2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第七节双曲线(一) 理


第七节 双曲线(一) 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 知识梳理 一、双曲线的定义 我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线,用符号表示为||AF1|-|AF2||=2a,这两个定点叫做双曲线的焦点,两个焦点 之间的距离叫做双曲线的焦距. 二、双曲线的标准方程 x2 y2 当双曲线的焦点在 x 轴上时,双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),其中焦点坐 a b 2 2 2 标为 F1(c,0),F2(-c,0),且 c =a +b ; y2 x2 当双曲线的焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),其中焦点坐 a b 2 2 2 标为 F1(0,c),F2(0,-c),且 c =a +b . 当且仅当双曲线的中心在坐标原点, 其焦点在坐标轴上时, 双曲线的方程才是标准形式. 三、双曲线的几何性质 方程 x2 y2 - =1 a2 b2 y2 x2 - =1 a2 b2 图形 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 x≤-a 或 x≥a,y∈R 关于 x 轴、y 轴及原点对称 A1(-a,0),A2(a,0) c e= (e>1) a b y=± x a c2=a2+b2 y≤-a 或 y≥a,x∈R 关于 x 轴、y 轴及原点对称 B1(0,-a),B2(0,a) c e= (e>1) a a y=± x b c2=a2+b2 a,b,c 的关系 基础自测 1.(2013?郑州质检)设 F1,F2 是双曲线 x - =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点, 24 且 3|PF1|=4|PF2|,则|PF1|=( ) 第 1 页 共 4 页 2 y2 A.8 B.6 C.4 D.2 ? ?3|PF1|=4|PF2|, 解析:依题意有? ?|PF1|-|PF2|=2?1, ? 解得|PF2|=6,|PF1|=8,故选 A. 答案:A 2.(2013?北京东城区)若双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3) +y =r (r>0)相切, 6 3 则 r=( ) A. 3 B.2 C.3 D.6 x 2 y2 2 2 2 x y 2 2 解析:双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,因为双曲线的渐近线与圆(x-3) 6 3 2 + y = r (r>0) 相切,故圆心 (3,0) 到直线 y =± | 2?3±2?0| = 3. 2+4 答案:A 3.过双曲线 x -y =8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上,若|PQ|=7,F2 是双曲线的 右焦点,则△PF2Q 的周长是____________. 答案:14+8 2 2 2 2 2 2 2 2 x 的距离等于圆的半径 r ,则 r = 2 y → → 2 4.设 F1,F2 分别是双曲线 x - =1 的左、右焦点,若点 P 在双曲线上,且PF1?PF2=0, 9 → → 则|PF1+PF2|=__________. 解析:因为 F1、F2 分别是双曲线 x - =1 的左、右焦点,所以 F1(- 10,0),F2( 10, 9 → → → 0).由题意知△F1PF2 为直角三角形,∴|PF1+PF2|=2|PO|=|F1F2|=2 10. 答案:2 10 2 2 y2 1.(2013?湖南卷)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,

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