2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第七节双曲线(一) 理


第七节 双曲线(一) 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 知识梳理 一、双曲线的定义 我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线,用符号表示为||AF1|-|AF2||=2a,这两个定点叫做双曲线的焦点,两个焦点 之间的距离叫做双曲线的焦距. 二、双曲线的标准方程 x2 y2 当双曲线的焦点在 x 轴上时,双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),其中焦点坐 a b 2 2 2 标为 F1(c,0),F2(-c,0),且 c =a +b ; y2 x2 当双曲线的焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),其中焦点坐 a b 2 2 2 标为 F1(0,c),F2(0,-c),且 c =a +b . 当且仅当双曲线的中心在坐标原点, 其焦点在坐标轴上时, 双曲线的方程才是标准形式. 三、双曲线的几何性质 方程 x2 y2 - =1 a2 b2 y2 x2 - =1 a2 b2 图形 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 x≤-a 或 x≥a,y∈R 关于 x 轴、y 轴及原点对称 A1(-a,0),A2(a,0) c e= (e>1) a b y=± x a c2=a2+b2 y≤-a 或 y≥a,x∈R 关于 x 轴、y 轴及原点对称 B1(0,-a),B2(0,a) c e= (e>1) a a y=± x b c2=a2+b2 a,b,c 的关系 基础自测 1.(2013?郑州质检)设 F1,F2 是双曲线 x - =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点, 24 且 3|PF1|=4|PF2|,则|PF1|=( ) 第 1 页 共 4 页 2 y2 A.8 B.6 C.4 D.2 ? ?3|PF1|=4|PF2|, 解析:依题意有? ?|PF1|-|PF2|=2?1, ? 解得|PF2|=6,|PF1|=8,故选 A. 答案:A 2.(2013?北京东城区)若双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3) +y =r (r>0)相切, 6 3 则 r=( ) A. 3 B.2 C.3 D.6 x 2 y2 2 2 2 x y 2 2 解析:双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,因为双曲线的渐近线与圆(x-3) 6 3 2 + y = r (r>0) 相切,故圆心 (3,0) 到直线 y =± | 2?3±2?0| = 3. 2+4 答案:A 3.过双曲线 x -y =8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上,若|PQ|=7,F2 是双曲线的 右焦点,则△PF2Q 的周长是____________. 答案:14+8 2 2 2 2 2 2 2 2 x 的距离等于圆的半径 r ,则 r = 2 y → → 2 4.设 F1,F2 分别是双曲线 x - =1 的左、右焦点,若点 P 在双曲线上,且PF1?PF2=0, 9 → → 则|PF1+PF2|=__________. 解析:因为 F1、F2 分别是双曲线 x - =1 的左、右焦点,所以 F1(- 10,0),F2( 10, 9 → → → 0).由题意知△F1PF2 为直角三角形,∴|PF1+PF2|=2|PO|=|F1F2|=2 10. 答案:2 10 2 2 y2 1.(2013?湖南卷)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一 点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为__________. ? ?m+n=6a, ?m-n=2a, ? x2 y2 a b 解析:设 P 点在右支上,m=|PF1|,n=|PF2|,则? ? m=4a,n=2a, 依题意,△PF1F2 中,∠PF1F2=30°,由余弦定理得 2 2 2 16a +4c -4a 1?3a c? 3 cos 30°= = ? + ?= , 2?8ac 4? c a? 2 第 2 页 共 4 页 于是可解得 e= = 3. 答案: 3 2.设圆 C 与两圆(x+ 5) +y =4,(x- 5) +y =4 中的一个内切,另一个外切. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; ?3 5 4 5 ? (2)已知点 M? , ?,F( 5,0),且 P 为 L 上动点,求||MP|-|FP||的最大值及此 5 ? ? 5 时点 P 的坐标. 解析: (1)设圆 C 的圆心坐标为(x,y),半径为 r.由题设知 2 2 2 2 c a | x+ 5 2 +y - 2 x- 5 2 x +y |=4,化简得 L 的方程为 4 -y =1. 2 2 2 2 (2)由已知可求得过 M,F 的直线 l 方程为 y=-2(x- 5),将其代入 L 的方程得 15x -32 5x+84=0, 解得 x1= 6 5 14 5 2 5? ?6 5 ,x2= ,故可求得 l 与 L 的交点坐标分别为 T1? ,- ?, 5 15 5 ? ? 5 T2? ?14 5 2 5? , ?. 15 ? ? 15 因 T1 在线段 MF 外,T2 在线段 MF 内, 故||MT1|-|FT1||=|MF|=2,||MT2|-|FT2||<|MF|=2. 若 P 不在直线 MF 上,在△MFP 中有||MP|-|FP||<|MF|=2. 2 5? ?6 5 故||MP|-|FP||只在点 P 位于 T1? ,- ?时取得最大值 2. 5 ? ? 5 , 1.(2013?江门一模)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - x2 y2 =1 的焦距为 8,则 2 m m +4 m=________. x2 y2 =1 的焦距为 8, 2 m m +4 2 2

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