2015年全国卷(II)文科数学真题及答案_图文


2015 年全国卷(II)文科数学真题及答案 文科数学
一.选择题. 12 题. 每题 5 分.
1.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 3},则 A? B ?

A. (?1,3)

B. (?1,0)

C. (0,2)

D. (2,3)

2.若 a 为实数,且 2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? 1? i

A. ? 4

B. ? 3

C. 3

D. 4

3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正 确的是
A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关

4.向量 a ? (1,?1) b ? (?1,2) ,则 (2a ? b) ? a ?

A. ?1

B. 0

C. 1

D. 2

5. 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ?

A. 5

B. 7

C. 9

D. 11

6. 一个正方体被一个平面截取一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的 比值为

A. 1 8

B. 1 7

C. 1 6

D. 1 5

7.已知三点 A(1,0) , B(0, 3) , C(2, 3) ,则 ?ABC外接圆的圆心到原点的距离为

A. 5 3

B. 21 3

C. 2 5 3

D. 4 3

8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图,

若输入的 a 、 b 分别为 14、18,则输出的 a ?

A. 0

B. 2

C. 4

D. 14

A. (?1,3)

B. (?1,0)

C. (0,2)

D. (2,3)

9.已知等比数列{an}满足 a1

?

1 4

, a3a5

?

4(a4

?1) ,则 a2

?

A. 2

B. 1

C. 1

D. 1

2

8

10.已知 A 、 B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点.若三棱锥 O ? ABC体积

的最大值为 36,则球 O 的表面积为

A. 36?

B. 64?

C. 144?

D. 256?

11.如图,长方形 ABCD的边 AB ? 2 , BC ? 1, O 是 AB 的中点,点 P 沿着 BC 、 CD 与 DA 运动, 记 ?BOP ? x .将动点 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x) ,则 y ? f (x) 的图象大致为

12.

设函数

f

(

x)

?

ln(1?

|

x

|)

?

1

1 ?x

2

,则使得

f (x) ?

f (2x ?1) 成立的 x 的取值范围是

A. (1 ,1) 3

B. (??, 1) ? (1,??) 3

C. (? 1 , 1) 33

D. (??,? 1) ? (1 ,??) 33

二.填空题:共 4 小题,每小题 5 分.

13. 已知函数 f (x) ? ax3 ? 2x 的图象过点 (?1,4) ,则 a ?

.

?x ? y ?5 ? 0

14.若 x 、 y 满足约束条件 ??2x ? y ?1 ? 0 ,则 z ? 2x ? y 的最大值为

.

??x ? 2 y ?1 ? 0

15.已知双曲线过点 (4, 3) ,且渐近线方程为 y ? ? 1 x ,则该双曲线的标准方程为

.

2

16.已知曲线 y ? x ? ln x 在点 (1,1) 处的切线与曲线 y ? ax2 ? (a ? 2)x ?1相切,则 a ?

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 12 分)
ΔABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (I) 求 sin ?B ;
sin ?C
(II) 若∠BAC=60°,求∠B.
18、(本小题满分 12 分)
某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对产品的满意度评分,得分 A 地区用户满意评分的频率分布 直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表.

B 地区用户满意度评分的频数分布表

满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)

频数

2

8

14

10

6

(I) 在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频数分布直方图,并通过直

方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体

值,给出结论即可)

(II) 根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级;

满意度评分

低于 70 分

70 分到 80 分 不低于 90 分

满意度等级

不满意

满意

非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.

19、(本小题满分 12 分)
如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,分别 在 A1B1, D1C1 上,A1E= D1F=4.过点 E,F 的平面α 与此长方体的面相交, 交线围成一个正方形.
(I) 在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) (II) 求平面α 把该长方体分成的两部分体积的比值.

20、(本小题满分 12 分)

已知椭圆

C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a

>b

>0)的离心率为

2 ,点(2,
2

2 )在 C 上.

(I) 求 C 的方程.

(II) 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,

线段 AB 的中点为 M.直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定

值.

21、(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln x +a(1- x) (I) 讨论 f(x)的单调性; (II) 当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时请写清题号。 22、(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选择 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ΔABC 的底边 BC 交于 M,N 两点, 与底边上的高 AD 交于 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (I) 证明:EF//BC; (II) 若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN=2 3 ,求四边形 EBCF 的面积

23、(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

{x?t cosα

在直线坐标系 xOy 中,曲线 C1:

y?t sinα sin ?B (t 为参数,t ? 0)其中
sin ?C

0 ?α ? ? .在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:p=2 sin? , C3:p=2 3 cos? 。 (I) 求 C1 与 C3 交点的直角坐标; (II) 若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 lABl 的最大值.

24、(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d.证明: (I) 若 ab>cd,则 a ? b > c ? d ; (II) a ? b > c ? d 是 la-bl<lc-dl 的充要条件.


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