福州市2012~2013第一学期高三期末质量检查数学(文科)试卷


福州市 2012—2013 学年第一学期高三期末质量检查 数学(文科)试卷
(满分:150 分;完卷时间:120 分钟) 参考公式:
n

? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式: b ?

?x y
i ?1 i

i

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1

n

? ? , a ? y ? bx

2 i

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.i 是虚数单位,复数 A.第一象限

2?i 在复平面上所对应的点在( 1? i
C.第三象限 ) D.8

) D.第四象限 U A B

B.第二象限

2.如图设全集 U 为整数集,集合 A={x∈N|1≤x≤8},B={0,1,2},则下图中 阴影部分表示的集合的真子集的个数为( A.3 B.4 C.7

3.设命题 p:函数 y=cos2x 的最小正周期为 则下列判断正确的是( A.p 为真 x y x=20 时,y 的估计值为( A.210 B.210.5 )

? ? ;命题 q:函数 y=sinx 的图象关于直线 x= 对称, 2 2
C.p ? q 为真 D.p ? q 为真

B. ? p 为真 2 20 4 40

4.对于有线性相关关系的变量 x,y,测得一组数据如下表: 5 60 6 70 8 80

? ? 根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 y ? 10.52x ? a ,据此模型来预测当
) C.211.5 D.212.5 )

? ? ? ? 5. a // b ”是“存在唯一实数 ? ,使得 a ? ?b ”的( “
A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件 )
y -1 o x y y

6.函数 y= log5 (1-x)的大致图象是(
y

o

1

x

o

1 x

o
1 x

B A D C 7.△ABC 中,若 sinB 既是 sinA,sinC 的等差中项,又是 sinA,sinC 的等比中项,则∠B 的值

是(

) 高三数学(文科) —1— (共 10 页)

A.300

B.450

C.600

D.900

8.在区间[0, ? ]上随机取一个数 x ,则事件“sinx+cosx= A.

1 4 2012 2011

B.

1 3 2011 2012

C.

1 2 2012 2013

6 ”发生的概率为( 2 i=1 2 D. S=0 3
) D.

)

9.若运行如右图所示相应的程序,则输出 S 的值是( A. B. C.

2013 2012

10.已知函数 f(x)=Msin( ? ? x ? ? )(M>0, ? >0,| ? |< 如 图所示,则函数 f(x)的解析式为( )

? )半个周期内的图象 2
y 2

WHILE i<=2012 S=S+1/(i*(i+1)) i=i+1 WEND PRINT S END

? ? A.f(x)=2sin(x+ ) B.f(x)=2sin(2x- ) 6 6 ? ? C.f(x)=2sin(x- ) D.f(x)=2sin(2x+ ) 6 6
11.若点(m,n)在第一象限,且在直线 2x+3y=5 上,则 A.

?

?
6

o

?
3

x

2 3 ? 的最小值为( m n
D.5

)

24 5

B.

26 5

C.4

12. 能够把圆 O: 2+y2=16 的周长和面积同时分成相等的两部分的函数称为圆 O 的 x “和谐函数” , 下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是( A.f(x)=x3 B.f(x)=tan ) C.f(x)= e ? e
x ?x

x 2

D.f(x)=ln[(4-x)(4+x)]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13.以椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为焦点,且顶点在原点的抛物线标准方程为 3



14.若函数 f(x)= ?

? log2 x , x ? 0 ,则函数 f(x)的零点为 x ?? 2 ? 1 , x ? 0



?x ? y ? 2 ? 1 15.已知 O 是坐标原点,点 M 的坐标为(2,1),若点 N(x,y)为平面区域 ? x ? 上的一个动 2 ? ? y?x
点,则的最大值是
x1


x x

16.已知点 A( x1 , 2 ),B( x2 , 2 2 )是函数 y= 2 的图象上任意不同两点,依据图象可知线段

高三数学(文科) —2— (共 10 页)

2 x1 ? 2 x2 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 ?2 2
则类似地有 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}中,a1=1,且点(an,an+1)在函数 y=3x+2 的图象上(n∈N*), (Ⅰ)证明:数列{ an+1} 是等比数例; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和。 成立。

x1 ? x2 2

成立。运用类比思

想方法可知,若点 A(x1,sinx1) ,B(x2,sinx2)是函数 y=sinx(x∈(0, ? )) 的图象上任意不同两点, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2sin ? x ? cos ? x+2 为? , (I)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向左平移

3 cos2 ? x- 3 (其中 ? >0);且函数 f(x)的最小正周期

1 ? 个单位长度, 再将所得图象各点的横坐标缩小为原来 的倍 2 6

(纵坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调区间。

19.(本小题满分 12 分) 某学校为促进学生的全面发展,积极开展丰富多样的社团活动,根据调查,学校在传统民族 文化的继承方面开设了“泥塑”、 “剪纸”、 “年画”三个社团,三个社团参加的人数如下表所示: 社团 泥塑 剪纸 年画 320 240 200 人数 为调查社团开展情况,学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本, 已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少 2 人。 (I) 求三个社团分别抽取了多少同学; (II)若从“剪纸”社团抽取的同学中选出 2 人担任该社团活动监督的职务,已知 “剪纸”社团 被抽取的同学中有 2 名女生,求至少有 1 名女同学被选为监督职务的概率。

20.(本小题满分 12 分)

x2 y2 设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 是椭圆短轴的一个端点, a b
且焦距为 6,PF1F2 的周长为 16。 (I)求椭圆 C 的方程; 高三数学(文科) —3— (共 10 页)

(II)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线 l 被椭圆 C 所截线段中点坐标。 5

21.(本小题满分 12 分) 如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAC 是一个游泳池,计 划在地块 OABC 内修一条与池边 AC 相切的直路 l (宽度不计),切点为 M,并把该地块分为两部 分,现以 O 为坐标原点,以边 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,若池边 AC 满足函数

1 2 x +2(0≤x≤2)的图象,且点 M 到边 OA 的距离为 t(0<t<2). 2 1 (I)当 t= 时,求直路 l 所在的直线方程; 2
y= ? (II)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含游泳池那侧的面积取到 最大值,最大值是多少?

y A B

O

x C

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=lnx+bx2 的图象过点(1,0) (I)求 f(x)的解析式;

t ? ln x (t 为实数)恒成立,求 t 的取值范围; x x2 m2 ? 1 ? (III)当 m>0 时,讨论 F(x)= f(x)+ 在区间(0,2)上极点的个数。 2 m
(II)若 f(x)≥

参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A 11.D 12.D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. y 2 ? 4 2 x 14. 1 或 0 15.3 16. sin x1 ? sin x2 ? sin x1 ? x2
2 2

高三数学(文科) —4— (共 10 页)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.) 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因点 (an , an?1 ) 在直线 y ? 3x ? 2 的图象上,? an?1 ? 3an ? 2 , 令 bn ? an ? 1,故只需证 ?bn ? 是等比数列, ··························· 分 ··········· ·········· ····· 2 ·········· ··········· ·····

bn?1 an?1 ? 1 3an ? 2 ? 1 3? an ? 1? ··········· ····· ·········· ····· ? ? ? ? 3 , b1 ? a1 ? 1 ? 2 ,················4 分 bn an ? 1 an ? 1 an ? 1

? 数列 ?bn ? 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列.
即数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列. ····················· 6 分 ··········· ·········· ·········· ··········· (Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列, ∴ an ? 1 ? 2 ? 3n?1 , ········································8 分 ··········· ·········· ··········· ········ ·········· ··········· ··········· ······· y A ··········· ·········· ··········· ········· ·········· ··········· ··········· ········ ? an ? 2 ? 3n?1 ?1 ·········································9 分 B 所以数列 ?an ? 的前 n 项和

Sn ? (2 ?1) ? (2 ? 3 ?1) ???? ? 2 ? 3n?1 ?1
C ···································· 10 ·········· ··········· ··········· ···· ? 2(1 ? 3 ? ??? ? 3n?1 ) ? n ····································· 分 O

x

1 ? 3n ? 2? ?n 1? 3
? 3n ? n ? 1. ···········································12 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ·········· ··········· ··········· ··········
18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2?x ? 3 cos 2?x ? 2 sin( 2?x ?

?
3

) , ··········· ···· 分 ··········· ··· 2 ·········· ····

因为 ? ? 0 ,函数 f ( x ) 周期为 ? ······························· 3 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· 所以 T ?

2? ? ? ? ? ,所以 ? ? 1 ······························ 4 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· 2? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

) . 将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

? 个单位后得到函数 6

高三数学(文科) —5— (共 10 页)

1 ? ? 2? y ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 2 6 3 3 2? ) . ··········· ·········· 8 分 倍,纵坐标不变,得到函数 g ( x) ? 2sin(4 x ? ··········· ·········· ·········· ··········· 3 ? 2? ? k? 7? k? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) ;得 ?x? ? (k ? Z ) 由 - ? 2k? ? 4 x ? 2 3 2 2 24 2 24 ? 2? 3? k? ? k? 5? ? ? 2k? (k ? Z ) ;得 ?x? ? (k ? Z ) 由 ? 2k? ? 4 x ? 2 3 2 2 24 2 24 k? 7? k? ? - , ? ] (k ? Z ) ; 故函数 g ( x) 的增区间为[ 2 24 2 24 k? ? k? 5? - , ? 减区间为[ ], (k ? Z ) . ··························· 分 ·························· 12 ·········· ··········· ····· 2 24 2 24
19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设抽样比为 x ,则由分层抽样可知, “泥塑”“剪纸”“年画”三个社团抽取的人数分 、 、 240 200 别为 320 x、 x、 x . ·····································1 分 ··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ····

1 . ·······················2 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 40 1 1 ? 8 , 240 ? ?6, 故“泥塑” “剪纸” “年画”三个社团抽取的人数分别为 320 ? 、 、 40 40 1 200 ? ? 5 . ··········································4 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ·········· ··········· ··········· ········· 40
则由题意得 320 x ? 240 x ? 2 ,解得 x ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知,从“剪纸”社团抽取的同学为 6 人,其中 2 位女生记为 A,B,4 位男生 记为 C,D,E,F. ········································· 分 ··········· ·········· ··········· ········ 6 ·········· ··········· ··········· ········ 则从这 6 位同学中任选 2 人,不同的结果有 {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F}, {B,C},{B,D},{B,E},{B,F}, {C,D},{C,E},{C,F}, {D,E},{D,F}, {E,F}, 共 15 种. ··········································· 分 ··········· ·········· ··········· ·········· 8 ·········· ··········· ··········· ·········· 其中含有 1 名女生的选法为 {A,C},{A,D},{A,E},{A,F}, {B,C},{B,D},{B,E},{B,F}, 共 8 种; ··········································· 分 ·········································· 10 ·········· ··········· ··········· ·········· 含有 2 名女生的选法只有{A,B}1 种. 故至少有 1 名女同学被选中的概率为

8 ?1 9 3 ? = . ·················· 12 分 ··········· ······· ·········· ········ 15 15 5

20.(本小题满分 12 分) 高三数学(文科) —6— (共 10 页)

解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,则由题设得 ?

2c ? 6 ?a ? 5 ,解得 ? ,所以 ?c ? 3 ?2a ? 2c ? 16 ?
x2 y 2 ? ? 1 . ··········· ······ 分 ··········· ····· 6 ·········· ······ 25 16

b2 ? a2 ? c2 ? 52 ? 32 ? 16 ,故所求 C 的方程为
(Ⅱ)解法一、过点 ? 3,0 ? 且斜率为 将之代入 C 的方程,得

4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3 ? ,????????? 8 分 5 5

x2 ? x ? 3? ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ ? ? 1 ,即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 . ····························· 9 分 25 25
2

因为 ? 3,0 ? 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , ·········10 分 ········· ········ 因为 x1 ? x2 ? 3 ,所以线段 AB 中点的横坐标为 纵坐标为

x1 ? x2 3 ? , 2 2

4 ?3 ? 6 ? ? ? 3? ? ? . 5 ?2 ? 5

··········· ··········· ·········· · 分 ································ 11 ·········· ··········· ···········

故所求线段的中点坐标为 ?

?3 6? ,? ?. ?2 5?

·····························12 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ·······

解法二、过点 ? 3,0 ? 且斜率为

4 4 的直线 l 的方程为 y ? ? x ? 3 ? , ···············8 分 ··········· ···· ·········· ···· 5 5

因为 ? 3,0 ? 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点, 设两交点的坐标分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,中点 M 的坐标为 ( x0 , y0 )

? x12 y12 ? 25 ? 16 ? 1 (1) ? 则有 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 (2) ? 25 16 ?
由(1)-(2)得,

··································9 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·

( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ( y ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ?? 1 25 16



16( x1 ? x2 ) y ?y ?? 1 2 25( y1 ? y2 ) x1 ? x2
高三数学(文科) —7— (共 10 页)



16x0 4 4 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ ? ? ,又 y 0 ? ( x0 ? 3) ,····························· 11 分 5 25y 0 5

3 ? ? x0 ? 2 ? 所以 ? ?y ? ? 6 ? 0 5 ?
故所求线段的中点坐标为 ?

?3 6? ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· , ? ? . ······························ 12 分 ?2 5?

21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ y ? ? x 2 ? 2 ,∴ y? ? ? x , ∴过点 M (t , ? t 2 ? 2) 的切线的斜率为 ?t , ·························· 2 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· 所以过点 M 的切线方程为 y ? (? t 2 ? 2) ? ?t ( x ? t ) ,即 y ? ?tx ? t 2 ? 2 ; 2 2 A 1 1 17 当 t ? 时,切线 l 的方程为 y ? ? x ? ???????????4 分

1 2

1 2

1

1

y B

2

2

8

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,切线 l 的方程为: y ? ?tx ? t 2 ? 2 ,

1 2

t t .故切线 l 与线段 AB 交点为 F ( , 2) ,????5 分 O 2 2 C 1 1 令 x ? 2 ,得 y ? t 2 ? 2t ? 2 .故切线 l 与线段 BC 交点为 G (2, t 2 -2t+2) ????????6 分 2 2 地块 OABC 在切线 l 右上部分的区域为一三角形 ?FBG ,设其面积为 f (t ) , 1 ∴ f (t ) ? FB ? BG , ······································ 8 分 ··········· ·········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ······ 2 1 1 1 ? ? 2- t) - t 2 +2t) ( ? ( 2 2 2 1 ··································· 10 ·········· ··········· ··········· ··· f (t )= t 3 -t 2 +2t (0<t ? 2) ···································· 分 8 3 ∵ f ?(t ) ? t 2 -2t+2 8 4 4 ∴当 t ? 0,) f (t ) 为单调递增函数;当 t ? ,) f (t ) 为单调递减函数, 时 ( ( 2 时 3 3 4 4 32 ∴当 t ? 时, f (t ) 的最大值为 f ( )= .·························· 11 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 3 3 27
令 y ? 2 ,得 x ? 高三数学(文科) —8— (共 10 页)

x

∴当点 M 到边 OA 距离为

400 m 时, 3

地块 OABC 在直路 l 不含游泳池那侧的面积取到最大,最大值为 22.(本小题满分 14 分)

320000 2 m . ········12 分 ········ ······· 27

解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? ln x ? bx2 的图象过定点(1,0) ,??????????????1 分 把点(1,0)代入 f ( x) ? ln x ? bx 2 得 b ? 0 , 所以 f ( x) ? ln x ,???????????????????????????????2 分

t ? ln x 恒成立, x t t 即 ? ln x ? ln x 恒成立,得 ? 2 ln x ,因为 x ? 0 , x x t ? 2 x ln x ,········································ 分 所以 ··········· ·········· ··········· ······· 3 ·········· ··········· ··········· ·······
(Ⅱ) f ( x) ? 令 h( x) ? 2 x ln x, h '( x) ? 2(ln x ? 1) , ···························· 4 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ·······

1 e 1 1 当 x ? ( , ??) 时, h '( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 ( , ??) 为增函数;·············· 6 分 ··········· ··· ·········· ··· e e 2 1 2 h( x) 的最小值为 h( ) ? ? ,故 t ? ? ; ·························· 7 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· e e e
当 x ? (0, ) 时, h '( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ) 为减函数; ················ 5 分 ··········· ····· ·········· ······

1 e

(Ⅲ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ln x ,所以 F ( x) ? ln x ?

x 2 m2 ? 1 ? x( x ? 0) 2 m

所以

1 m ?1 F '( x) ? x ? ? ? x m
2

( x ? m)( x ? x

1 ) m

又 x ? 0 ,由 F ?( x) ? 0 得, x1 ? m , x 2 ?

1 ··········· ·········· ·· 9 ·········· ··········· ·· . ··········· ··········· ·· 分 m

(1)当 m ?

1 ··· 10 ··· 时,得 m ? 1 , F ?( x) ? 0 , F (x) 在(0,2)为增函数,无极值点;···· 分 m

高三数学(文科) —9— (共 10 页)

?0 ? m ? 2 1 1 ? (2)当 ? 且m ? 时,得 ? m ? 2 且 m ? 1 ,根据 x、F ? x?、F? ? x? 的变化情况 1 m 2 ?0 ? m ? 2 ?
··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· 检验,可知 F (x) 有 2 个极值点;································12 分

?0 ? m ? 2 ?m ? 2 1 ? ? (3)当 ? 1 或? 时,得 0 ? m ? 或 m ? 2 时,根据 x1、F ? x ?、F ? ? x ? 的变 1 2 ?m ? 2 ?0 ? m ? 2 ? ?
··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ 化情况检验,可知 F (x) 有 1 个极值点; ····························13 分 综上,当 m ? 1 时,函数 F (x) 在(0,2)无极值点;当 0 ? m ?

1 或 m ? 2 时, F (x) 有 1 个极 2

值点;当

1 ··········· ········ ·········· ········ ? m ? 2 且 m ? 1 时, F (x) 有 2 个极值点. ···················14 分 2

高三数学(文科) —10— (共 10 页)


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