高三数学函数测试试题


高三数学测试试题
第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。
?2 1.若集合 M ? { y y ? x } , P ? { y y ?

x ? 1} ,那么 M ? P ? ( )
C . (0,??)
D . [0,??)

A . (1,??)

B . [1,??)

2.若函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? lg( x ? 1) 的图象关于直线 x ? y ? 0 对称,则 f ( x) ? ( )

A . 1 ? 10x
3.函数 f ( x) ?

B . 10 x ? 1

C . 10? x ? 1

D . 10? x ? 1

1 的最大值是( ) 2 ? x(1 ? x)
B.

7 4 D. 4 7 1 ?1 4.已知函数 y ? f ( x) 的图象过点 (1,0) ,则 y ? f ( x ? 1) 的反函数的图象一定过点( ) 2
A.
C.

9 4

4 9

A . (1,2)

B . (2,1)

C . (0,2)

D . (2,0)

5.设集合 M ? {a, b, c} , N ? {0,1} ,映射 f : M ? N 满足 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则映射 f : M ? N 的个 数为( )

A .1
6.若 ? ? (0,

B .2

C .3

D .4

?
2

) ,则函数 y ? logsin ? (1 ? x) ? 2 的解集是( )
B . x ? (cos2 ? ,1)

A . x ? (?1, sin 2 ? )

1 C . x ? (cos 2 ? , ) 2

D . x ? (?1, cos2 ? )

7.设偶函数 f ( x) ? loga x ? b 在 (??,0) 上递增,则 f (a ? 1) 与 f (b ? 2) 的大小关系是

A . f (a ? 1) ? f (b ? 2)
D . f (a ? 1) ? f (b ? 2)

B . f (a ? 1) ? f (b ? 2)

C . f (a ? 1) ? f (b ? 2)

?x 8.函数 y ? ? x ? b 与 y ? b ( b ? 0 且 b ? 0 )的图象可能是( )

y 1 o
A

y 1 x
B

y 1

y 1 o
D

o

x

o
C

x

x

x 9.已知函数 f ( x ) ? ( ) ,则函数 g ( x) 的图象与 f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,则函数 g ( x 2 ) 是( )

1 2

A .奇函数在 (0,??) 上单调递减
C .奇函数在 (??,0) 上单调递减

B .偶函数在 (0,??) 上单调递增
D .偶函数在 (??,0) 上单调递增

10.当 x ? ?0,2? 时,函数 f ( x) ? ax2 ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值范围是 A. [? , ??)

1 2

B. ?0,???

C. ?1,???

D. [ , ??)

2 3

11.若函数 f ( x) ? ax3 ? b log2 ( x ?

( a , b 为常 x 2 ? 1) ? 2 在 (??,0) 上有最小值-5,

数) ,则函数 f ( x) 在 (0,??) 上( )

A .有最大值 9
12.函数 f ( x) ? 1 ?

B .有最小值 5

C .有最大值 3

D .有最大值 5

2 的定义域为 A, g ( x) ? lg[(x ? a ? 1)(2a ? x)],(a ? 1) 的定义 x ?1


域为 B,且 B ? A ,则实数 a 的取值范围是(

A . (??,?2]
13.函数 y ?

1 B . [ ,1) 2

1 C . (??,?2] ? [ ,1) 2
( )

1 D . (??,?2] ? [ ,1] 2

9 ? x2 的图象关于 | x ? 4| ? | x ?3|
B. y 轴对称

A. x 轴对称 .14 设函数 f ( x ) =

C.原点对称

D.直线 x ? y ? 0 对称

ax ? b 的图象如下图所示,则 a、b、c 的大小关系是 x2 ? c
y

1 -1
O

1

x

-1

A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>a>c

D.c>a>b

第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分共 20 分。 15.设奇函数 f ( x) 的定义域 [?5,5] ,若当

y o 2 5 x

x ? [0,5] 时, f ( x) 的图象如图,则不等式
f ( x) ? 0 的解是_________
16.函数 y ? f ( x) ( x ? R ) 满足 f ( x) 是偶函数,又

f (0) ? 2003, g ( x) ? f ( x ? 1) 为奇函数则 f (2004 ) ? __________
17.某地区预计 2004 年的前 x 个月内对某种商品的需求总量 f ( x) (万件)与月份 x 的近似 关系式是 f ( x) ?

1 x( x ? 1)(19 ? x), x ? N * ,1 ? x ? 12, ,则 2004 年的第 x 月的需求 75

量 g ( x) (万件)与月份 x 的函数关系式是___________ 18. 函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在 ( ??, 0] 上是增函数,若 f (a) ? f (2) , 则实数 a 的取值范围是 ___________ 19.已知 f ( x) 是定义在 (??,??) 上的函数, m, n ? (??,??) ,请给出能使命题: “若 m ? n ? 0, 则 f (m) ? f (n) ? f (?m) ? f (?n) ”成立的一个充分条件是________

三、解答题:本大题共 5 小题共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 20. (本小题满分 12 分) 设 f (loga x) ?

a( x 2 ? 1) x(a 2 ? 1)

(1)求 f ( x) 的解析式及定义域 (2)在 y ? f ( x) 的图象上是否存在两个不同的点,使过这两点的直线与 x 轴平行?证明你的结论。

21 (本小题满分 12 分) . 已知函数 f ? x ? 在定义域 ? 0, ?? ? 上为增函数, 且满足 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ?3? ? 1 (1)求 f ?9? , f ? 27? 的值 (2)解不等式 f ? x ? ? f ? x ? 8? ? 2

22. (本小题满分 12 分) 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池又向居民小区 不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t 吨, ( 0 ? t ? 24 ) (Ⅰ)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (Ⅱ)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内,有几小时出 现供水紧张现象

。 23. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 的定义域为 R , 对任意实数 m 、n , 满足 f ( ) ? 2 , 且 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,

1 2

1 时, f ( x) ? 0 2 1 (1)求 f ( ? ) 的值; 2
当x ? ? (2)求证: f ( x) 在定义域 R 上是单调递增函数。

24. (本小题满分 12 分)设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件:
2

①当 x ∈R 时, f ( x ) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x ) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立。

一.选择题 CBDAC 17. g ( x ) ?

BDCDD

ACBB 二.填空题 15 . (2,5] ? (?2,0) ;

16 . f (2004 ) ? 2003;

1 x(13 ? x) x ? N * ,1 ? x ? 12, 25

18. a ? ?2 或 a ? 2 19.函数 f ( x) 在 (??,??) 上单调递增

(或 f ( x) ? ax ? b , ( a ? 0) 等) 三.解答题
t 20.解: (1)令 t ? loga x ,则 x ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) , t ? R ,故 f (t ) =

a (a t ? a ? t ) , t ? R a ?1
2

即 f ( x) =

a (a x ? a ? x ) , x ? R 即 f ( x) 的定义域是实数集。 a ?1
2

( 2 ) 任 取 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2

x x 若 a ?1 ,则 a 1 ? a 2 ,

a ? x1 ? a ? x2

即 ?a

? x1

? ? a ? x2 ,

a x1 ? a ? x1 ? a x2 ? a ? x2


a a a ? 0? 2 (a x1 ? a ? x1 ) < 2 (a x2 ? a ? x2 ) 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 若 0 ? a ? 1 ,易得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) a ?1 a ?1 a ?1
2

综上可知,当 a ? 0 且 a ? 1 时, f ( x) 在 R 上为增函数,则在 y ? f ( x) 的图象上不存在两个不同点,使过这 两点的直线与 x 轴平行。 21..解: (1) f ?9? ? f ?3? ? f ?3? ? 2, f ? 27? ? f ?9? ? f ?3? ? 3

(2)

? f ? x ? ? f ? x ? 8? ? f ? ? x ? x ? 8?? ? ? f ?9?

?x ? 0 ? ? 8 ? x ? 9 即原不等式的解集为 (8,9) 而函数 f(x)是定义在 ? 0, ?? ? 上为增函数? ? x ? 8 ? 0 ? x ( x ? 8) ? 9 ?
22.解:Ⅰ.设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨,则 y ? 400? 60t ? 120 6t ; 令 6t = x ;则 x ? 6t ,即 y ? 400? 10x 2 ? 120x ? 10( x ? 6) 2 ? 40 ;
2

? 当 x ? 6 ,即 t ? 6 时, ymin ? 40 ,即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨。
Ⅱ.依题意 400? 10x ? 120x ? 80 ,得 x ? 12x ? 32 ? 0 ;
2 2

解得, 4 ? x ? 8 ,即 4 ? 即由 23.

8 32 ; 6t ? 8 , ? t ? 3 3

32 8 ? ? 8 ,所以每天约有 8 小时供水紧张。 3 3 1 2 1 1 , n ? ? ,得 2 2

解: ( 1 ) 令 m ? n ? 0 , 得 f (0) ? 2 f (0) ? 1 , ? f (0) ? 1 又 f ( ) ? 2 , 令 m ?

1 1 1 1 f ( ? ) ? f ( ) ? f (? ) ? 1 2 2 2 2 1 ? f (? ) ? 0 2

(2)设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2 ,则 x2 ? x1 ? 0 , x 2 ? x1 ? 当x??

1 1 ?? 2 2

1 1 时, f ( x) ? 0 ? f ( x 2 ? x1 ? ) ? 0 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [(x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) = f ( x2 ? x1 ) + 2 2 1 1 f ( x1 ) -1- f ( x1 ) = f ( x2 ? x1 ) -1= f ( x2 ? x1 ) + f ( ? ) -1= f ( x 2 ? x1 ? ) ? 0 因此, f ( x) 是增函数。 2 2
??????????3 分

24. 解: (1)在②中令 x=1,有 1≤f(1)≤1,故 f(1)=1 (2)由①知二次函数的关于直线 x=-1 对称,且开口向上 1 故设此二次函数为 f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a= 4 1 2 ∴f(x)= (x+1) 4 (3)假设存在 t∈R,只需 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x. 1 f(x+t)≤x ? (x+t+1)2≤x ? x2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0. 4 令 g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

??????????7 分

? ? g (1) ? 0 ??4 ? t ? 0 ?? ? ? g ( m) ? 0 ? ?1 ? t ? 2 ?t ? m ? 1 ? t ? 2 ?t
∴m≤1-t+2 ? t ≤1-(-4)+2 ? (?4) =9 t=-4 时,对任意的 x∈[1,9] 恒有 g(x)≤0, ∴m 的最大值为 9. ?????????? 14 分


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