2015-2016学年高中数学 3.2简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修4


第三章 3. 2

三角恒等变换

简单的三角恒等变换

1.正确应用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明. 2.理解并掌握二倍角公式的变形式及其应用.

基 础 梳 理 一、利用二 倍角公式推导半角公式 α 2 (1)因为 α 是 的二倍角, 所以在二倍角公式 cos 2α =1-2sin α 中, 以 α 代替 2α , 2 α 1-cos α 2α 2α 以 代替 α ,即 cos α =1-2sin ,所以 sin = . 2 2 2 2 α 2 (2)在二倍角公式 cos 2α =2cos α -1 中,以 α 代替 2α ,以 代替 α ,即 cos α = 2 2cos
2

α 1+cos α 2α -1,所以 cos = . 2 2 2
2

(3)由(1)(2)中所得两式相除得 tan α 综上, sin =±_ 2

α 1-cos α = . 2 1+cos α 1+cos α α , tan =±_ 2 2 1-cos α . 1+cos α

1-cos α α , cos =±_ 2 2

α 1-cos α sin α 上面的三个式子称为半角公式.同样有 tan = = . 2 sin α 1+cos α

1

思考应用 1.下列各式中恒成立的是(B) α 1-cos α A.tan = 2 sin α α C.tan = ± 2 1-cos α 1+cos α B.cos
2

α 1+cos α = 2 2

2tan α D.tan 2α = 2 1-tan α

α 1-cos α 解析:A.tan = 不恒成立.恒成立的条件是 sin α ≠0, 2 sin α α C.tan =± 2 1-cos α 不恒成立.恒成立的条件是 cos α ≠-1, 1+cos α

2tan α D.tan 2α = 不恒成立. 2 1-tan α 恒成立的条件是 tan α ≠±1, B 恒成立,故选 B. 二、和差化积与积化和差公式的推导 由 sin(α +β sin(α -β

)=sin

α cos β +cos α sin β ,

)=sin

α cos β -cos α sin β 得

1 sin α cos β = [sin(α +β 2 1 cos α sin β = [sin(α +β 2 由 cos(α +β cos(α -β

)+sin(α )-sin(α

-β -β

)],① )].②

)=cos

α cos β -sin α sin β ,

)=cos

α cos β +sin α sin β 得

1 cos α cos β = [cos(α +β 2

)+cos(α

-β

)],③ )].④

1 sin α sin β =- [cos(α +β 2

)-cos(α

-β

上面的公式①②③④统称为积化和差公式. θ +φ θ -φ 上面四个式子中,设 α +β =θ ,α -β =φ ,则有 α = ,β = ,把 α , 2 2 β 代入上面的式子得到: θ +φ θ -φ sin θ +sin φ =2sin cos ,⑤ 2 2 θ +φ θ -φ sin θ -sin φ =2cos sin ,⑥ 2 2

2

θ +φ θ -φ cos θ +cos φ =2cos cos ,⑦ 2 2 θ +φ θ -φ cos θ -cos φ =-2sin sin .⑧ 2 2 上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式. 思考应用 2.形如 y=asin x+bcos x 的函数如何进行变换? 解析:y=asin x+bcos x = a +b ?
2 2

? a sin x+ b cos x? ?, 2 2 a2+b2 ? a +b ?
a
2 2

∵-1≤

a +b

≤1,-1≤

b
2

a +b2

≤1,

且?

? a ? 2 ? b ?2 2 2? +? 2 2? =1, ? a +b ? ? a +b ?
a a +b
2 2

∴不妨设 cos θ =

,sin θ =

b a +b2
2



则有 y=asin x+bcos x
2 2 = a +b (cos θ sin x+sin θ cos x)

= a +b sin(θ +x). 自 测 自 评 1.已知 sin α = 1 A.- 5 5 4 4 ,则 sin α -cos α 的值为(B) 5 1 C. 5 3 D. 5

2

2

3 B.- 5

3 2 2 2 解析:原式=sin α -cos α =2sin α -1=- .故选 B. 5 2.函数 f(x)=2cos x+sin 2x 的最小值是 1- 2. 解析:f(x)=cos 2x+sin 2x+1 π? ? = 2sin?2x+ ?+1, 4? ? ∴所求最小值为 1- 2. cos 2α 2 3.若 =- ,则 cos α +sin α 的值为(C) π? 2 ? sin?α - ? 4 ? ? A.- 7 2 1 B.- 2 C. 1 2 D. 7 2
2

3

解析:原式=

cos α -sin α 2 (sin α -cos α 2

2

2

=- 2(cos α +sin α )=-

)

2 ,∴cos α +sin 2

1 α = .故选 C. 2 4.若 α ∈(π ,2π ),则 α A.sin 2 α C.-sin 2 α B.cos 2 α D.-cos 2 α ?π ? ∈? ,π ?,∴ 2 ?2 ? 1-cos(π +α ) = 2 1+cos α = 2 1-cos(π +α ) 等于(D) 2

解析:∵α ∈(π ,2π ),∴ cos
2

α α =-cos .故选 D. 2 2

基 础 提 升 α 1.已知 180°<α <360°,则 cos =(C) 2 A. C.- 1+cos α 2 1+cos α 2 B. D.- 1-cos α 2 1-cos α 2 1+cos α . 2

α α 解析:∵90°< <180°,∴cos =- 2 2

π 2.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函 4 数解析式是(A) A.y=2cos x π? ? C.y=1+sin?2x+ ? 4? ?
2

B.y=2sin x D.y=cos 2x

2

4

π ? π? 解析:将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin 2?x+ ?,即 y 4? 4 ? π? ? =sin?2x+ ?=cos 2x 的图象, 再向上平移 1 个单位, 所得图象的函数解析式为 y=1+cos 2? ? 2x=2cos x,故选 A.
2

? π? ? π? 3.函数 y=si n?x+ ?sin?x+ ?的最小正周期 T=____________. 3? 2? ? ?
1 3 1 3 3 ?1 ? 2 解析:y=? sin x+ cos x?cos x= sin xcos x+ cos x= sin 2x+ cos 2x 2 2 4 4 2 ?2 ? + π? 3 1 ? 3 = sin?2x+ ?+ .∴T=π . 3? 4 4 2 ? 答案:π π? 1 2 1+tan α ? 4.如果 tan(α +β )= ,tan?β - ?= ,那么 的值为(B) 4? 4 5 1-tan α ? A. C. 13 16 13 22 3 B. 22 3 D. 16

?π ? 1 ?2π +2α ?=(A) 5.若 sin? -α ?= ,则 cos? ? ?6 ? 3 ? 3 ?
7 A.- 9 C. 1 3 1 B.- 3 7 D. 9

解析:cos?

?2π +2α ?=-cos?π -?2π +2α ?? ? ? ? 3 ?? ? 3 ? ? ? ??

?π ? ? ?π ?? =-cos? -2α ?=-cos?2? -α ?? 3 ? ? ? ?6 ?? ? ?? 2?π =-?1-2sin ? -α ?? ? ?6 ??
1 7 =-1+2? =- .故选 A. 9 9 巩 固 提 高 6 . 函 数

y = -

3 sin

x + cos

x

? π π? 在 ?- , ? 上 的 值 域 是 6 6 ? ?

_______________________________________________________________________________ _______. 答案:[0, 3]
5

7.函数 f(x)=sin x- 3cos x(x∈[-π ,0])的单调递增区间是(D) 5π ? ? A.?-π ,- ? 6 ? ? π? ? 5π B.?- ,- ? 6? ? 6

? π ? C.?- ,0? ? 3 ?
π 解析:f(x)=2sin(x- ). 3

? π ? D.?- ,0? ? 6 ?

π? π ? 4 x∈[-π ,0],∴x- ∈?- π ,- ?, 3

? 3

3?

π? π ? π ? π ? 由 x- ∈?- ,- ?得,x∈?- ,0?, 3? 6 3 ? 2 ? ?

? π ? ∴f(x)的单调增区间是?- ,0?,故选 D. ? 6 ?
8.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且有 2sin Bcos A= sin Acos

C+cos Asin C.
(1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 解析:(1)A+C=π -B,A,B∈(0 ,π )? sin(A+C)=sin B>0 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)= 1 π sin B?cos A= ?A= . 2 3 → → → 2 (2)设BC=a,AC=b,AB=c,则|a| =a?a=(b-c)?(b-c)=b?b+c?c-2b?c=

b2+c2-2bccos A? a= 3? b2=a2+c2? B= .
在 Rt△ABD 中,

π 2

AD= AB2+BD2=

1 +?
2

7 ? 3?2 ? =2. ?2?

9.已知函数 f(x)=2sin cos -2 3sin + 3: 4 4 4 (1)将函数 f(x)化为 Asin(ω x +φ )+b 的形式; (2)求 f(x)的最小正周期及最值.

x

x

2

x

x x x 2x? ? ?x π ? 解析:(1)f(x)=sin + 3?1-2sin ?=s in + 3cos =2sin? + ?. 4 2 2 2 ? ? ?2 3 ?
(2)由(1)知 f(x)的最小正周期为 T=4π .

?x π ? 当 sin? + ?=-1 时,f(x)min=-2; ?2 3 ?

6

?x π ? 当 sin? + ?=1 时,f(x)max=2. ?2 3 ?

1.简单的三角恒等变换是高考必考内容.从近几年高考考查 的方向看,主要考查求三 角函数的值,其次是通过三角函数式的变换研究三角函数的性质.以小题为主,一般以选择 题、填空题形式出现. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式和正切公式,进而导出倍角公 式等,并了解它们的内在联系.也就是既要掌握公式的来历,又要熟悉各公式之间的相互转 化,从而做到灵活运用公式解决相关问题.

7


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