等比等差数列练习题


等差等比数列练习题 一、选择题 1.{an}是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为 ①{an2}也是等比数列 ②{can}(c≠0)也是等比数列 ③{ ( )

1 }也是等比数列 an

④{lnan}也是等比数列

A.4 B.3 C.2 D.1 2.等比数列{a n }中,已知 a9 =-2,则此数列前 17 项之积为 A.216 B.-216 C.217 D.-217 3.等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21, 则公比 q 的值为 A.1 B.-

( (

) )

1 2

C.1 或-1

D.-1 或

1 2
( )

4.在等比数列{an}中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3 等于 A.4 B.

3 2

C.

16 9

D.2 )

5、从前 180 个正偶数的和中减去前 180 个正奇数的和,其差为( A. 0 B. 90 C. 180 D. 360

6、等差数列 ? an ? 的前 m 项的和为 30 ,前 2m 项的和为 100 ,则它的前 3m 项的和为( A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 )

)

7、在等差数列 ? an ? 中, a 2 ? ?6 , a8 ? 6 ,若数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,则( A. S 4 ? S 5 B. S 4 ? S 5 C. S 6 ? S 5 D. S 6 ? S 5

8、 一个等差数列前 3 项和为 34 , 后 3 项和为 146 , 所有项和为 390 , 则这个数列的项数为 ( A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前 n 项之和为 n ,且前 n 个偶数项的和为 n (4n ? 3) ,则前 n 个奇数项的和为
3
2






2

A. ? 3n (n ? 1)

B. n (4n ? 3)
2

C. ? 3n

2

D.

1 3 n 2

10 若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为 100° ,最大角为 140° ,这个凸多边形的边 比为( ) A.6 B. 8 C.10 D.12 二.填空题 11、各项都是正数的等比数列 ?a n ?,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q = 12、已知等差数列 {an } 的公差是正整数,且 a 3 ?a7 ? ?12, a 4 ? a6 ? ?4 ,则前 10 项的和 S 10 = 13、一个等差数列共有 10 项,其中奇数项的和为 是

25 ,偶数项的和为 15,则这个数列的第 6 项 2

14、两个等差数列 ? an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若

S n 7n ? 3 a ? ,则 8 ? Tn n?3 b8

.

15.设等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,若 a5=20-a16,则 S20=___________. 16.若{an}是等比数列,a4· a7= -512,a3+ a8=124,且公比 q 为整数,则 a10 等于___________. 2 17.在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,a1 a2… an=n 恒成立,则 a3+ a5=___________. 18.设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1) 的通项公式是 an=___________. 三.解答题 19.已知数列满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*) (1) 求证数列{an+1}是等比数列; (2) 求{an}的通项公式. 20、己知 {a n } 为等差数列, a1 ? 2, a2 ? 3 ,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的 数构成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第 12 项是新数列的第几项? (2)新数列的第 29 项是原数列的第几项? 21.已知数列{an}的通项公式为 an=3n+2n+(2n-1),求前 n 项和。 22 . 已 知 数 列 {an} 是 公 差 d 不 为 零 的 等 差 数 列 , 数 列 {abn} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , b1=1,b2=10,b3=46,,求公比 q 及 bn。 23 .已知等差数列 {an} 的公差与等比数列 {bn} 的公比相等,且都等于 d(d>0,d 1),a1=b1 , a3=3b3,a5=5b5,求 an,bn。 24.有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这 四个数。 25.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7 =15,a2 a4 a6=45,求{an}的通项公式. 26.在等差数列{an}中,a1=13,前 n 项和为 Sn,且 S3= S11,求 Sn 的最大值. 一、选择题 1—5 BDCA C 二、填空题 11.
2 2 an ?1 -na n +an+1 an=0(n=1,2,3,…) ,则它

6—10 C B A B A

1? 5 2

12、-10

13、3

14、6

20?a1 ? a 20 ? 2 11.200.a 1+ a 20= a 5+a 16=20,∴S20= =10× 20=200.
12.512.∵ a 3+ a 8=124,又a 3 · a 8= a 4· a 7=-512, 2 故a 3, a 8是方程x -124x-512=0的两个根. 于是,a 3=-4,a 8=128,或a 3=128,a 8=-4.

由于q为整数,故只有a 3=-4,a 8=128 因此-4· q5=128,q=-2.所以a10= a 8· · q2=128× 4=512.

61 13. 16 . a 1 a 2…a n=n2,∴a 1 a 2…a n-1 =(n-1)2.

61 ? n ? ?3? ?5? an ? ? ? ? ?? ? ? ? 16 . ?4? ? n ? 1 ? (n≥2) 两式相除,得 .所以,a 3+ a 5= ? 2 ?

2

2

2

1 14. n .所给条件式即(a n+1 a n)[(n+1)a n+1-n a n]=0,由于a n+1 a n>0,所以(n+1)a n+ 1 n. 1= na n,又a 1=1,故na n=(n-1)a n-1=(n-2)a n-2=…=2a 2= a 1=1,∴a n=
三.解答题 15.(1)证明: 由 an+1=2an+1 得 an+1+1=2(an+1) 又 an+1≠0 ∴

a n ?1 ? 1 =2 an ? 1

即{an+1}为等比数列. - (2)解析: 由(1)知 an+1=(a1+1)qn 1 - - 即 an=(a1+1)qn 1-1=2· 2n 1-1=2n-1 16、解:设新数列为 ?bn ?, 则b1 ? a1 ? 2, b5 ? a2 ? 3, 根据bn ? b1 ? (n ? 1)d , 有b5 ? b1 ? 4d , 即 3=2+4d,∴ d ?

1 ,∴ bn ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 7 4 4 4
(4n ? 3) ? 7 ,∴ a n 4

又 ? an ? a1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ?

? b4 n ?3

即原数列的第 n 项为新数列的第 4n-3 项. (1)当 n=12 时,4n-3=4× 12-3=45,故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项; (2)由 4n-3=29,得 n=8,故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项。 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 17. Sn=a1+a2+…+an=(3 +2 +1)+(3 +2 +3)+ …+[3 +2 +(2n-1)]=(3 +3 +…+3 )+(2 +2 +…

3(1 ? 3 n ) 2(1 ? 2 n ) n(1 ? 2n ? 1) 3 n ?1 7 ? ? ? ? 2 n ?1 ? n 2 ? n 1? 2 2 2 2 2 )++[1+3+…+(2n-1)]= 1 ? 3
18.a b1 =a1,a b2 =a10=a1+9d,a b3 =a46=a1+45d 由{abn}为等比数例,得(a1+9d) =a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项,及abn=ab1·4 =3d·4 ,a1+(bn-1)d=3d·4
n-1 n-1 n-1 n-1 2

∴bn=3·4 -2 2 2 19.∴ a3=3b3 , ?a1+2d=3a1d , ?a1(1-3d )=-2d ①

?a5=5b5, ?a1+4d=5a1d4 , ∴

a1(1-5d )=-4d

4



5 1 ? 5d 4 1 2 2 2 ②/①,得 1 ? 3d =2,∴ d =1或d = 5 ,由题意,d= 5 ,a1=- 5 。∴

5 an=a1+(n-1)d= 5 (n-6)

5 n-1 n-1 bn=a1d =- 5 ·( 5 )

a , a, aq,2aq ? a q 20.设这四个数为
?a ? ·a ? aq ? 216 ?q ?a ? aq ? (3aq ? a ) ? 36 ?

① ②
由①,得a =216,a=6
3





③代入②,得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3,6,12,18 21、∵a1+a7=2a4, ∴3a4= a1+a4+a7=15,a4=5. ∵a2 a4 a6=45, ∴a2 a6=9. 设{an}的公差为d, 则(a4-2d) (a4+2d)9, 即(5-2d) (5+2d)=9, ∴d= ± 2. 因此,当d= 2时,an= a4+(n-4)d=2 n-3, 当d= -2时,an= a4+(n-4)d=-2 n+13, 22、∵ S3= S11,

——3分 ——4分

——7分 ——9分

3? 2 11 ? 10 d ? 11a1 ? d 2 ∴3 a1+ 2 .
又a1=13, ∴8× 13+52d=0 解得d= -2. ∴an= a1+(n-1) 7、d = -2 n+15.

——3分

——5分 ——7分

?a n ? 0, ?? 2n ? 15 ? 0 13 15 ? ? a ? 0 . ? 2 ( n ? 1 ) ? 15 ? 0 由 ? n ?1 即? ,解得 2 ≤n≤ 2 .
由于 n ? N ,故n=7. ∴当n=7时,Sn最大,最大值是 ——10分

S 7 ? 7a1 ?

7?6 7?6 ?? 2? ? 49 ? d ? 7 ? 13 ? 2 2 .

解答题 1、在等差数列{an}中,a1=-250,公差 d=2,求同时满足下列条件的所有 an 的和, (1)70≤n≤200;(2)n 能被 7 整除. 2、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a3=12, S12>0,S13<0.(Ⅰ)求公差 d 的取值范围; (Ⅱ)指出 S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{ a n }是首项为 23,公差为整数的等差数列,且前 6 项为正,从第 7 项开始变为负的,回 答下列各问: (1)求此等差数列的公差 d;(2)设前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值;(3)当 S n 是正数时,求 n 的最大值. 4、 设数列{ a n }的前 n 项和 S n .已知首项 a1=3,且 S n?1 + S n =2 a n ?1 ,试求此数列的通项公式 a n 及前 n 项和 S n . 5、已知数列{ a n }的前 n 项和 S n ?

1 1 n(n+1)(n+2),试求数列{ }的前 n 项和. an 3

6、 已知数列{ a n }是等差数列,其中每一项及公差 d 均不为零,设 ai x 2 ? 2ai ?1 x ? ai ? 2 =0(i=1,2,3,…) 是关于 x 的一组方程.回答:(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为 mi ,求证

1 1 1 1 , , ,…, ,…也成等差数列. m1 ? 1 m2 ? 1 m3 ? 1 mn ? 1

2 7、 如果数列{ a n }中,相邻两项 a n 和 a n ?1 是二次方程 x n ? 3nxn ? c n =0(n=1,2,3…)的两个根,当 a1=2

时,试求 c100 的值. 8、有两个无穷的等比数列{ a n }和{ a n },它们的公比的绝对值都小于 1,它们的各项和分别是 1 和 2,并且对于一切自然数 n,都有 a n ?1 ,试求这两个数列的首项和公比. 9 、有两个各项都是正数的数列 { a n },{ bn }. 如果 a1=1,b1=2,a2=3. 且 a n , bn , a n ?1 成等差数列 ,

bn , an?1 , bn ?1 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.
10、若等差数列{log2xn}的第 m 项等于 n,第 n 项等于 m(其中 m?n),求数列{xn}的前 m+n 项的 和。 三、解答题 1、 解: a1=-250, d=2, an=-250+2(n-1)=2n-252 同时满足 70≤n≤200, n 能被 7 整除的 an 构成一个新的等差数列{bn}. b1=a70=-112, b2=a77=-98,…, bn′=a196=140 其公差 d′=-98-(-112)=14. 由 140=-112+(n′-1)14, 解得 n′=19 ∴{bn}的前 19 项之和 S ? 19 ? (?112 ) ?

19 ? 18 ? 14 ? 266 . 2

2、解: (Ⅰ)依题意,有 S12 ? 12 a1 ?

12 ? (12 ? 1) ?d ? 0 2

S13 ? 13a1 ?

?2a1 ? 11d ? 0 (1) 13 ? (13 ? 1) ? d ? 0 ,即 ? 2 ? a1 ? 6d ? 0 ( 2)
(3)

由 a3=12,得 a1=12-2d

将(3)式分别代入(1),(2)式,得

?24 ? 7d ? 0 24 ,∴ ? ? d ? ?3 . ? 7 ? 3? d ? 0

(Ⅱ)由 d<0 可知 a1>a2>a3>…>a12>a13. 因此,若在 1≤n≤12 中存在自然数 n,使得 an>0,an+1<0,则 Sn 就是 S1,S2,…,S12 中的最大值. 由于 S12=6(a6+a7)>0, S13=13a7<0,即 a6+a7>0, a7<0. 由此得 a6>-a7>0.因为 a6>0, a7<0,故在 S1,S2,…,S12 中 S6 的值最大. 3、 (1)由 a6=23+5d>0 和 a7=23+6d<0,得公差 d=-4.(2)由 a6>0,a7<0,∴S6 最大, S6=8.(3)由 a1=23,d=-4,则 S n =

1 n(50-4n),设 S n >0,得 n<12.5,整数 n 的最大值为 12. 2

4、∵a1=3, ∴S1=a1=3.在 Sn+1+Sn=2an+1 中,设 n=1,有 S2+S1=2a2.而 S2=a1+a2.即 a1+a2+a1=2a2.∴ a2=6. 由 Sn+1+Sn=2an+1,……(1) Sn+2+Sn+1=2an+2,……(2) (2)-(1),得 Sn+2-Sn+1=2an+2-2an+1,∴an+1+an+2=2an+2-2an+1 即 an+2=3an+1 此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an 的通项公式 an= ?

?

3, 当n ? 1时,
n ?1

?2 ? 3

, 当n ? 2时.

此数列的前 n 项和为 Sn=3+2× 3+2× 32+…+2× 3n – 1=3+ 5、a n = S n - S n ?1 = + 1)=2, ∴ a1=

2 ? 3(3 n ?1 ? 1) n =3 . 3 ?1

1 1 1 n(n+1)(n+2)- (n-1)n(n+1)=n(n+1).当 n=1 时, a1=2,S1= × 1× (1+1)× (2 3 3 3
S 1. 则 a n = n(n + 1) 是 此 数 列 的 通 项 公 式 。 ∴

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )= a1 a 2 an 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) 2 2 3 n n ?1
1-

1 n = . n ?1 n ?1
2 2

6 、 (1) 设公共根为 p, 则 ai p ? 2ai ?1 p ? ai ? 2 ? 0 ① ai ?1 p ? 2ai ? 2 p ? ai ?3 ? 0 ②则② - ① , 得 dp2+2dp+d=0,d≠0 为公差,∴(p+1)2=0.∴p=-1 是公共根.(直接观察也可以看出公共根为-1).(2) 另一个根为 mi , 则 mi + ( - 1)=

? 2ai ?1 a 2d 1 2d ? ?2 ? ? ? i , 易于证明 . ∴ mi +1= ? 即 ai ai mi ? 1 2d ai

{

1 1 }是以- 为公差的等差数列. mi ? 1 2

7、解由根与系数关系, a n + a n ?1 =-3n,则( a n ?1 + an? 2 )-( a n + a n ?1 )=-3,即 an? 2 - a n =-3.∴ a1,a3,a5…和 a2,a4,a6…都是公差为-3 的等差数列,由 a1=2,a1+a2=-3,∴a2=-5.则 a 2 k =-3k-2,∴ a100=-152, a 2 k ?1 =-3k+5,∴a101=-148,∴c100= a100 ? a101=22496 8、设首项分别为 a 和 b,公比 q 和 r. 则有 q ?1, r ?1 .依据题设条件 ,有

a b =1,① =2,② 1? q 1? r

?aq ?
有 q= ?

n ?1 2

? br n ?1 ,③ 由上面的①,②,③ 可得(1-q)2 q 2 n ? 2 =2(1-r) r n?1 .令 n=1,有(1-q)2=2(1-r),

④设 n=2.则有(1-q)2q2=2(1-r)r,⑤ 由④和⑤,可得 q2=r,代入④ 得(1-q)2=2(1-q2).由于 q≠1,∴

1 1 4 16 ,r = .因此可得 a=1-q= ,b=2(1-r)= . 3 9 3 9 4 16 ? ? ?a?3 ?b ? 9 2 ∴? 和 经检验,满足 a n ? bn 的要求. 1 ? 1 ?q ? ? ?r ? 3 ? 9 ?
1 ? ?bn ? (a n ? a n ?1 ) 9、依据题设条件,有 ? 由此可得 2 ? ? a n ?1 ? bn bn ?1

bn ?

1 1 ( bn?1bn ? bn bn?1 ) = bn ( bn?1 ? bn?1 ) .∵ bn >0,则 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 。∴ 2 2
( n ? 1) 2 . 2
2

{ bn }是等差数列.∴ bn =



n 2 ( n ? 1) 2 ? n( n ? 1) ? 1 a ? bn ?1bn ? ? =? ,∴ a n = n(n ? 1) ? 2 2 2 ? 2 ?
2 n

10、2m+n-1


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