人教版高中数学选修二维形式的柯西不等式课件ppt课件_图文


二维形式的柯西不等式 探究问题 引入 柯西不等式 向量形式 柯西不等式的应 用思考 作业:课本 P 习题 3.1 第 1、 3、 7、 8 题 37 二维形式的柯西不等式 有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值, 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 ? a2 ? ? an ≥ n a1a2 an (ai ? R ? , i ? 1, 2 , , n) . n 本节, 我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用,感受数学的美妙,提高数学素养. 思考:阅读课本第 31 页探究内容. 由 a 2 ? b 2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系: ,d 设 a , b, c 为任意实数 . (a ? b )(c ? d ) 2 2 2 2 联 想 发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 2 2 2 2 2 若 a , b, c , d 都是 实数 , 则 (a ? b )(c ? d ) ≥ (ac ? bd ) . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. 你能简明地写出这个定理的证明? 运用这个定理, 我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 ? 思考:设 a, b ? R , a ? b ? 1, 求证: ? ≥ 4 . a b 思考解答 变形 运用这个定理, 我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 ? 思考 1:设 a, b ? R , a ? b ? 1, 求证: ? ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b ? R ? ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a ? b)( ? ) ≥ ( a ? ? b? ) ?4 a b a b 又 a ? b ? 1, 1 1 ∴ ? ≥4 a b 可以体会到,运用柯西不等式,思路一步到位,简洁明了! 解答漂亮! 定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a , b, c , d 都 是实数 , 则 (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ≥ (ac ? bd )2 . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. 变变形……,可得下面两个不等式: ⑴ 若 a , b, c , d 都 是实数 , 则 ( a 2 ? b 2 ) ? ( c 2 ? d 2 ) ≥ ac ? bd . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. ⑵ 若 a , b, c , d 都是实数 , 则 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的. ( a 2 ? b 2 ) ? (c 2 ? d 2 ) ≥ ac ? bd . 另外由这两个结论,你和以前学过的什么知识会有联想. 定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 ? , ? 是两个向量 ,则 ? ? ≥ ? ? ? . 当且仅当 ? 是零向量或存在实数 k , 使? ? k? 时,等号成立. 注:若 ? ? ( x1 , y1 ) , ? ? ( x2 , y2 ) ,则 x1 x2 ? y1 y2 cos ? , ? ? 2 2 2 2 x1 ? y1 ? x2 ? y2 定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数 , 则 ( x12 ? y12 )( x22 ? y22 ) ≥ ( x1 x2 ? y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立. 三角不等式 定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数 , 则 ( x12 ? y12 )( x22 ? y22 ) ≥ ( x1 x2 ? y1 y2 )2 . (发现)定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 ? R, 那么 ( x12 ? y12 ) ? ( x2 2 ? y2 2 ) ≥ ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 . 当 且 仅 当 当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立. x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立. y P 1 ( x1 , y1 ) y P 1(x 1 , y1 ) | y1 - y2 | O P 2 ( x2 , y2 ) x 这个图中有什么不等 关系? P 2 ( x2 , y2 ) O | x1 - x2 | x 柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 , 求 x ? 2 y 的最大值. 变式 1.已知 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 , 求 x ? 2 y 的最大值. 变式 2.已知 3 x ? 2 y ? 6 , 求 x 2 ? y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x ? 2 y ? 6 , 求 x 2 ? 2 y 2 的最小值. 思考 3.求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值. 课堂练习 课堂练习 1: 已知 a,b? R ? , a+b=1, x1 , x2 ? R? , 求证: ? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? ≥ x1 x2 分析:如果对不等式左端用柯西不等式,就得不到所 要证明的结论 .若把第二个小括号内的前后项对调一 下,情况就不同了 . 证明:∵ ? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? = ? ax1 ? bx2 ? ? ? ax2 ? bx1 ? 由柯西不等式可知 ? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? ≥ ? a 2 x1 x2 ? b x1 x2 ? 2 = ? a ? b ? x1 x2 ? x1 x2 .得证 作业:课本 P 习题 3.1 第 1、 3、 7、 8 题 37 课外思考: 1.已知 a 1 ? b ? b 1 ? a ? 1,

相关文档

人教版高中数学选修二维形式的柯西不等式ppt课件
人教版高中数学选修第三讲一二维形式的柯西不等式ppt课件
人教版高中数学选修3.1-二维形式的柯西不等式ppt课件
高中数学人教A版选修4-5 3-1 二维形式的柯西不等式 课件2 (共31张PPT)
人教版选修4-5高中数学:3.1《二维形式的柯西不等式》ppt课件
高中数学(人教A版)选修4-5配套课件第3讲 1 二维形式的柯西不等式(共36张PPT)
高中数学选修4-5课件(人教版)3.1二维形式的柯西不等式 (共56张PPT)
人教版2017高中数学(选修4-5)3.1二维形式的柯西不等式PPT课件
二维形式的柯西不等式ppt课件(13张) 高中数学选修4-5 北师大版
电脑版
?/a>