2017-2018学年人教A版高中数学选修4-1课件 2.1圆周角定理_图文


2.1圆周角定理 学 习 目 标 思 维 脉 络 定理 1.理解圆周角定理及其推论,并 圆周角定理 推论 1 能用该定理解决有关问题. 圆周角定理 2.了解圆心角定理,并能用该定 推论 2 理解决相关问题. 圆心角定理 1.圆周角定理 (1)圆周角定义:顶点在圆上,并且两边和圆相交的角叫做圆周角. (2)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半. 名师点拨圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系,把角和弧两 种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程中,圆周角定理为 我们解决角和弧之间的转化问题提供了一种新方法. 【做一做1】 如图,点A,B,P在圆O上,若∠APB=65°,则 ∠AOB= . 解析:由圆周角定理,得∠AOB=2∠APB=130°. 答案:130° 2.圆心角定理 (1)圆心角定义:顶点在圆心的角叫做圆心角. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 名师点拨1.在圆心角定理中,圆心角的度数和它所对的弧的度数 相等,但不能说“圆心角等于它所对的弧”. 2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数,它与圆的半径无关.也就 是说,在大小不等的两个圆中,相同度数的圆心角,它们所对的弧的 度数相等;反过来,弧的度数相等,它们所对的圆心角的度数也相等. 【做一做2】 如图是两个同心圆,圆心为点O,点C,D在大圆上,A,B, M在小圆上.若∠AMB=40°,则劣弧 的度数等于( ) A.20° B.40°C.80° D.70° 解析:因为∠AMB=40°,所以∠AOB=80°,从而劣弧 80°. 答案:C 的度数为 3.圆周角定理的推论 (1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆 周角所对的弧也相等. (2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对 的弦是直径. 特别提醒1.“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是 “在同圆或等圆中”. 2.在推论1中,若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,则结论 不一定成立.因为一条弦所对的圆周角有两种可能,所以在一般情 况下是不相等的. 【做一做3】 如图,若D是劣弧 的中点,则与∠ABD相等的角的个 数是( ) A.7 B.3 C.2 D.1 解析:由同弧或等弧所对的圆周角相等,知∠ABD=∠CBD= ∠ACD=∠DAC,故与∠ABD相等的角有3个. 答案:B 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)在同圆或等圆中,圆周角等于圆心角的一半. ( ) (2)在同圆或等圆中,圆心角等于它所对的弧. ( ) (3)同弦或等弦所对的圆周角相等. ( ) (4)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦也相等. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 角、弦、弧等的计算问题 【例 1】 (1)如图,在?ABCD 中,∠D=60° ,以点 A 为圆心,AB 的长为半 径画圆分别交 AD,BC 于点 F,G,延长 BA 交☉A 于 E,则的度数等 于 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 (2)如图,△ABC 内接于☉O,AB=AC,点 D 是上任意一点,AD=6 cm,BD=5 cm,CD=3 cm,则线段 ED 的长等于 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 解析:(1)∵∠D=60°,∴∠B=∠D=60°, ∴的度数为 120° . ∵AD∥BC,∴∠EAF=∠B=60° , ∴的度数为 60° ,故的度数为 60° . (2)∵AB=AC,∴∠ADB=∠CDE. 又 BD=BD,∴∠BAD=∠ECD, ∴△ABD∽△CED, 6 5 ∴ = ,即3 = ,∴ED=2.5 cm. 答案:(1)60° (2)2.5 cm 反思感悟和圆周角、圆心角有关的角、弦、弧的计算,一方面可 以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段,另一 方面,还可以通过成比例线段以及相似比来计算. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练1如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O 的面积等于( ) A.4π B.8π C.12π D.16π 解析:连接OA,OB,∵∠ACB=30°, ∴∠AOB=60°. 又OA=OB,∴ △AOB为等边三角形. ∵AB=4,∴OA=OB=4, ∴S☉O=π· 42=16π. 答案:D 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 角、弦、弧关系的证明问题 【例2】如图,AB是☉O的一条弦,∠ACB的平分线交AB于点E,交 ☉O于点D.求证:AC· CB=DC· CE. 分析:通过圆周角定理与圆心角定理证明△ACE与△DCB相似,得 到比例式,再转化为等积式. 证明:连接BD,在△ACE与△DCB中, ∵∠EAC与∠BDC是同弧所对的圆周角, ∴∠EAC=∠BDC.又CE为∠ACB的平分线, ∴∠ACE=∠DCB,∴△ACE∽△DCB,∴ , = 故AC· CB=DC· CE. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟利用圆中角的关系证明时应注意的问题 1.分析已知和所求,找好所在的三角形,并根据三角形所在圆上的 特殊性,寻求相关的圆周角作为桥梁; 2.当圆中出现直径时,要注意寻找直径所对的圆周角,在直角三角 形中处理相关问题. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练2如图,在☉O中,已知AB=AC,D是BC延长线上的一点,AD 交☉O于E.求证:AB2=AD· AE. 证明:如图,连接BE, ∵AB=AC, ∴ = , ∴∠ABD=∠AEB. 在△ABE 和△ADB 中,∠BAE=∠DAB,∠AEB=∠ABD, ∴△ABE∽△ADB. ∴

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