高考数学专题训练-幂函数与二次函数


幂函数与二次函数
一、幂函数 (一)基本知识点 1、幂函数的定义和性质 2、几个重要的函数模型 (1)一次函数: y ? ax ? b (2)分式函数: y ? (3)二次函数:

cx ? d ax ? b

y ? ax2 ? bx ? c
(4)双钩函数: y ? ax ?

b x

(二)精典例题 1、函数 y ? (mx ? 4 x ? m ? 2)
2 ? 1 4

? (m2 ? mx ? 1) 的定义域是全体实数,则实数 m 的取值

范围是(

) . B. ( 5 ? 1 , ? ∞)
2) C. (?2,

A. ( 5 ? 1 , 2)

D. (?1 ? 5, ? 1 ? 5)

2、已知 (a ? 1)

?

1 3

? (3 ? 2a) ,求 a 的取值范围。
2

?

1 3

3、 已知函数 f ( x) ? x 3 ,x ?? ?1,8? , 函数 g ( x) ? ax ? 2 ,x ?? ?1,8? . 若对任意 x1 ?? ?1,8? , 总存在 x2 ???1,8? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立.则实数 a 的取值范围是__

5 5 5 ,则 a, b, c 的大小关系是( 4、 (2010 安徽文)设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( )

3 5

2

2 5

3

2 5

2



(A)a>c>b

(B)a>b>c

(C)c>a>b

(D)b>c>a

5、利用幂函数图象,画出下列函数的图象(写清步骤). (1) y ?

x2 ? 2 x ? 3 ; x2 ? 2 x ? 1

(2) y ? ? x ? 3?

?

7 3

?2

6、已知 f ( x) ? x

?

1 2

,若 f (a ? 1) ? f (10 ? 2a) ,则 a 的取值范围是_______。

7、已知幂函数 f ( x) ? x?m

2

?2 m?3

(m ? Z ) 为偶函数且在区间 (0, ??) 上是单调增函数.

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 设函数 g ( x) ? 2 f ( x) ? 8x ? q ?1 , 若 g(x 求实数 q ) ? 0 对任意 x ?[?1,1] 恒成立, 的取值范围.

8、 (2010 年高考 (北京文) ) 给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2x?1 ,
2

1

其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( A.①② B. ②③

) C. ③④ D. ①④

9 、 (1) 一 次 函 数 f ( x) ? kx ? h(k ? 0) , 若 m ? n 有 f (m) ? 0, f (n) ? 0 , 则 对 于 任 意

x ? ? m, n? 都有 f ( x) ? 0 ,试证明之;
(2) 试 用 上 面 结 论 证 明 下 面 的 命 题 : 若 a, b, c ? R 且 a ? 1, b ? 1, c ? 1 , 则

a b? b c ?

a? c 1? .

(三)巩固与提高:
1? ? 1、已知点 ( 2, 2) 在幂函数 f ( x) 的图象上,点 ? ?2, ? ,在幂函数 g ( x) 的图象上。问当 x 为 4? ?

何值时有: (1) f ( x) ? g ( x) ; (2) f ( x) ? g ( x) ; (3)

f ( x) ? g ( x) 。

2、如果幂函数

f ( x) ? (m2 ? m ?1) xm ?2m?1 在区间 ? 0, ??? 上是增函数,求实数 a 的取值
2

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集合。

3、若 (a ? 1)?2 ? (3 ? 2a)?2 ,则 a 的取值范围是____

4、 (1)当 0 ? x ? 1 时,函数 y ? ax ? a ? 1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值范围是 ( )

(A)a<

1 2

(B)a>1

(C)a<

1 或 a>1 2

(D)

1 <a<1 2

(2)对任意 k ?? ?1,1? ,函数 f ( x) ? x2 ? (k ? 4) x ? 2k ? 4 的值恒大于零,则 x 的取值范 围是____
?p 5 、 已 知 对 任 意 的 x1, x2 ? ? 0, ??? 且 x1 ? x2 , 幂 函 数 f ( x) ? x

2

? 2 p ?3

? p?Z? 满足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,并且对任意的 x ? R, f ( x) ? f (? x) ? 0
(1)求 p 的值,并写出相应的函数 f ( x ) 的解析式;
2 (2)对于(1)中求得的函数 f ( x ) ,设函数 g ( x) ? ?qf ( x) ? (2q ? 1) x ? 1,是否存在实

数 q(q ? 0) ,使得 g ( x) 在区间 ? ??, ?4? 上是减函数,且在 ? ?4,0 ? 上是增函数?若存在, 求出 q 的值;若不存在,说明理由。

二、二次函数 (一)基本知识点 1、二次函数的常见形式 2、二次函数的性质:单调性;对称性;二次方程实数根的分布问题 (二)经典例题: 1、分别求满足下列条件的二次函数 y ? f ? x ? 的解析式。 (1)图象的顶点为(2,3) ,且经过点(3,1) ;

2 ( 2 )已知 a, b, c ? R , f ( x) ? ax ? bx ? c . 若 a ? 0 ,且 f ( x ? 2) ? f (2 ? x ),且方程

f ( x) ? 0 两实根的平方和为 10,函数 y ? f ( x) 的图象过点 (0,3) ,求函数 y ? f ( x) 的解析
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式. (3)图象过点 ?1,1? , ? 0,2? , ?3,5?

1 2 2、(1) 已知函数 f ? x ? ? x ? ? a ?1? x ? 5 在区间( ,1)上为增函数,那么 f ? 2 ? 的取值范围 2 是_________ (2)已知函数 f ? x ? ? 4x ? 4ax ? a ? 2a ? 2 在区间[0,2]上的最小值为 3,求 a 的值
2 2

(3)设函数 f ( x) ? x | x | ?bx ? c, 给出下列 4 个命题: ①当 c=0 时, y ? f ( x) 是奇函数; ②当 b=0,c>0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ y ? f ( x) 的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根. 上述命题中正确的序号为 .

3、定义在 (??,4] 上的减函数 f ( x) 使 f (m ? sin x) ? f ( 1 ? 2m ? 成立,求 m 的取值范围。

7 ? cos 2 x) 对一切 x 恒 4

4、 已知 a 为实数, 不等式 x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 有解, 且它的解集是不等式 x ? 5x ? 4 ? 0 的
2 2

解集的子集,求 a 的取值范围。

5、 (2009 福建卷理)函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?
2
2

b 对称。据此 2a

可推测,对任意的非零实数 a, b, c, m, n, p ,关于 x 的方程 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的 解集都不可能是 ( A. ?1, 2? ) B ?1, 4? C ?1,2,3,4? D ?1,4,16,64?

6、 (2011 年数学理(重庆) )设 m, k 为整数,方程 mx ? kx ? 2 ? 0 在区间(0,1)内有两个不
2

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同的根,则 m ? k 的最小值为( A.-8 B.8

) C.12 D.13

7、已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx(a、b 为常数,且 a ≠ 0) ,满足条件 f (1 + x) = f (1-x), 且方程 f (x) = x 有等根. (1)求 f (x) 的解析式; (2)是否存在实数 m、n(m < n) ,使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n],如 果存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由。 8、 设函数 f ( x) ? ax2 ? 8x ? 3 , 对于给定的负数 a , 有一个最大的正数 M (a) , 使得 x ?[0,

M (a) ],时,恒有| f ( x) | ? 5,
(1)求 M (a) 关于 a 的表达式; (2)求 M (a) 的最大值及相应的 a 的值。

9 、已知 f ( x ? 2) ? ax2 ? ( a ? 3) x ? a ? 2(其中 a 为负整数) ,函数 f ( x ) 的图像经过点

? m ? 2,0?? m ? R? 。
(1)求函数 f ( x ) 的解析式

) (2)设 q(x) ? f [ f (x)], F( x

? p q? ( x)

? f ( x)

,是否存在实数 p( p ? 0) ,使 F ( x) 在区间

? ??, ?3? 上是减函数,且在区间 ? ?3,0? 上是增函数?证明你的结论。
10、若 f ( x) ? x2 ? bx ? c ,不论 ?、? 为何实数,恒有 f (sin ? ) ? 0, f (2 ? cos ? ) ? 0 。 (1) 求证: b ? c ? ?1 ; (2) 求证: c ? 3 ; (3) 若函数 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b, c 的值。

11、已知函数 f ( x) ? ax ? ax 和 g ( x) ? x ? a .其中 a ? R且a ? 0 .
2

(1)若函数 f ( x ) 与的图像的一个公共点恰好在 x 轴上,求 a 的值; (2)若 p 和 q 是方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的两根,且满足 0 ? p ? q ? 时, g ( x) ? f ? x ? ? p ? a .
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1 ,证明:当 x ? ? 0, p ? a

12 、 若 函 数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的 图 象 过 点 (?1,0) , 是 否 存 在 常 数 a, b, c , 使 不 等 式

x ? f ( x) ?

1 (1 ? x 2 ) 对一切实数 x 都成立? 2

13、 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c (a ? 0) ,若 a ? b ? c ? 0 , f (0) ? f (1) ? 0 , (1)证明:方程 f ( x) ? 0 有实根; (2)证明: ? 2 ?

b ? ?1 ; a

(3)设 x1 , x 2 方程 f ( x) ? 0 的两个实根,求 x1 ? x2 的范围。

(三)巩固与提高: 1、 (1)若二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像的顶点坐标为 ? 2, ?1? ,与 y 轴的交点坐标为
2

(0,11),则(

) B. a ? 3, b ? 12, c ? 11 D. a ? 3, b ? ?12, c ? 11

A. a ? 1, b ? ?4, c ? ?11 C. a ? 3, b ? ?6, c ? 11

(2)若 f ? x ? ? ?x ? ?b ? 2? x ? 3, x ?[b, c] 的图像关于 x=1 对称,则 c=___
2

(3) 若二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 A ? x1 ,0? 、B ? x2 ,0? ,
2
2 2 且 x1 ? x2 ?

26 2 , 试问该二次函数的图像由 f ? x ? ? ?3 ? x ? 1? 的图像向上平移几个单位得 9

到? (4)函数 f ? x ? ? x ? px ? q 对任意的 x 均有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ,那么 f ? 0 ? 、 f ? ?1? 、
2

f ?1? 的大小关系是(

) B. f ? 0? ? f ? ?1? ? f ?1? D. f ? ?1? ? f ? 0? ? f ?1?

A. f ?1? ? f ? ?1? ? f ? 0? C. f ?1? ? f ? 0? ? f ? ?1?

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(5)已知函数 f ? x ? ? ?x ? kx 在 [2, 4] 上是单调函数,求实数 k 的取值范围。
2

(6)已知函数 f ? x ? ? x ? 2x ? 3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是
2



) A. ?1, ?? ? B. ? 0, 2? C. ?1, 2? D. ? ??,2?

( 7 ) 若 函 数 f ? x? ? ax ? bx?3 a? ? 是 偶 函 数 , 则 点 ? a, b ? 的 坐 标 是 b a ? 1 ? x?2 ?a
2

________ 2、已知函数 f ( x) ? (4 ? 3a) x2 ? 2 x ? a ,其中 a ? R ,求 f ( x ) 在 ?0,1? 上的最大值

3、若函数 f ( x) ? ?

1 2 13 x ? 在区间 ? a, b? 上的最小值为 2 a ,最大值为 2b ,求 ? a, b? 2 2
2

4、关于 x 的方程: log4 x ? m log4 x 2 ? 5 ? 0 在 (16,??) 上有两个不同的实根,求 m 的 取值范围。

2 5、设二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1

(1)求实数 a 的取值范围; (2)试比较 f (0) ? f (1) ? f (0) 与

1 的大小。 16

6、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) 满足:对任意实数 x,都有 f ( x) ? x ,且 当 x ? (1,3)时, 有f ( x) ? (1)证明:f(2)=2; (2)若 f(-2)=0,求 f(x)的表达式; (3)设 g ( x) ? f ( x) ? 数 m 的取值范围.

1 ( x ? 2) 2 成立. 8

m 1 x, x ? [0,?? ), 若g ( x) 图像上的点都位于直线 y ? 的上方,求实 2 4

2 7 、 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c 和 一 次 函 数 g ( x) ? ?bx , 其 中 a, b, c 满 足

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a ? b ? c, a ? b ? c ? 0 ? a, b, c ? R ?
(1)求证:两函数的图像交于不同的两点 A, B ; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围。

李老师,29 年教龄,高级职称,现专职从事中学数学辅导,辅导科 目包括初中到高中各年级数学,重点为高中数学,对不同年级、不同 程度的学生均有专用学案,如以下为高三优等生使用学案: http://www.docin.com/d-137849.html&forward=2。辅导效果良好, 价格优惠。长沙的同学可以面授,外地同学可远程辅导。 如有需要请联系,电话:15874967191,QQ:1374783065

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