2014年高二数学必修5阶段测试(《解三角形》与《数列》)


2014 年连江一中高二数学阶段检测(《解三角形》、《数列》)
(满分:150 分 1.已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? A. ? 时间:120 分钟)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1 ,则公比 q =( 4
C.2 )

) D.

1 2
1 4

B. ? 2

1 2
2 3


2.若?ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC=( A. ? B.

1 4

C. ?

2 3

D.

3.设数 {an } 是单调递增的等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( A.1 B.2 C.4 D.8 ) 4.已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ? N* 满足 a p?q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么 a10 等于( A. ?165 B. ?33 C. ?30 D. ?21

5.在各项均为正数的等比数列 ?bn ? 中,若 b7 ? b8 ? 3 ,则 log3 b1 ? log 3 b2 ? ?? ? log3 b14 等于( A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 ) D. 1 ? n ? ln n



6.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n

1 n

7.小正方形按照下图中的规律排列,每个图形中的小正方形的个数构成数列 {an } 有以下结论: ① a5 ? 15 ;② {an } 是一个等差数列;③数列 {an } 是一个等比数列;④数列 {an } 的递堆公式

an?1 ? an ? n ? 1(n ? N ? ), 其中正确的是(

) 1 2 1

0.5

a
b

c
A.①②④ B.①③④ C.①② D.①④ 8 .在上面表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差 数列,每一纵列成等比 数列,则 .. ..

a ? b ? c 的值为(
A.1

) B.2 C.3 D.4

9. 已知 -9, a1 , a2 ,-1 四个实数成等差数列, -9, b1 , b2 , b3 ,-1 五个实数成等比数列,则

b2 (a2 ? a1 ) ? (
A. 8

) B. -8 C. ±8 D.

9 8


10.等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且

a Sn 2n ,则 5 ( ? b5 Tn 3n ? 1
20 31
2

A.

2 3

B.

9 14

C.

D.

7 9

11 .已知 {an }为公比 q > 1 的等比数列,若 a2005和a2006 是方程 4 x - 8x + 3 = 0 的两根,则

a2007 + a2008 的值是(
A. 18

) B. 19 C. 20 D. 21

12.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 前 n 项和为 Sn ,且点 P(an , an?1 )(n ? N ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,
*



1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3 n(n ? 1) A. 2

?

1 =( Sn
B.



2 n(n ? 1)

C.

2n n ?1

D.

n 2(n ? 1)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.在△ABC 中,若 a +b <c ,且 sinC=
2 2 2

3 ,则∠C= 2

a5 5 S ? ,则 9 ? a3 9 S5 3 15.△ABC 中,a、b、c 成等差数列,∠B=30°, S ?ABC = ,那么 b= 2
14.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 16.已知数列{ an }满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ),则a2008 的值为

三、解答题:(本大题 6 小题共 74 分) 17. (12 分)在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (1)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ;(2)若 sin B ? 2sin A ,求 △ ABC 的面积.

? . 3

18.(12 分)某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入使用后每年收益为 21 万元。该 公司第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如下图。 (1)求 an ;(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;
费用(万元)

an 4 2 1 2 n


19.(12 分)已知 ?an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 (1)求 ?an ? 的通项;(2)求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 的值。

20.(12 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.它的外接圆半径为 6.
2 2 ∠B,∠C 和△ABC 的面积 S 满足条件: S ? a ? (b ? c) 且 sin B ? sin C ?

4 . 3

(1)求 sin A ;(2)求△ABC 面积 S 的最大值.

21.(12 分)设 {an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13

(1)求 {an } , {bn } 的通项公式;(2)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

22. (14 分) 若有穷数列 a1 , a2 ...an( n 是正整数) , 满足 a1 ? an , a2 ? an?1 ,...., an ? a1 即 ai ? an?i ?1
2 5 2 1与数列 ( i 是正整数,且 1 ? i ? n ),就称该数列为“对称数列”。例如,数列 1,,,, 8, 4,2 ,2 ,4 ,8 都是“对称数列”.

(1)已知数列 ?bn ? 是项数为 9 的对称数列,且 b1 , b2 , b3 , b4 , b5 成等差数列, b1 ? 2 , b4 ? 11 , 试求 b6 , b7 , b8 , b9 ,并求前 9 项和 s9 . (2)若 ?cn ? 是项数为 2k ? 1? k ? 1? 的对称数列,且 ck , ck ?1 ...c2 k ?1 构成首项为 31,公差为 ?2 的 等差数列, 数列 ?cn ? 前 2k ? 1 项和为 S2 k ?1 , 则当 k 为何值时,S2 k ?1 取到最大值?最大值为多少?
d52, , d100 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.求 (3)设 ? d n ? 是 100 项的“对称数列”,其中 d51, 2 , 100 ) . ? d n ? 前 n 项的和 S n ( n ? 1,,

参考答案: D A B C C A ; D A B B A C;13、

2? 3

14、 1

15、 3 ? 1

16、 0

17. 解:(1)由余弦定理得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 2

??? 4 分

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ?ab ? 4, ?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

????????????

6分

(2)由正弦定理,已知条件化为 b ? 2a , ?????????????????? 8 分 联立方程组 ? 解得 a ?

1 2 3 2 3 4 3 ,b ? .故 S ? ab sin C ? .?12 分 2 3 3 3

18 . 解 : ( 1 ) 由 题 意 知 , 每 年 的 费 用 是 以 2 为 首 项 , 2 为 公 差 的 等 差 数 列 , 求 得 :

an ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n
(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则: f ( n) ? 21n ? [2 n ? 由于 f(1)<0,f(2)>0 所以从第 2 年该公司开始获利 19.解:(1)

??4 分

n( n ? 1) ? 2] ? 25 ? 20 n ? n2 ? 25 2
??12 分 ??4 分

a4 ? a1 ? 3d ? d ? ?3
1 3

? an ? 28 ? 3n

(2)

28 ? 3n ? 0 ? n ? 9

∴ an ? 28 ? 3n ? ?

?28 ? 3n, (n ? 9) ?3n ? 28, (n ? 10)

???6 分

当 n ? 9 时, a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

a1 ? an 2

?n ?

25 ? 28 ? 3n 53n ? 3n 2 ?n ? , 2 2

当 n ? 10 时, a1 ? a2 ? ? ? an ? ( a1 ? a2 ? ? ? a9 ) ? ( a10 ? a11 ? ? ? an ) =??

? 53n ? 3n 2 , (n ? 9) ? 3n 2 ? 53n ? 468 ? 2 ? ∴ a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2 2 ? 3n ? 53n ? 468, (n ? 10) ? 2 ?
20.解:(1) S ? a ? b ? c ? 2bc ? 2bc ? 2bc cos A ? 2bc(1 ? cos A).
2 2 2

??12 分

又S ?

1 bc sin A 2

? 2bc (1 ? cos A) ?

1 bc sin A ? sin A ? 4(1 ? cos A) 2

?sin 2 A ? cos2 A ? 1 15 8 ? cos A ? 从而得 : sin A ? 联立得: ? ????6 分 17 17 ?sin A ? 4(1 ? cos A) 1 4 4 b c 4 R ? 6 ? b ? c ? 16 bc sin B ? sin C ? ? ? ? (2) S ? bc sin A ? 2 17 3 2R 2R 3 4 4 4 256 256 ? S ? bc ? b(16 ? b) ? ? (b ? 8) 2 ? . ???12 分 ,故当 b=c=8 时, S 最大 ? 17 17 17 17 17

21 解:(1)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,故 bn ? qn?1 ? 2n?1 .???????6 分 (2)

3 5 an 2n ? 1 ? n?1 .故 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 bn 2

?

2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 ,① ??????????9 分 2n ? 2 2

2n ? 3 2n ? 1 ? n ? 2 ,②?????????????????????11 分 2 n ?3 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 ,?????????????????12 分 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? n?2 ? ? n?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 .???14 分 1 2 2 ? 2 2 ? 2 2 1? 2 2Sn ? 2 ? 3 ? 5 ? 2 ?
22.解:(1)设 ?bn ?前 5 项的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11,解得 d ? 3 , ∴ b6 ? b4 =11, b7 ? b3 ? 2+2?3=8, b8 ? b2 ? 2 ? 3 ? 5 , b9 ? b1 ? 2 ∴ s9 =2(2+5+8+11+14)-14=66 (2) S 2k ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? ck ?1 ? ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1 ????4 分

? 2( ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1 ) ? ck k (k ? 1) ? ? ∴ S2 k ?1 ? 2 ? k ? 31 ? ? (?2) ? ? 31 ? ?2( k ? 16) 2 ? 2 ?162 ? 31 2 ? ?
?
当 k ? 16 时, S 2 k ?1 取得最大值. S 2 k ?1 的最大值为 481. (3) d51 ? 1 , d100 ? 1? 249 ? 249 .
d 2, , d50 是首项为 2 ,公比为 由题意得 d1,
49

????6 分 ????8 分

当 n ≤ 50 时, S n ? d1 ? d 2 ? ? ? d n

1 的等比数列. 2 1 249 (1 ? n ) 2 ? 250 ? 250?n . ? 1 1? 2

????10 分

当 51 ≤ n ≤ 100 时, S n ? d1 ? d 2 ? ? ? d n

? S50 ? ?d 51 ? d 52 ? ? ? d n ? ? 250 ? 1 ?

1 ? 2n?50 ? 250 ? 2n?50 ? 2 1? 2
????12 分

?250 ? 250? n , 1 ≤ n ≤ 50, 综上所述, Sn ? ? 50 n ?50 ? 2, 51 ≤ n ≤100. ? 2 ?2


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