 x 轴上存在点 C ,使得| CA |2 ? | CB |2 ?| AB |2 成立.…………12 分

21.

解:(Ⅰ)∵

f

?( x )

?

2 x

?

(x

m ? 1)2

∴函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率 k ? f ?(1) ? 2 ? m 4
∵函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 4x ?1 ? 0 垂直

∴2? m ? ?1 44
∴m?9

………………5 分

(Ⅱ)依题意不等式 2ln x ? m ? 1在 x ? 1时恒成立 x ?1
∴ m ? x ?1? 2(x ?1) ln x 在 x ? 1时恒成立

令 g(x) ? x ?1? 2(x ?1)ln x ( x ? 1),则

g?(x) ? 1? [2ln x ? 2(x ?1)] ? ? x ? 2 ? 2x ln x

x

x

∴ x ? 1时, g?(x) ? 0

………………8 分

∴函数 g(x) 在 x ? 1时为减函数

∴ g(x) ? g(1) ? 2

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∴m? 2 即实数 m 的取值范围是[2, ??)

………………12 分

22. 证明:(I)在 ?ABC 中

∵ BD ? 1 BC , CE ? 1 CA 知 ?ABD ≌ ?BCE

3

3

∴ ?ADB ? ?BEC

∴ ?ADC ? ?BEC ? ?

所以四点 P, D,C, E 共圆

………………5 分

(II)连结 DE ,在 ?CDE 中, CD ? 2CE , ?ACD ? 60 ,由正弦定理知 ?CED ? 90

由四点 P, D,C, E 共圆知, ?DPC ? ?DEC ,所以 AP ? CP.

………………10 分

23.

解:(I)由

? ? ?

x y

? ?

cos? 1? sin?

(

?

为参数)得

x2 ? ( y ? 1)2 ? 1

………………2 分

由 ?(cos? ? sin? ) ? 5 ? 0得

? cos? ? ? sin? ? 5 ? 0

即x? y?5?0

………………5 分

(II)由(I)知 C1 为以 (0,1) 为圆心,1 为半径的圆 , C2 为直线,



C1

的圆心

(0,1)



C2

的距离

(0

?

1? 2

5

|

?

2

2 ?1

∴ C2 与 C1 没有公共点

∴ | PM |max ? 1? 2 2

| PM |min ? 2 2 ?1

∴ | PM |的取值范围是[2 2 ?1, 2 2 ? 1]

………………10 分

24. 解:(I)当 a ? 4时, | x ?1| ? | x ? a |? 5 等价为

?x ?1 ???2x ?

5

?

5



?1 ? ??3 ?

x 5

?

4



?x ? 4 ??2x ? 5

?

5

解得 x ? 0 或 x ? 5

所以不等式 f (x) ? 5 的解集为{x | x ? 0 或 x ? 5 }

(II)因为 f (x) ?| x ?1| ? | x ? a |?| (x ?1) ? (x ? a) |?| a ?1|

………………5 分

所以 f (x)min ?| a ? 1 | 要使 f (x) ? 4 对 a ? R 恒成立,则须 | a ?1|? 4 即可 所以 a ? ?3或 a ? 5 即实数 a 的取值范围是{a | a ? ?3或 a ? 5 }

………………10 分

以上各题若有其它解法,请酌情给分.

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