高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用课时提升作业21_1


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椭圆方程及性质的应用

一、选择题(每小 题 5 分,共 25 分) 1.(2016·聊城高二检测)过椭圆 x +2y =4 的左焦点 F 作倾斜角为 的弦 AB,则弦 AB 的长为 A. B. + C. =1, D.
2 2

(

)

【解析】选 B.椭圆的方程可化为 所以 F(,0). , x+
2

又因为直线 AB 的斜率为 所以直线 AB 的方程为 y=

.



得 7x +12

x+8=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=x1·x2= , 所以|AB|= 2.AB 为过椭圆 A.b
2

,

= +

. )

=1(a>b>0)中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB 面积的最大值为 ( C.ac D.bc

B.ab

【解析】选 D .由 AB 过椭圆中心,则 yA+yB=0, 故 S△AFB= (yA-yB)·c= |2yA|·c=|yA|·c≤bc,即当 AB 为 y 轴时面积最大. 3.(2016·济宁高二检测)如果椭圆 A.x-2y=0 C.2x+3y-12=0 + =1 的弦被点(4,2)平分 ,则这条弦所在的直线方程是 ( )

B.x+2y-4=0 D.x+2y- 8=0

-1-

【解析】选 D.设这条弦的两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为 k,则

两式相减再变形得

+k

=0.

又弦中点为(4,2),故 k=- , 故这条弦所在的直线方程为 y-2=- (x-4), 整理得 x+2y-8=0. 4.(2016·衡水高二检测)如果 AB 是椭圆 + =1(a>b>0)的任意一条与 x 轴不垂直的弦,O 为椭圆的中心,e

为椭圆的离心率,M 为 AB 的中点,则 kAB·kOM 的值 为 ( ) B.1-e C.e -1
2

A.e-1

D.1-e

2

【解析】选 C.设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0), 由点差法, + =1, = 所以 kAB·kOM= 【补偿训练】椭圆 为 A. ( ) B. C. D.· + == + =1,作差得 , =e -1.
2

=1 中,以点 M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率

【解析】选 B.设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),



①-②得

+ 又因为弦中点为 M(-1,2), 所以 x1+x2=-2,y1+y2=4, 所以 所以 k= = + . =0,

=0,

-2-

5.(2016·郑州高二检测)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为 a,b,则方程 上且离心率小于 A. 的椭圆的概率为 ( B. + C. ) D. 的椭圆,

+

=1 表示焦点在 x 轴

【解析】选 B.因为 所以 a>b>0,a<2b,

=1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于

它对应的平面区域如图中阴影部分所示:

则方程

+

=1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于

的椭 圆的概率为

P=

=

=

.

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016· 南昌高二检测)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为 【解析】根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 所以椭圆方程为 答案: + =1 + =1 上有 n 个不同的点 P1,P2,P3,…,Pn,椭圆的右焦点为 F,数列{|PnF|} . 的等差数
-3-

.

. ,所以 = .根据△ABF2 的周

+

=1(a>b>0).因为 e=

,

+

=1.

7.(2016·沈阳高二检测)椭圆 是公差大于

的等差数列,则 n 的最大值为

【解题指南】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d,再由数列{|PnF|}是公差大于

列,可求出 n 的最大值. 【解析】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3, |PnF|=|P1F|+(n-1)d. 若 d= ,n=201,d> ,n<201.

答案:200 8.(2016·长春高二检测)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连 .

接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为

【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点 A(或 B)到右焦点的距离,进而求 得 a,c. 【解析】在△ABF 中,由余弦定理得|AF| =|AB| +|BF| -2|AB||BF|cos∠ABF, 又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= , 解得|AF|=6.在△ABF 中,|AB| =10 =8 +6 =|BF| +|AF| ,故△ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为 F′,连接 AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形 AFBF′为矩形, 则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8, 即焦距 2c=10, 又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a, 所以 2a=|AF|+|AF′|=6+8=14. 故离心率 e= = 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,(1)求 C 的方程. (2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点,k 为何值时 ⊥ ?此时|AB|的值是多少. ),(0, )为焦点,长半轴长为 2 的椭 ),(0, )的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C. = .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

【解析】(1)设 P(x,y),由椭圆的 定义知,点 P 的轨迹 C 是以(0,-

圆,它的短半轴长 b=

=1.故曲线 C 的方程为

+x =1.

2

-4-

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 消去 y,并整理,得(k +4)x +2kx-3=0. 由根与系数的关系得 x1+x2=若 ⊥ ,则 x1x2+y1y2=0.
2 2 2

,x1x2=-

.

因为 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k x1x2+k(x1 +x2)+1, 所以 x1x2+y1y2=所以 k=± . 当 k=± 时,x1+x2=? 所以|AB|= = 而(x1-x2) =(x1+x2) -4x1x2=
2 2

-

-

+1=-

=0,

,x1x2=-

.

. +4× = ,

所以|AB|=

=

.

10.(2016·烟台高二检测)设椭圆 被椭圆截得的线段长为 (1)求椭圆的方程. .

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为

,过点 F 且与 x 轴垂直的直线

(2) 设 A,B 分 别 为 椭 圆 的 左 、 右 顶 点 , 过 点 F 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 椭 圆 交 于 C,D 两 点 . 若 · + · =8,求 k 的值. ,知 a= c. + =1,解得 y=± ,于是 = ,解得

【解析】(1)设 F(-c,0),由 =

过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c,代入椭圆方程有 b=
2

,
2 2

又 a -c =b ,从而 a= 所以椭圆方程为 +

,c=1, =1.

(2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),
-5-

由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1), 由方程组 消去 y,整理得(2+3k )x +6k x+3k -6=0.
2 2 2 2

所以 x1+x2=因为 A(所以 ·

,x1x2= ,0),B( + ,0), ·
2

.

=(x1+

,y1)·(

-x2,-y2)+(x2+

,y2)·(

-x1,-y1)

=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k (x1+1)(x2+1) =6-(2+2k )x1 x2-2k (x1+x2)-2k =6+ . =8,解得 k=± .
2 2 2

由已知得 6+

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016·济南高二检测)若直线 ax+by+4=0 和圆 x +y =4 没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆 的公共点个数为 ( A.0 C.2 ) B.1 D.需根据 a,b 的取值来确定
2 2 2 2

+

=1

【解题指南】根据直线 ax+by+4=0 和圆 x +y =4 没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2 为半径的圆 内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆 x +y =4 内切于椭圆,进而可知点 P 是椭圆 内的点,进而判断可得答 案. 【解析】选 C.因为直线 ax+by+4=0 和圆 x +y =4 没有公共点, 所以原点到直线 ax+by+4=0 的距离 d= 的圆内的点, 因为椭圆的长半轴为 3,短半轴为 2, 所以圆 x +y =4 内切于 椭圆, 所以点 P 是椭圆内的点, 所以过点 P(a ,b)的一条直线与椭圆的公共点数为 2.
2 2 2 2 2 2

>2,所以 a +b <4,所以点 P(a,b)是在以原点为圆心,2 为半径

2

2

-6-

2.椭圆 ax +by =1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 A. B.
2 2

2

2

,则 的值为 (

)

C.

D.

【解析】选 A.把 y=1-x 代入椭圆 ax +by =1, 得 ax +b(1-x) =1, 整理得(a+b)x -2bx+b-1=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= ,y1+y2=2, ,
2 2 2

所以线段 AB 的中点坐标为

所以过原点与线段 AB 中点的直线的斜率 k= 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016· 石家庄高二检测)过椭圆 原点,则△OAB 的面积为 . +

= =

,即 =

.

=1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标

【解析】右焦点为(1,0),故直线为 y=2(x-1). 由 消去 y,得 3x -5x=0,
2

所以 x=0 或 x= , 从而 A(0,-2),B .

所以|AB|=

=

=

.

又 O 到 AB 的距离 d=

=

, × = .

所以 S△AOB= ·|AB|·d= × 答案:

4.(2016·青岛高二检测)已知椭圆 点P使 =

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在 .

成立,则该椭圆的离心率的取值范围为 = ,得

【解析】由正弦定理及

-7-

=

=

.

在△PF1F2 中,设|PF2|=x,则|PF1|=2a-x. 则上式为 = ,即 cx+ax=2a ,x= <a+c.
2

.

又 a-c<x<a+c,所以 a-c< 由 a-c< 由
2 2 2

,得 a >-c ,显然恒成立.
2 2

<a+c,得 a <2ac+c ,
2 2

c +2ac-a >0,即 e +2e-1>0, 解得 e>-1+ 又 0<e<1, 所以 e 的取值范围为( 答案:( -1,1) -1,1). 或 e<-1(舍).

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.(2016·北京高二检测)已知椭圆 G: (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率. (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求 |AB|的最大值. 【解析】(1)由已知得 a=2,b=1, 所以 c= = . ,0),( ,0), +y =1,过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点.
2 2 2

所以椭圆 G 的焦点坐标为(离心率为 e= = .

(2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为(1, 当 m=-1 时,同理可得|AB|= . ),(1,),此时|AB|= .

当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m). 由 得(1+4k )x -8k mx+4k m -4=0.
2 2 2 2 2

-8-

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2= 由 l 与圆 x +y =1 相切,得 即 m k =k +1. 所以|AB|= =
2 2 2 2 2

,x1x2=

.

=1,

=

=

. ,

当 m=±1 时,|AB|= 所以|AB|= 因为|AB|=

,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). = ≤2,且当 m=± 时,|AB|=2,

所以|AB|的最大值为 2. 6.(2016·四川高考)已知椭圆 E: P 在椭圆 E 上. + =1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点

(1)求椭圆 E 的方程. (2)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|. 【解题指南】(1)利用点在椭圆上,列出方程,解出 b 的值,从而得到椭圆的标准方程.(2)利用椭圆的几何性 质,数形结合,利用根与系数的关系,进行计算.

【解析】(1)由已知,a=2b,又椭圆 椭圆的方程为 +y =1.
2

+

=1

过点 P

,故

+

=1,解得 b =1,所以

2

(2)设直线 l 的方程为 y= x+m

,A

,B

,

-9-

由方程组

得 x +2mx+2m -2=0,①

2

2

方程①的判别式为Δ =4
2

,由Δ >0,即 2-m >0,解得-

2

<m<

.

由①得 x1+x2=-2m,x1x2=2m -2,所以 M 点坐标为

,直线 OM 的方程为 y=- x,



得C

,D

,

所以 = 所以 = [ = = (2-m ), 所以
2

· · · + = ] = = ,

·

=

·

.

- 10 -


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