【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件:第一章 计数原理3、1-2-2-1_图文


第一章 计数原理

(选修2-3)

1.2.2





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1.正确理解组合的意义,掌握写出所有组合的方法,
加深对分类讨论方法的理解,发展学生的抽象能力和逻辑 思维能力. 2.能利用计数原理和排列数公式推导组合数公式,并 熟练掌握.
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3.掌握组合数的两个性质,并能应用其进行计算、化
简、证明.

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本节重点:组合的概念与组合数公式.
本节难点:组合数公式及组合数性质的应用.
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1.从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素 并成一组
,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 数.用符号 表示. 所有
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组合的个数 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合

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组合数公式为

这里m、n∈N*,并且m≤n,组合数公式可以用阶乘表 示为:

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[例1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题: (1) 设集合 A= {a , b, c , d , e} ,则集合 A的子集中含 有3个元素的有多少个?
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(2) 某铁路线上有 5 个车站,则这条线上共需准备多少
种车票?多少种票价? (3)3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分 工方法? (4) 把 3 本相同的书分给 5 个学生,每人最多得 1 本,有

几种分配方法?

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[分析] 由题目可获取以下主要信息:①问题(1)、(4)
与顺序无关;②问题(3)与顺序有关;③问题(2)中确定车票 种数有顺序而票价没有顺序.解答本题可以先审题理解题 意,再根据组合的概念及其与排列的区别判断.
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[解析 ]
题.

(1) 因为本问题与元素顺序无关,故是组合问

(2)因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故 是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到 甲站是同一种票价,故是组合问题.
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(3)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种,
按一定次序分给3个人去干,故是排列问题. (4)因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都 不需考虑他们的顺序,故是组合问题.

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[点评] 区分排列与组合问题,关键是利用排列与组
合的定义,组合是“只选不排、并成一组,与顺序有 关”.只要两个组合中的元素完全相同,则不论元素的顺 序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完 全相同时,才是不同的组合.
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[例 4]
[解析]

2 2 2 A2 3+A4+A5+…+A100=________.
2 2 2 2 2 解法一:原式=C3 A2+C2 4A2+…+C100A2

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2 2 2 =(C2 A2 3+C4+…+C100)· 2 2 2 2 3 2 =(C3 + C + C + C + … + C - C )· A 3 3 4 5 100 3 2 2 2 2 3 2 =(C3 + C + C + … + C - C )· A 4 4 5 100 3 2 2 2 3 2 =(C3 A2 5+C5…+C100-C3)·



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3 2 =(C3 - C )· A 101 3 2 2 =(C3 A2 101-1)·

=2C3 101-2=333298.
m m-1 解法二:由 Cm = C + C + n 1 n n ,
-1 m m ∴C m n =Cn+1-Cn .

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3 3 2 3 3 2 3 3 ∴C 2 = C - C , C = C - C , C = C - C 3 4 3 4 5 4 5 6 5,



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3 3 C2 = C - C 100 101 100,以上各式累加得: 2 2 2 3 3 C2 3+C4+C5+…+C100=C101-C3. 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴A3 +A2 + A + … + A = (C + C + C + … + C )A 4 5 100 3 4 5 100 2= 3 2 (C3 A2 =(C3 A2 101-C3)· 101-1)· 2=333298.
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[点评] 些关系式.

m A n m m m-1 m n-m 要熟悉 Cm = m与 Cn+1=Cn +Cn 及 Cn =Cn 这 n Am

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[例 5]

证明下列各等式. m

n m -1 m (Ⅰ)Cn = Cn-1 ; m+1 m+1 m (Ⅱ)Cn = Cn+1 ; n+1
0 1 2 m-1 m-1 (Ⅲ)Cn +Cn +1+Cn+2…+Cn+m-1=Cn+m.

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[解析]

(Ⅰ)右边=
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(n-1)! n · m (m-1)![(n-1)-(m-1)]! n! n! = = [m· (m-1)!](n-m)! m!(n-m)! =C m n =左边,∴原式成立;

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m+1 (n+1)! (Ⅱ)右边= · n+1 (m+1)![(n+1)-(m+1)]! m+1 (n+1)! = · n+1 (m+1)!(n-m)! n! = =Cm n =左边,∴原式成立; m!(n-m)!
1 2 3 m-1 (Ⅲ) 左边= (C 0 + C ) + C + C + … + C + + + + n 1 n 1 n 2 n 3 n+m-1 = 2 3 m 1 2 3 (C 1 + C ) + C + … + C = (C + C + + + + - + n 2 n 2 n 3 n m 1 n 3 n +3 ) + … +


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1 3 4 m 1 m 2 Cm n+m-1 = (C n+4 + C n+4 ) + … + C n+m-1 = …… = C n+m-1 +
- - -

1 m 1 Cm n+m-1=Cn+m=右边,∴原式成立.
- -

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[点评]

0 (1)对于(Ⅲ)关键一步是把 C0 变成 C n n+1=1,再反

复运用定理 2,逐步化简式子即可得证.
m m 1 m 1 (2)也可利用 Cm = C + C 将等式右边 C n+1 n n n+m一项拆成二
- -

项,反复使用此公式即可得证.请自己证明.
n n n (3)此题中(Ⅲ)式的变形为:Cn n+Cn+1+Cn+2+…+Cn+m-1 1 =Cm n+m.


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(4)对于组合数的两个性质,新课标要求很低,故不宜膨 胀,仅能够理解、简单套用即可.

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一、选择题
1.下列问题:①神舟七号载人航天任务圆满成功后, 航天工作人员互相握手庆祝,共有多少种握手情况? ②直线上有5个点,可确定多少个向量? ③直线上有5个点可确定多少条线段?
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④有4个篮球队进行单循环赛,共有多少场比赛?
⑤有4个篮球队进行单循环赛,有多少种冠亚军的情况? 其中组合问题个数有( A.2个 ) C.4个 D.5个 B.3个

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[答案] B
[解析] 由组合概念知①③④都是组合,故选B.
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2.C2 n=10,则 n 的值为( A.10 B.5 C.3 D.4

)

[答案] B
[解析] n(n-1) 由题意得 2 =10,

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解得 n=5 或 n=-4(舍去),故选 B.

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6 5 3.已知 C6 = x , C = y ,则 C - - n 2 n 1 n-2(

)

A.y-x B.x-y C.x+y D.xy

[答案] A
[解析]
6 5 6 ∵Cn -2+Cn-2=Cn-1,

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∴x+C5 n-2=y, ∴C5 n-2=y-x,故选 A.

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二、填空题
9 4.已知 Cx 2009=C2009,则 x=________.

[答案] 9或2000.

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3 2 5.计算 C2 + C + C 8 8 9=________.

[答案] 120

[解析]

由组合数性质知

m-1 m Cm n +Cn =Cn+1,

10×9×8 2 3 2 3 2 3 ∴C8+C8+C9=C9+C9=C10= =120. 3×2×1

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