2015-2016年最新审定人教A版高中数学必修五:1.1《正弦定理和余弦定理(3)》ppt(优秀课件)_图文


最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件 第一章 1.1 第3课时 正弦定理和余弦定理 正、余弦定理的综合应用 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 工人师傅的一个三角形的模型坏了,只剩下如右图所示的 部分,∠A=53° ,∠B=47° ,AB 长为 1m.他想修好这个零件, 但不知道 AC 和 BC 的长度是多少,所以无法截料. 你能帮工人师傅这个忙吗? 1.正弦定理的数学表达式为________________. [ 答案] a b c = = sinA sinB sinC 2 . 余 弦 定 理 的 数 学 表 达 式 为 ________ 、 ________ 、 ________. [ 答案] a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2= a2+b2-2abcosC 1.正弦定理的作用 (1) 已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一 角. (2) 已知三角形的两边与其中一边的对角,求另一边的对 角,进而计算出其他的边和角. (3)边化角,角化边. (1)已知△ABC 中,a=2,A=45° ,B=30° ,求 b、c 和 C; (2)已知△ABC 中,a= 3,b=1,B=120° ,求 A; 2 (3)在△ABC 中,lga-lgc=lgsinB=lg ,且 B 为锐角,判 2 断三角形的形状. [ 解析] (1)根据三角形内角和定理,得 C=180° -(A+B)=180° -(45° +30° )=105° . 根据正弦定理,得 1 2× 2 asinB 2sin30° b= = = = 2, sinA sin45° 2 2 6+ 2 2× 4 asinC 2sin105° 2sin75° c= = = = = 3+1. sinA sin45° sin45° 2 2 (2)由条件知角 B 为最大角,∴b 为最大边,但已知 b<a, 故无解. 2 2 (3)由 lgsinB=lg ,得 sinB= .又 B 为锐角, 2 2 ∴B=45° . 2 a 2 又由 lga-lgc=lg ,得 = . 2 c 2 sinA 2 根据正弦定理,得 = , sinC 2 ∴ 2sinC=2sinA=2sin(135° -C),即 sinC=sinC+cosC. ∴cosC=0.∴C=90° .因此△ABC 为等腰直角三角形. 2.余弦定理及其推论的作用 (1)已知三角形的两边及其夹角,求其他的边和角. (2)已知三角形的三边,求三个角. (3)边化角,角化边. (1)在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15° ,求角 A; (2)在△ABC 中,已知 a ? b ? c=2 ? 3? 5,求△ABC 中各内角的余弦值. [ 解析] (1)由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC =22+(2 2)2-2×2×2 2cos15° 6+ 2 =4+8-8 2× =8-4 3, 4 因此 c= 6- 2. a c 又∵ = , sinA sinC 6- 2 2× 4 asinC 2sin15° 1 ∴sinA= = = = . c 2 6- 2 6- 2 ∵b>a,∴B>A.又∵0° <A<180° , ∴A 必为锐角,即 A=30° . (2)令 a=2k,b= 3k,c= 5k(k>0),由余弦定理,得 b2+c2-a2 3k2+5k2-4k2 4k2 2 15 cosA= = = , 2= 2bc 15 2× 3k× 5k 2 15k a2+c2-b2 4k2+5k2-3k2 6k2 3 5 cosB= = = = , 2ac 2×2k× 5k 4 5k2 10 a2+b2-c2 4k2+3k2-5k2 2k2 3 cosC= = = = . 2ab 2×2k× 3k 4 3k2 6 2 15 3 5 3 故 cosA= ,cosB= ,cosC= . 15 10 6 3.三角形的面积公式 1 1 1 由正弦定理可得三角形的面积 S = absinC = acsinB = 2 2 2 bcsinA. 1 (2014· 新课标Ⅱ理, 4)钝角三角形 ABC 的面积是 , AB=1, 2 BC= 2,则 AC=( A.5 C.2 ) B. 5 D.1 [ 答案] [ 解析] B 本题考查余弦定理及三角形的面积公式. 1 1 1 ∵S△ABC= acsinB= · 2· 1· sinB= , 2 2 2 2 π 3π ∴sinB= ,∴B= 或 . 2 4 4 π 当 B= 时,经计算△ABC 为等腰直角三角形, 4 不符合题意,舍去. 3π ∴B= ,根据余弦定理, 4 b2=a2+c2-2accosB,解得 b= 5,故选 B. 课堂典例探究 三角函数的化简、求值 设△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 3 c,cos(A-C)+cosB= ,b2=ac,求 B. 2 [ 分析] 三角形内角 A、B、C 满足 A+B+C=π,故条件 3 式 cos(A-C)+cosB= 可化为只含 A 与 C 的表达式.由正弦定 2 理可将条件式 b2=ac 化为角的表达式 sin2B=sinA· sinC, 进而可 解出角 B. 3 [ 解析] 由 cos(A-C)+cosB= 及 B=π-(A+C)得 2 3 cos(A-C)-cos(A+C)= , 2 3 ∴cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)= , 2 3 ∴sinAsinC= . 4 又由 b2=ac 及正弦正理得,sin2B=sinAsinC, 3 3 3 2 故 sin B= ,sinB= 或 sinB=- (舍去), 4 2 2 π 2π 2π 3 于是 B= 或 B= .若 B= , 则 cos(A

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