(全国通用版)2018_2019高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.3两角和与差的正切练习新人教B版必修4


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3.1.3

两角和与差的正切
课时过关·能力提升

1.已知 tan(α +β )=,tan

,则 tan

等于(

)

A.

B.

C.

D.

解析:tan 答案:C

=tan

.

2.已知 β ∈

,满足 tan(α +β )=

,sin β =,则 tan α 等于(

)

A.

B.

C.

D.

解析: 由已知可得 cos β =

,从而 tan β = ,于是 tan α =tan[(α +β )-

β ]= 答案:B

.

3.在△ABC 中,已知 tan A,tan B 是方程 3x +8x-1=0 的两根,则 tan C 等于( A.2 答案:A B.-2 C.4 D.-4

2

)

4.在△ABC 中,C= ,3tan A+3tan B=2 A. B. C.

,则 tan Atan B 的值为( D.

)

1

解析: 由 C= 得 A+B= ,

于是 tan(A+B)=

.

即 答案:B

,因此 tan Atan B=

.

5.在△ABC 中,tan A=,cos B= A.-1

,则 tan C 等于 D.-2

(

)

B.1

C.

解析: ∵cos B=

,且 0<B<π ,

∴sin B=

.

∴tan B=

,

∴tan C=-tan

=-

=故选 A. 答案:A

=-1.

6.设 tan α 和 tan β 是关于 x 的方程 mx +(2m-3)x+(m-2)=0 的两根,则 tan(α +β )的最小值是 ( )

2

A.

B.

C.-

D.不确定

2

解析: 依题意 tan α +tan β =-

,tan α tan β =
2

,于是 tan(α +β )=

-m.

又方程有两根,所以 Δ =(2m-3) -4m(m-2)≥0,

即 m≤ 答案:C

,因此

-m≥-

,即 tan(α +β )的最小值为-

.

7.已知 sin 2α =

,tan(α -β )= ,则 tan(α +β )=

.

解析: ∵sin 2α =,∴cos 2α =±.

又∵

<α <

,∴

<2α <π ,∴cos 2α =-

,

∴tan 2α =-

.

又∵tan(α -β )=

,

∴tan(α +β )=tan[2α -(α -β )]

=
答案: -2

=-2.

8.已知 tan 答案:

=2,则

的值为

.

★9.在△ABC 中,若(1+cot A)(1+cot C)=2,则 log2sin B=

.

解析: 由(1+cot A)(1+cot C)=2,得

=2,∴(tan A+1)(tan C+1)=2tan Atan C.

∴1+tan A+tan C=tan Atan C. ∴tan(A+C)=-1.
又 A,B,C 是△ABC 的内角,

3

∴A+C=

.∴B=

.∴sin B=

.

∴log2sin B=log2
答案: -

=-

.

10.已知 α 为第二象限的角,sin α =,β 为第一象限的角,cos β = ,求 tan(2α -β )的值. 解: ∵α 为第二象限的角,且 sin α =,

∴cos α =-

,∴tan α =-

.

∵β 为第一象限的角,且 cos β =

,∴sin β =

,

∴tan β =

.∴tan(α -β )=

=

.

∴tan(2α -β )=tan[α +(α -β )]

=

.

★11.如图,在矩形 ABCD 中,AB=a,BC=2a,在 BC 上取一点 P,使 AB+BP=PD,求 tan ∠APD 的值.

解: 由 AB+BP=PD,得 a+BP= 设∠APB=α ,∠DPC=β ,

,解得 BP= .

则 tan α =

,tan β =

.

4

从而 tan(α +β )=

=-18.

∵∠APD+(α +β )=π , ∴tan∠APD=tan[π -(α +β )]=-tan(α +β )=18.

5


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