2[1].2.2对数函数及其性质+2.2.3反函数_图文


复习指数函数的图象和性质
y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质:

a>1
6 5

0<a<1
6 5 4

4

3

图 象 性 质

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

1.定义域: (??,??) 2.值域:(0,??) 3.过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数

湖南长沙马王堆汉墓女 尸出土时碳14的残余量约 占原始含量的76.7%. 试推算马王堆古墓的 年代.

考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗 址上死亡的残留物,利用 t ? log
5730

出土文物或古遗址的年代.
t 能不能看成是 P 的函数?

1 2

P 估计

根据问题的实际意义可知,对于每一个碳14 含量P,通过对应关系 t ? log P ,都有唯一
5730

1 2

确定的年代 t 与它对应,所以,t 是P的函数.

对数函数: 一般地,我们把函数 y +∞). 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,

? log a x (a ? 0且a ? 1)

注意:①对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义, x 注意辨别.如: , y ? 2 log2 x y ? log5 5 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ②对数函数对底数的限制:a>0且a≠1

探索研究:在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

?1?y ? log2 x
作图步骤:

?2?y ? log1 x
2

①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。

作y=log2x图象

列 表

x y=log2x

1/4 1/2 -2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

描 点
连 线

y 2
1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1 -2

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log1 x
2

x



1/4 1/2
-1 1

1
0 0

2 4
1 -1



2 … -2 …



2

描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

y

探索发现:认真观察 函数y=log2x 的图象填写下表

2 1 0 -1 -2

1 1 4 2

1 2 3

4

x

图象特征

函数性质

图象位于y轴右方

定义域 : ( 0,+∞)

图象向上、向下无限延伸 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是:增函数

探索发现:认真观察 函数 y ? log 1 x
2

y 2 1 11
42

的图象填写下表
图象特征

0 -1 -2

1 2 3 4

x

函数性质

图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :
R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是: 减函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

猜猜: 对数函数 y 2

y ? log3 x和y ? log1 x 的图象。
3

y ? log2 x
y ? l og3 x
11 42

1
0

底数逐渐增大

1 2 3

4

x
y ? log1 x
3

-1 -2
x=1

y ? l og1 x
底数逐渐增大
2

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)

a>1 图 象
o y (1, 0) x y

0<a<1

(1, 0) o

x

(1) 定义域: (0,+∞) 性 (2) 值域:R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0



x>1时, y>0

(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数

对 数 函 数
知识巩固
例1、求下列函数的定义域 (1)y= log 1 x 2 (2)y= log(1-x)(1+x) (2)∵ 1+x>0 1-x>0 1-x≠1 即-1<x<1且x≠0

解:(1)∵ x>0且log 1 x≥0
2

即 ? x≤1 0 ∴函数

y= log 1 x
2

的定义域是{x|0<x≤1}

∴函数y= log(1-x)(1+x) 的定义域是{x|-1<x<1且x≠0}

例2.已知f(x) = lg(ax-bx) ( a>1>b>0 ) (1)求 f ( x ) 的定义域;
解:由题 ax -b x >0 得 ax > bx

a x ?( ) ?1 b

∵ a>1>b>0

∴ x >0

故 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , + ∞ ) (2)判断 f ( x ) 的单调性.
解:设 0<x 1<x
2

< + ∞,

∵ a>1>b>0

? a x1 ? a x2 , b x1 ? b x2

a x1 ? b x1 则 f ( x 1 ) -f ( x 2 ) = l g x2 a ? b x2

x x x x 即a x1 ? a x2 ,?b x1 ? ?b x2 ? 0 ? a 1 ? b 1 ? a 2 ? b 2

a x1 ? b x1 ? 0 ? x2 ?1 x2 a ?b ∴ f ( x 1) < f ( x 2 )

即 f ( x 1 ) -f ( x 2 ) <0 故 f ( x ) 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数

(3)当 a、b 满足什么条件时, lg( a x ? b x ) 在区间 [ 1 , + ∞) 上恒为正. 解:∵ f ( x ) 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数, ∴ f ( x ) min = f ( 1 ) = lg ( a -b ) 由题 lg ( a -b ) > 0 故满足 a -b >1

例3.求函数 y = log 2 ( 1-x 2 ) 的定义域、值域,单调区间.

解:∵ 1-x2>0 且x2<1, 即 -1< x<1 此函数的定义域为 (-1 , 1 ), ∵ x 2 ≥0, ∴ -x2≤0 ,∴ 1-x2≤1 , 0≤1-x2≤1 ∴y ≤0 故 函数的值域为 (-∞,0 ). 令t ? 1 ? x 2 ,y = log 2 t,其 在(0,+ ∞)上是增函数.


又t=1-x2 在区间(-1,0]上单调递增 在区间[0,1)上单调递减. 故此函数的单调递增区间为 (-1,0 ] 单调递减区间为 [ 0 ,1 )

练习 对数函数的单调性 1.求函数 y ? log2 ( x ? 2 x)的单调性。
2

2.求函数 y ? log1 ( x ? x ? 2) 的单调性。
2 2

求复合函数单调区间的步骤: (1)求出函数的定义域; (2)将复合函数分解为两个基本初等函数; (3)确定各基本初等函数的单调性及单调区间; (4)根据复合函数的单调性“同增异减”判断并 求出原函数的单调区间。

函数图象在函数比较大小中的应用

y ? loga x y ? logb x

y ? logc x

的图象如图所示,那么a, b, c的大小关系是

一、同 底 不 同 指
比较下列各组数中两个值的大小:

(1) log23.4 , log28.5 ; (2) log0.51.8 , log0.52.7;

例1.比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 6 7 与 log 7 6 解:∵ log 6 7 > log 6 6 = 1, 且 log 7 6 < log 7 7 = 1 , ∴ log 6 7 > log 7 6. (2) log 3 π 与 log 2 0 . 8 解:∵ log 3 π > log 3 1 = 0 , 且 log 2 0 . 8 < log 2 1 = 0, ∴ log 3 π > log 2 0 . 8.

二 、 不 同 底 也 不 同 指

练习:比较

分析一:借助对数函数图象进行比较 log0.1 3 > log0.2 3 y 分析二:用换底公式 y=1
? log3 0.1 ? log3 0.2 ? 0,
(1,0)
0 3 x

log0.1 3 与 log0.2 3

的大小

? log0.1 3 ? log0.2 3.

1 1 ? ? . log3 0.1 log3 0.2 y= log 0.2x 1 1 又 ? log0.1 3 ? , log0.2 3 ? , log3 0.1 log3 0.2

y= log 0.1x

(3) log 2 7 与 log 3 7
1 1 ? , 解:∵ log 7 3>log 7 2>0, ? l og7 2 l og7 3

∴ log 2 7 > log 3 7. 解:∵ log 0. 8 0.2 >log 0 . 8 0.3, 且 log 0.8 0.2 , log 0 . 8 0.3>0,
? 1 l og0.8 0.2 ? 1 l og0.8 0.3

(4) log 0 . 2 0 . 8 与 log 0 . 3 0 . 8

∴ log 0.2.0.8 < log 0.3 0.8.

三 、 同 指 不 同 底

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)

a>1 图 象
o y (1, 0) x y

0<a<1

(1, 0) o

x

(1) 定义域: (0,+∞) 性 (2) 值域:R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0



x>1时, y>0

(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数

二、反函数的概念

x ? log2 y( y ? (0,??))是函数 y ? 2 x ?x ? R ?的反函数
对数函数y ? log2 x( x ? ?0,???)是

y?2

x

指数函数y ? 2 x ?x ? R ?的反函数

x ? log2 y

y ? log2 x
对数函数y ? loga x(a ? 0, a ? 1)与 指数函数y ? a x (a ? 0, a ? 1)是互为反函数

设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如果由函数y=f(x) 所解得 x ? ?( y ) 也是一个函数(即对任意一个y ? B ,都

有唯一的 x ? A 与之对应),那么就称函数 x ? ?( y ) 是函
数y=f(x)的反函数,记作: ? f ?1 ( y ) 。习惯上,用x表示 x

y ? f ?1 ( x )通常改写成: 自变量,y表示函数,因此的反函数

x ? f ?1 ( y)
y ? f ?1 ( x ) 的值 注:y=f(x)的定义域、值域分别是反函数
域、定义域

求反函数的方法步骤:
1)求出原函数的值域;即求出反函数的定 义域; 2)由 y = f ( x ) 反解出 x = f -1 ( y );即把 x 用 y 表 示出来; 3)将 x = f -1 ( y ) 改写成 y = f -1 ( x ),并 写出反函数的 定义域;即对调 x = f -1 ( y ) 中的 x、y.

例题讲解:
1.求下列函数的反函数:
(1) y ? 3x ? 1( x ? R );(2) y ? x 3 ? 1( x ? R ); 2x ? 3 (3) y ? x ? 1( x ? 0);(4) y ? ( x ? R,且x ? 1) x ?1 y ?1 ,x?R 解: 由y ? 3x ? 1解得: x ? (1) 3 x ?1 ?原函数的反函数为: y ? ( x ? R). 3 3 (2) 由y ? x ?1解得:x ? 3 y ?1, y ? R

?原函数的反函数为: ? 3 x ? 1( x ? R). y

x ? ( y ?1)2 (3)由函数 y ? x ? 1( x ? 0) ,得

所以,函数 y ? x ? 1( x ? 0) 的反函数是
y ? ( x ?1)2

( x ? 1)
,得

2x ? 3 (4)由函数 y ? x ?1

y ?3 x? y?2
的反函数是

2x ? 3 所以,函数 y ? x ?1 x?3 y? ( x ? R, 且x ? 2) x?2

练:求出它的反函数, f ( x) ? x2 ? 4x ? 2( x ? 2)
2 解:由 f ( x) ? x ? 4 x ? 2( x ? 2)

的值域可得反函数定义域为 又由 f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 得 ∵
( x ? 2)2 ? y ? 2

??2, ??),

x?2



x ? 2 ? ? y ? 2, x ? 2 ? y ? 2

x, y 互换,得 y ? 2 ? x ? 2,
所以,反函数为
f ?1 ( x) ? 2 ? x ? 2, x ? ? ?2, ??)

课堂练习:
已知函数y=f(x),求它的反函数y=f-1(x)
1.y= -2x+3(x∈R)
f ?1( x) ? ? 1 x ? 3 ( x ? R). 2 2

2. y ? ? 2 x ? R,且x ? 0) f ?1( x) ? ? 2 ( x ? R,且x ? 0). ( x x
3.y=x2(x≥0)
f ?1(x) ? x (x ? 0)

4. y ?

x (x ? R,x ? ? 5) 3x ? 5 3

f ?1( x) ? 5x ( x ? R,且x ? 1). 1 ? 3x 3

对数函数与指数函数的图象

y ? ax 由于对数函数 y ? loga x 与指数函数 互为反函数, 所以 y ? loga x 的图象与 y ? a x
的图象关于直线
5 4

y?x

对称。
4 4

y=ax

(a>1)

3

y=ax
0<a<1
-4 -4 -2 -2

3 3

2 2

2

1 1

1

2 2

-4

-2

2

4

6

-1

y=logax (a>1)

-1 -1

y=logax
0<a<1

4 4

6

-2 -2

-2

练习:

?1? 9.(1) 1 若f(x)的图象与g(x)=? ? 的图象关于y轴对称, ?4? 则f(x)= ?1? (2)若h(x)的图象与g(x)=? ? 的图象关于y=x对称, ?4? 则h(x)=
x

x

a ? 2x ?1 2.已知 f ( x) ? (a ? R) 是R上的奇 函数,(1)求a的 x 1? 2 值;(2)求f(x)的反函数;


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