四川省成都外国语学校2017届高三下学期3月月考试卷 数学(文) Word版含答案


成都外国语学校 2014 级高三 3 月月考





(文史类)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分 注意事项: 1. 答题前, 考试务必先认真核对条形码上的姓名, 准考证号和座位号, 无误后将本人姓名、 准考证号和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第I卷
一、选择题(本大题 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,请将答案涂在答题卷上)
n 1、已知集合 A ? ?0, 2, 4,6? , B ? n ? N | 2 ? 8 ,则集合 A ? B 的子集个数为(

?

?



B.7 C.6 2 2、已知复数 z ? ,则( ) ?1 ? i A. z 的模为 2 B. z 的虚部为 ?1 C. z 的实部为 1 D. z 的共轭复数为 1 ? i 3、下列关于命题的说法错误的是( ) 2 A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为 “若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” B.“ a ? 2 ”是“函数 f ? x ? ? loga x 在区间 ? 0 ,? ?? 上为增函 数”的充分不必要条件 C.若命题 p : ?n ? N , 2n ? 1000 ,则 ?p : ?n ? N , 2n ? 1000 D.命题“ ?x ? ? ?? ,0? , 2 x ? 3x ”是真命题 4、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题: 松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等。 右图是源于其思想的一个程序框图, 若输入的 a 、b 分别为 5 、2 , 则输出 的 n ? ( ) B. 3 C. 4 D. 5 1 5、函数 f ? x ? ? ? ln x 的图象大致是( ) x A. 2

A.8

D.4

A.

B.

C.

D.

2 2 2 2 6、 设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, 满足 a4 , 则该数列的前 10 项和 S10 ?( ? a5 ? a6 ? a7



A. ? 10

B. ?5

C.0
-1-

D.5

7、如图,已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的体积为 6, ?C1BC 的 正切值为 ( ) A. 10? C. 15?
2

1 ,当 AB ? AD ?AA 1 的值最小时,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 外接球的表面积为 3
B. 14? D. 16?

y2 x2 4 5 8、 已知抛物线 y ? 8 x 的焦点 F 到双曲线 C: 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 渐近线的距离为 , a b 5
点 P 是抛物线 y 2 ? 8 x 上的一动点, P 到双曲线 C 的上焦点 F( c) 的距离与到直线 x ? ?2 1 0, 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( ) A.

y2 ? x2 ? 1 4

B.y ?
2

x2 ?1 4

C.

y 2 x2 ? ?1 2 3

D.

y 2 x2 ? ?1 3 2

9、甲、乙两人相约周六上午 8:00 到 8:30 之间在公交车站乘车去新华书店,先到者若等了 15 分钟还没有等到对方,则需发微信联系。假设两人的出发时间是独立的,在 8:00 到 8: 30 之间到达车站的时间是等可能的,则两人不需要发微信联系就能见面的概率是( ) A.

3 4

B.

1 2

C.

5 6

D.

10、 已知函数 y ? 2sin(? x ? ? )(0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图所示, 点A (?

0) ,B、C 是该图象与 x 轴的交点,过点 B 作直线交该图象于 D、E 两点, 7? 点 F( ,0)是 f ( x) 的图象的最高点在 x 轴上的射影,则 12 ???? ??? ? ???? ) ( AD ? EA) ? (? AC) 的值是( 2 2 A.2π B.π C.2 D.以上答案均不正确 11、已知定义在 R 内的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ,当 x ? [?1,3] 时,

? , 6

1 4

? 8 ? t (1 ? x ), x ? [?1,1] f ( x) ? ? ,则当 t ? ( , 2] 时,方程 7 f ( x) ? 2 x ? 0 的不等实数根的个数 2 7 ? ? 1 ? ( x ? 2) , x ? (1,3] 是( ) A.3 B.4 C.5 D.6
12、已知 f '( x) 是定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x ) 的导函数,若方程 f '( x) ? 0 无解,且
0 . ?x ? (0, ??) , f ? f ( x) ? log2016 x? ? 2017 , 设a ? f ( 25 ) ,b ? f (log? 3) ,c ? f (log4 3) , 则 a , b , c 的大小关系是( ) A. b ? c ? a B. a ? c ? b C. c ? b ? a D. a ? b ? c

第Ⅱ卷

-2-

二.填空题(本大题 4 个小题,每题 5 分,共 20 分) 13、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ______ 14、 已知 f ? x ? , g ? x ? 都是定义在 R 上的可导函数, 并满足以下条件:① g ? x ? ? 0 ; ② f ? x ? ? 2a g ? x ?? a ? 0, a ? 1? ;
x

③ f ? x? g ' ? x? ? f ' ? x? g ? x? 。 若

f ?1? f ? ?1? ? ? 5 ,则 a ? _____ g ?1? g ? ?1?
2 2 2

15、在 ?ABC 中,已知 c =2,若 sin A ? sin B ? sin Asin B ? sin C 则 a ? b 的取值范围 _____

16、如果直线 2ax ? by ? 14 ? 0 ? a ? 0, b ? 0? 和函数 f ? x ? ? m

?1? m ? 0, m ? 1? 的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆 b 2 2 ? x ? a ? 1? ? ? y ? b ? 2 ? ? 25 的内部或圆上,那么 的取值范围是______ a
x?1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分)设 Sn 是数列的前 n 项和,已知 a1 ? 3 , an?1 ? 2Sn ? 3 (n ? N * ) 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? (2n ? 1)an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 18、 (本小题满分 12 分) 空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI )是定量描述空 气质量状况的指数,空气质量按照 AQI 大小分为六级, ,0~50 为 优;51~100 为良;101~150 为轻度污染;151~200 为中度污染; 201~250 为重度污染;>300 为严重污染。一环保人士记录 2017 年某地某月 10 天的 AQI 的茎叶图如下。 (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良( AQI ? 100 )的天 数; (按这个月总共 30 天计算) (2)若从样本中的空气质量不佳( AQI ? 100 )的这些 随机地抽取两天深入分析各种污染指标, 求这该两天 气质量等级恰好不同的概率。
A M D B C E F

天中, 的 空

19、 (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是梯形,四边形 CDEF 是矩形,且平面 ABCD ? 平面 CDEF ,

1 ?BAD ? ?CDA ? 900 , AB ? AD ? DE ? CD ? 2 , M 是线段 AE 上的动点. 2 (1)试确定点 M 的位置,使 AC ∥平面 MDF ,并说明理由; (2)在(1)的条件下,求平面 MDF 将几何体 ADE ? BCF 分
-3-

成的上下两部分的体积之比.

20、 (本小题满分 12 分) 设椭圆

x2 y2 1 1 3e , ? ? 1 ( a ? 3 )的右焦点为 F ,右顶点为 A ,已知 ? ? 2 a 3 | OF | | OA | | FA | 其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B( B 不在 x 轴上) , 垂直于 l 的直线与 l 交于点 M , 与 y 轴交于点 H ,若 BF ? HF ,且 ?MOA ??MAO ,求直线的 l 斜率的取值范围.

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2e x ? ax ? 2( x ? R, a ? R) 。 (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)当 x ? 0 时,若不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

四、选做题(10 分)请考生从给出的 2 道题中任选一题做答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目题号后的方框涂黑。注意所选题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答 区域指定位置答题。如果多做,则按所做的第一题计分。 选修 4-4:坐标系与参数方程]

? 2 t ?1 ?x ? 2 22、 (本小题满分 10 分)已知直线 l 的参数方程是 ? (t是参数) ,以坐标原点为极点, ? ? y?? 2t ? ? 2 x 轴的正半轴为极轴,且取相同的长度单位建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为

? ? =2 2 cos(? ? ) 。
4
(1)求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点,若 P 点的直角坐标为(1,0) ,求|PA|+|PB|的值. 选修 4-5:不等式选讲] 23、 (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 2 ,且 f ( x ) 的最大值记为 k 。 (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? x 的解集; (Ⅱ)是否存在正数 a , b ,同时满足 a ? 2b ? k ,

2 1 1 ? ? 4? ?请说明理由。 a b ab

成都外国语学校高 2014 级高三 3 月月考 文科数学答案
1-12:DBDCB CBAAA CD

-4-

3 4 4 3 17、解: (1)当 n ? 2 时,由 an?1 ? 2sn ? 3 ,得 an ? 2sn?1 ? 3 ,
13、 2? ? 14、 2 15、 (2, 4] 16、 [ , ] 两式相减,得 an?1 ? an ? 2sn ? 2sn?1 ? 2an ,? an?1 ? 3an ,? 当 n ? 1 时, a1 ? 3 , a2 ? 2s1 ? 3 ? 2a1 ? 3 ? 9 ,则

4 3

(1 分)

an ?1 ?3 an

(3 分)

? 数列 ?an ? 是以 3 为首项,3 为公比的等比数列

a2 ? 3. a1
(5 分)

?an ? 3? 3n?1 ? 3n

(6 分)

(2)由(1)得 bn ? (2n ?1)an ? (2n ?1) ? 3n

?Tn ? 1? 3 ? 3? 32 ? 5 ? 33 ? ... ? (2n ?1) ? 3n
3Tn ? 1? 32 ? 3? 33 ? 5 ? 34 ? ... ? (2n ?1) ? 3n?1

2


3 n


n?1


n?1



??2Tn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ... ? 2 ? 3 ? (2n ?1) ? 3 = ?6 ? (2n ? 2) ? 3

?Tn ? (n ?1) ? 3n?1 ? 3

(12 分)

18、解: (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2 ,空气质量良的天数为 4 , 故该样本中空气质量优良的频率为

6 3 ? ,从而估计该月空气质量优良的天数为 10 5

30 ?

3 ? 18 5

( 2 )该样本中空气质量不佳共 4 天, 所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为

1?

1 5 ? 。 2 C4 6
E F

19、解:(1)当 M 是线段 AE 的中点时, AC ∥平面 MDF .
证明如下:连结 CE ,交 DF 于 N ,连结 MN , 由于 M , N 分别是 AE 、 CE 的中点,所以 MN ∥ AC , 由于 MN ? 平面 MDF ,又 AC ? 平面 MDF , 所以 AC ∥平面 MDF . ………………6 分 (2)如图,将几何体 ADE ? BCF 补成三棱柱 ADE ? B1CF , 三棱柱 ADE ? B1CF 的体积为
A M D B C

V ? S ?ADE ? CD ?

1 ? 2? 2? 4 ? 8, 2

则几何体 ADE ? BCF 的体积

-5-

1 1 20 VADE ? BCF ? VADE ? B1CF ? VF ? BB1C ? 8 ? ? ( ? 2 ? 2) ? 2 ? 3 2 3
4, 三棱锥 F ? DEM 的体积 V F ? DEM ? VM ? DEF ? 3

故两部分的体积之比为

4 ? 20 4 ? 1 :? ? ? ? 3 ? 3 3? 4

…12 分

20、解(1)设 F (c,0) ,由

1 1 3c 1 1 3c 2 2 2 ,即 ? ? ,可得 a ? c ? 3c , ? ? | OF | | OA | | FA | c a a (a ? c )

x2 y 2 ? ? 1. 4 3 (Ⅱ)设直线 l 的斜率为 k ( k ? 0 ) ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) .设 B( xB , y B ) ,由方程
2 2 2 2 2 又 a ? c ? b ? 3 ,所以 c ? 1 ,因此 a ? 4 ,所以椭圆的方程为

? x2 y 2 ?1 ? ? 组? 4 ,消去 y ,整理得 (4k 2 ? 3) x 2 ?16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 .解得 x ? 2 ,或 3 ? y ? k ( x ? 2) ?
x? 8k 2 ? 6 , 4k 2 ? 3

? 12 k 8k 2 ? 6 由题意得 xB ? ,从而 yB ? .由(Ⅰ)知, F (1,0) ,设 H (0, y H ) ,有 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 9 ? 4k 2 12k , ) .由 BF ? HF ,得 BF ? HF ? 0 ,所以 FH ? (?1, yH ) , BF ? ( 2 4k ? 3 4k 2 ? 3 9 ? 4k 2 12kyH ? ? 0, 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 9 ? 4k 2 1 9 ? 4k 2 解得 yH ? ,因此直线 MH 的方程为 y ? ? x ? . 12k k 12k ? 1 9 ? 4k 2 20k 2 ? 9 ?y ? ? x ? 设 M ( xM , yM ) ,由方程组 ? . k 12k 消去 y ,解得 xM ? 12(k 2 ? 1) ? y ? k ( x ? 2) ?
在 ?MAO 中, ?MOA ? ?MAO ?| MA |?| MO | ,即 ( xM ? 2) ? yM ? xM ? yM ,
2 2 2 2

化简得 xM ? 1 ,即

6 6 20k 2 ? 9 或k ? . ? 1 ,解得 k ? ? 2 4 4 12(k ? 1) 6 6 ]?[ ,??) . 4 4

所以,直线 l 的斜率的取值范围为 (??,? 21、

-6-

若 a ? 0 ,则当 意.

ln

a ?0 2 ,即 0 ? a ? 2 时,则当 x ? [0,??) 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,符合题

ln
当 题意.

a a ?0 x ? (0, ln ) 2 2 时, f ( x) 单调递增, f ( x) ? f (0) ? 0 ,不符合 ,即 a ? 2 时,则当

综上,实数 a 的取值范围是 (??,2]. 22、解: (1)∵直线 l 的参数方程是 为 x+y﹣1=0. ∵ρ=2 cos(θ+ )=2cosθ﹣2sinθ,∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ, ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x﹣2y,即 x2+y2﹣2x+2y=0. (2)将 代入 x2+y2﹣2x+2y=0 得 t2﹣ t﹣1=0,∴t1+t2= ,t1t2=﹣1. (t 是参数) ,∴x+y=1.即直线 l 的普通方程

∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|=

=



23、解: (Ⅰ)不等式 f(x)≥x,即为|2x﹣1|﹣|2x﹣2|﹣x≥0, ∴ 或 或 ,

-7-

解得:x≤﹣1 或 x∈ ? 或 x=1, 综上,不等式的解集是{x|x≤﹣1 或 x=1}; (Ⅱ)f(x)=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|≤|2x﹣1﹣2x+2|=1, 当且仅当 x≥1 时取“=”,故 k=1, 假设存在符合条件的正数 a,b,则 a+2b=1, + + = + + =2( + )=8+ + ≥8+2 =16,

当且仅当 a= ,b= 时取“=”号, ∴ + + 的最小值是 16,即 + ≥16﹣ >4﹣ + =4﹣ , 同时成立.

∴不存在正数 a、b,同时满足 a+2b=k,

-8-


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