【精品PPT】2018-2019学年度最新高中数学(人教B版)必修1课件:2.1 2.1.3 函数的单调性_图文


2.1.3 函数的单调性 预习课本 P44~46,思考并完成以下问题 增函数、减函数的概念是什么? [新知初探] 函数的单调性 设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 M?A,如果取区间 Δx=x2-x1>0 ,则当 任意 两个值 x1,x2,改变量______________ M 中的_____ Δy=f(x2)-f(x1)>0 时, ___________________ 就称函数 y=f(x)在区间 M 上是增 Δy=f(x2)-f(x1)<0 时,就称函数 y=f(x) 函数,如图(1);当_________________ 在区间 M 上是减函数,如图(2). 如果函数 y=f(x)在某个区间 M 上是增函数或是减函 数, 就说 y=f(x)在这个区间 M 上具有_______ 单调性 (区间 M 称 为单调区间). [点睛] (1)函数单调性定义的理解 ①任意性,即“任意取 x1, x2”, 不能取两个特殊 值;② x1, x2 有大小 ,通常规定 Δx= x2- x1>0;③ x1, x2 同属于定义域的某个子区间. (2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,即 单调区间是定义域的子集. [小试身手] 1.判断.(正确的打“√”,错误的打“×” ) (1)函数 y= x2 在 R 上是增函数. (2)所有的函数在其定义域上都具有单调性. ( × ) ( × ) (3)在增函数与减函数的定义中, 可以把“任意两个自变量” 改为“存在两个自变量”. ( × ) 2.函数 y=f(x)的图象如图所示,其增区间是 A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 答案:C ( ) 3. 下列函数 f(x)中, 满足对任意 x1, x2∈ (0, +∞), 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)的是 A. f(x)= x 2 ( 1 B. f(x)= x D. f(x)= 2x+ 1 ) C. f(x)= |x| 答案:B 2 4.函数 f(x)= ,x∈[ 2,4],则 f(x)的最大值为______;最 x 小值为________. 1 答案:1 2 函数单调性的判定与证明 x+1 [典例] 证明函数 f(x)= ,x∈[3,5]为增函数. 2-x [证明] 设 x1, x2 是区间[3,5]上的任意两个实数且 x1 < x2,则 Δx=x2-x1>0, Δy= f(x2)-f(x1) x2+ 1 x1+1 3? x2- x1? = - = , 2-x2 2- x1 ? 2- x2?? 2- x1? ∵ 3≤x1<x2≤ 5, ∴ x2- x1>0,2- x1< 0,2- x2< 0. ∴ Δy>0, ∴函数 f(x)在[3,5]上为增函数. 用定义法证明函数单调性的步骤 [活学活用] 4 证明:函数 f(x)=x+ 在(2,+∞)上是增函数. x 证明: 任取 x1, x2∈(2,+∞), 且 x1<x2,则 Δx= x2- x1>0, 4 4 Δy= f(x2)- f(x1)= x2+ - x1- x2 x1 4? x1- x2? = (x2- x1)+ x1x2 x1x2- 4 = (x2- x1)· . x1x2 ∵ 2<x1<x2,∴ x2- x1>0, x1x2>4, x1x2- 4>0, 4 ∴ Δy>0,∴函数 f(x)= x+ 在(2,+∞)上是增函数 . x 求函数的单调区间 [典例] 单调区间. [解] 画出函数 y=-x2+2|x|+1 的图象并写出函数的 2 ? ?- x + 2x+ 1, x≥ 0, y=? 2 ? - x -2x+1,x<0, ? ?-? x- 1?2+ 2, x≥ 0, ? 即y=? 2 ? - ? x + 1 ? +2,x<0. ? 函数的大致图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1], [0,1],单调减区间为(-1,0),(1,+∞). 求函数单调区间的2种方法 (1)定义法.即先求出定义域,再利用定义法进行判 断求解. (2)图象法.即先画出图象,根据图象求单调区间. [活学活用] 1.如图所示为函数 y=f(x),x∈[-4,7]的图象,则函数 f(x) 的单调递增区间是 ________. 解析:由图象知单调递增区间为[-1.5,3]和[5,6]. 答案:[-1.5,3]和[ 5,6] 触新的教材相信不管是对于同学自己 而言还 是对于 家长朋 友们而 言,可 能都还 需要一 定的时 间去适 应,但 学习是 一刻也 不能松 懈的事 情,新 学期除 了适应 教材的 变化以 外,一 些试题 的变化 也必须 适应, 因此就 必须在 课下进 行一些 练习。 但是问 题就来 了,很 多家长 朋友都 表示孩 子现在 换了教 材,但 是自己 找到的 课外练 习题却 还是原 来的教 材版本 的,不 适应孩 子的教 材,不 知道该 怎么办 才好了 ,眼看 孩子马 上就要 结束第 一单元 的学习 了,可 是一直 没找大 适合的 资料, 没办法 进行课 后的巩 固练习 了。 zgl 1 2.求函数f(x)= 的单调减区间. x-1 1 解:函数f(x)= 的定义域为(-∞, 1)∪ (1,+∞ ), x- 1 设 x1, x2∈ (-∞, 1),且 x1<x2,则 Δx= x2- x1>0, x1- x2 1 1 Δy= f(x2)- f(x1)= - = . x2- 1 x1- 1 ? x1- 1?? x2- 1? 因为 x1<x2<1,所以 x1- x2< 0, x1- 1<0, x2- 1<0, 所以 Δy=f(x2)- f(x1)< 0, 所以函数f(x)在(- ∞, 1)上单调递减,同理函数f(x)在 (1,+∞ )上单调递减. 综上,函数f(x)的单调递减区间是(-∞, 1),(1,+∞ ). 函数单调

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