江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题
2014-2015 学年度临川一中高二数学月考试卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 500 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检 查．现将 500 名学生从 1 到 500 进行编号．已知从 21～30 这 10 个数中取的数是 24，则在 第 1 小组 1～10 中随机抽到的数是（ B） A．2 B．4 C．6 D．8 2. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a、b、c ， a= 2 ， b= 3 ， B ? 60? ，那么角 A 等 于（C ）
?
A． 135
B． 135 或 45
?
?
C． 45
?
D． 60
?
3. 以下给出的函数中，以 ? 为周期的奇函数是( D ) A． y ? cos x ? sin x
2 2
B． y ? sin | x |
C． y ? tan
x 2
D． y ? sin x ? cos x
4. 设 a ? tan
3 ? ? ， b ? cos ， c ? (1 ? sin 6 ? ) 0 ，则 a ， b ， c 的大小关系是( A ) 4 5 4
B． c ? a ? b C． a ? b ? c D． b ? c ? a
?
A． c ? b ? a
4)， B(?6, ?1)两点，直线 l 2 倾斜角为 135 ，那么 l1 与 l 2 ( B ) 5. 已知直线 l1 经过 A(?1,
A．平行 B． 垂直 C．重合 D．相交但不垂直 6. 下面框图所给的程序运行结果为 S=20，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是（ D ）
A．k=9
B．k ? 8
C．k<8
D．k>8
7. 圆 O1 ： x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O2 ： x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的公切线条数为( B ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( B )
A．12
B．4
C．
56 3
）
D．
8 3 3
9. 下列对应是从集合 S 到 T 的映射的是（C
-1-
A． S ? {0,1,4,9} ， T ? {?3,?2,?1,0,1,2,3} ，对应法则是开平方 B． S ? {0,1,2,5} ， T ? {1,
1 1 , } ，对应法则是取倒数 2 5
C． S ? N ， T ? {?1,1} ，对应法则是 n ? (?1)n ， n ? S D． S ? {x | x ? R}， T ? { y | y ? R} ，对应法则是 x ? y ?
1? x 1? x
10. 已知函数 y ? cos x与y ? sin(2x ? ? )(0 ? ? ? ? ), 它们的图象有一个横坐标为 则? ? ( A． B ) B．
? 的交点, 3
? 6
? 3
2 2
C．
2? 3
D．
5? 6
11. 已知 A 、 B 是圆 O : x ? y ? 1上的两个点， P 是 AB 线段上的动点，当△ ABO 的面积 最大时， 则
??? ? ??? ? ??? ?2 AO ? AP ? AP 的最大值是( C )
B．0 C．
A．-1
1 8
D．
1 2
12. 若不等式组 ?
?x ? y ?3 ? 表示的平面区域是三角形，则实数 k 的取值范围是（ D ） ? ? y ? 3 ? k (x ? 1)
B．k ? ?
A．? 或k ?
3 3 ?k? 2 4
3 3 或k ? 2 4
C．k ? ?
3 3 或0 ? k ? 2 4
D． ?
3 ?k ?0 2
3 4
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 为了调查城市空气质量，按地域把 48 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为 8、 16、 24． 若用分层抽样的方法抽取 12 个城市， 则乙组中应抽取的城市数为 4个 . 14. 已 知 甲 、 乙 两 个 球 的 表 面 积 分 别 为 S1 , S 2 ， 且 27:8 ．
V S1 9 ? , 体 积 分 别 为 V1 ,V2 ， 则 1 ? S2 4 V2
15.已知函数 f ( x) ? ? 点．
?| lg x |, x ? 0 ?? x ? 2 x, x ? 0
2
，则函数 y ? 2[ f ( x)] ? 3 f ( x) ? 1 有 5
2
个不同的零
16. 在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中， E 是 BC 的中点， F 是 C1D 的 中点， P 是棱 CC1 所在直线上的动点．则下列四个命题：
-2-
D1 A1 F B1
C1
① CD ? PE ② EF // 平面 ABC1 ③ VP? A1DD1
? VD1 ? ADE
D A B
C E
④ 不存在过 P 的直线与正四棱柱的各个面都成等角． 其中正确命题的序号是 123 （写出所有正确命题的 序号） ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题 10 分）某校 200 位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成 绩分组区间是： ?50,60 ? 、 ?60,70 ? 、 ?70,80 ? 、 ?80,90 ? 、 ?90,100? ． （1）求图中 a 的值; ⑵根据频率分布直方图，估计这 200 名学生物理成 绩的平均分．
18. （本小题 10 分） 如图， 为对某失事客轮 用强光柱进行辅助照明，其中 , , , 、 、
进行有效援助， 现分别在河岸 、 在同一平面内．现测得
选择两处 长为
、
米，
．
（1）求
的面积； （2）求船
的长．
PD ? 底面ABCD ， 19.（本小题 12 分） 如图， 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形，
PD ? AD ， E 为 PC 的中点， F 为 PB 上一点，且 EF ? PB ．
-3-
（1） 证明： PA∥平面 EDB ； （2） 证明： PB ? 平面 EFD （3） 求三棱锥 B ? ADF 的体积．
20. （文科做）(12 分）在等差数列 {an } 中，已知 a1 ? 13 ， a 2 =10 （1）求 {an } 的通项公式； （2）设 bn ?
1 ，求数列 {bn }的前 n 项和 Tn ． an an ?1
20. （理科做） （12 分） 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ， 已知 a1 ? 13 ，a 2 为整数， 且 S n ? S5 ． （1）求 {an } 的通项公式； （2）设 bn ?
1 ，求数列 {bn }的前 n 项和 Tn ． an an ?1
21.（本小题 13 分）对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R 使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的不 动点.已知函 数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) .
2
⑴若 a ? 1 , b ? 4 ,求函数 f ( x) 的不动点； ⑵若对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动 点,求 a 的取值范围； ⑶(只理科做）在⑵的条件下,若 y ? f ( x) 图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不 动点,且 A 、 B 两点关于直线 y ? kx ?
1 2a 2 ? 1
对称,求 b 的最小值.
22． （本小题 13 分）如图，圆 ：．
（Ⅰ）若圆
与 轴相切，求圆
的方程；
-4-
（Ⅱ）已知 ，圆 与 轴相交于两点 （点 在点 的左侧） ．过点 直线与圆 ： 相交于两点 ． 问： 是否存在实数 ， 使得 若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理由．
任作一条 ？
-5-
2014-2015 学年度临川一中高二数学月考试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 500 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检 查．现将 500 名学生从 1 到 500 进行编号．已知从 21～30 这 10 个数中取的数是 24，则在 第 1 小组 1～10 中随机抽到的数是（ B） A．2 B．4 C．6 D．8 2. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a、b、c ， a= 2 ， b= 3 ， B ? 60? ，那么角 A 等 于（C ）
?
A． 135
B． 135 或 45
?
?
C． 45
?
D． 60
?
3. 以下给出的函数中，以 ? 为周期的奇函数是( D ) A． y ? cos x ? sin x
2 2
B． y ? sin | x |
C． y ? tan
x 2
D． y ? sin x ? cos x
4. 设 a ? tan
3 ? ? ， b ? cos ， c ? (1 ? sin 6 ? ) 0 ，则 a ， b ， c 的大小关系是( A ) 4 5 4
B． c ? a ? b C． a ? b ? c D． b ? c ? a
?
A． c ? b ? a
4)， B(?6, ?1)两点，直线 l 2 倾斜角为 135 ，那么 l1 与 l 2 ( B ) 5. 已知直线 l1 经过 A(?1,
A．平行 B． 垂直 C．重合 D．相交但不垂直 6. 下面框图所给的程序运行结果为 S=20，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是（ D ）
A．k=9
B．k ? 8
C．k<8
D．k>8
7. 圆 O1 ： x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O2 ： x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的公切线条数为( B ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( B )
A．12
B．4
C．
56 3
）
D．
8 3 3
9. 下列对应是从集合 S 到 T 的映射的是（C
A． S ? {0,1,4,9} ， T ? {?3,?2,?1,0,1,2,3} ，对应法则是开平方
-6-
B． S ? {0,1,2,5} ， T ? {1,
1 1 , } ，对应法则是取倒数 2 5
C． S ? N ， T ? {?1,1} ，对应法则是 n ? (?1)n ， n ? S D． S ? {x | x ? R}， T ? { y | y ? R} ，对应法则是 x ? y ?
1? x 1? x
10. 已知函数 y ? cos x与y ? sin(2x ? ? )(0 ? ? ? ? ), 它们的图象有一个横坐标为 则? ? ( A． A) B．
? 的交点, 3
? 6
? 3
C．
2? 3
D．
5? 6
11. 已知 A 、 B 是圆 O : x 2 ? y 2 ? 1上的两个点， P 是 AB 线段上的动点，当△ ABO 的面积 最大时， 则
??? ? ??? ? ??? ?2 AO ? AP ? AP 的最大值是( C )
B．0 C．
A．-1
1 8
D．
1 2
12. 若不等式组 ?
? ?x ? y ?3 表示的平面区域是三角形，则实数 k 的取值范围是（ C ） ? ? y ? 3 ? k (x ? 1)
B．k ? ?
A．? 或k ?
3 3 ?k? 2 4
3 3 或k ? 2 4
C．k ? ?
3 3 或0 ? k ? 2 4
D． ?
3 ?k ?0 2
3 4
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 为了调查城市空气质量，按地域把 48 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为 8、 16、 24． 若用分层抽样的方法抽取 12 个城市， 则乙组中应抽取的城市数为 4个 . 14. 已 知 甲 、 乙 两 个 球 的 表 面 积 分 别 为 S1 , S 2 ， 且 27:8 ．
V S1 9 ? , 体 积 分 别 为 V1 ,V2 ， 则 1 ? S2 4 V2
15.已知函数 f ( x) ? ?
?| lg x |, x ? 0
2 ?? x ? 2 x, x ? 0
， 则函数 y ? 2[ f ( x)] ? 3 f ( x) ? 1 有 7 个不同的零点．
2
16. 在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中， E 是 BC 的中点， F 是 C1D 的 中点， P 是棱 CC1 所在直线上的动点．则下列四个命题： D1 A1 F
-7-
C1 B1
① CD ? PE ② EF // 平面 ABC1
D A B
C E
③ VP? A1DD1
? VD1 ? ADE
④ 不存在过 P 的直线与正四棱柱的各个面都成等角． 其中正确命题的序号是 1 2 3 （写出所有正确命题的序号） ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题 10 分）某校 200 位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成 绩分组区间是： ?50,60 ? 、 ?60,70 ? 、 ?70,80 ? 、 ?80,90 ? 、 ?90,100? ． （1）求图中 a 的值; ⑵根据频率分布直方图，估计这 200 名学生物理成 绩的平均分．
【答案】 （1） a ? 0.005 （2）73
18. （本小题 10 分） 如图， 为对某失事客轮 用强光柱进行辅助照明，其中 , , , 、 、
进行有效援助， 现分别在河岸 、 在同一平面内．现测得
选择两处 长为
、
米，
．
（ 1 ） 求 长
的 面 积 ；（ 2 ） 求 船
的 ．
-8-
PD ? 底面ABCD ， 19.（本小题 12 分） 如图， 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形，
PD ? AD ， E 为 PC 的中点， F 为 PB 上一点，且 EF ? PB ．
（4） 证明： PA∥平面 EDB ； （5） 证明： PB ? 平面 EFD （6） 求三棱锥 B ? ADF 的体积．
20. （文科做）(12 分）在等差数列 {an } 中，已知 a1 ? 13 ， a 2 =10 （1）求 {an } 的通项公式； （2）设 bn ?
1 ，求数列 {bn }的前 n 项和 Tn ． an an ?1
-9-
∵ ∴
a2 为整数，∴ d ? ?3 ，
{an } 的通项公式为 an ? 16 ? 3n ．
bn ?
……………………7 分
（2）∵ ∴
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (16 ? 3n)(13 ? 3n) 3 13 ? 3n 16 ? 3n ，……………………9 分
Tn ? b1 ? b2 ? ?? bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 10 13 7 10 4 7 13 ? 3n 16 ? 3n …………12 分
1 1 1 n ? ( ? )? 3 13 ? 3n 13 13(13 ? 3n) …………………
20. （理科做） （12 分） 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ， 已知 a1 ? 13 ，a 2 为整数， 且 S n ? S5 ． （1）求 {an } 的通项公式； （2）设 bn ?
1 ，求数列 {bn }的前 n 项和 Tn ．试题 an an ?1
? 13 13 ?d ?? 4 5 ，因为 a1 , a2
S ? S5 可知 S5 为最大值，即 a5 ? 0 ，a6 ? 0 ，解得 分析： （1） 由 n
为 整 数 ， 所 以 d 为 整 数 ， d=-3 ， 即 可 求 得 通 项 公 式 ；（ 2 ） 由 （ 1 ） 得
bn ?
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (16 ? 3n)(13 ? 3n) 3 13 ? 3n 16 ? 3n ，采用裂项相消求和
试题解析： （1）在等差数列 得 又
{an } 中，由 Sn ? S5
a5 ? 0 ， a6 ? 0 ， a1 ? 13 ，
?13 ? 4d ? 0 13 13 ? ? ?d ?? 13 ? 5d ? 0 ，解得 4 5 ， ∴?
∵ ∴
a2 为整数，∴ d ? ?3 ，
{an } 的通项公式为 an ? 16 ? 3n ．
bn ?
……………………7 分
（2）∵ ∴
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (16 ? 3n)(13 ? 3n) 3 13 ? 3n 16 ? 3n ，……………………9 分
Tn ? b1 ? b2 ? ?? bn
- 10 -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 10 13 7 10 4 7 13 ? 3n 16 ? 3n …………12 分
1 1 1 n ? ( ? )? 3 13 ? 3n 13 13(13 ? 3n) ……………………14 分
21.（本小题 13 分）对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R 使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的不 动点.已知函 数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) . ⑴若 a ? 1 , b ? 4 ,求函数 f ( x) 的不动点； ⑵若对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围； ⑶(只理科做）在⑵的条件下,若 y ? f ( x) 图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不 动点,且 A 、 B 两点关于直线 y ? kx ?
1 2a 2 ? 1
对称,求 b 的最小值.
, b? 3 , f ( x) ? x2 ? 4x ? 2, f ( x) ? x ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 , ? x ? ?2, ?1 ,则 f ( x) （1） 若a ?1
的不动点为 ?2, ?1 （2 分）
2 （2）函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,所以方程 f ( x) ? x 即 ax ? bx ? b ?1 ? 0(a ? 0) 恒有
两个不等实根, 需要判别式大于 0 恒成立,即 b ? 4a(b ?1) ? 0 ? b ? 4ab ? 4a ? 0 对任意实数 b 恒成立,
2 2
? ? ? (?4a)2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 ,所以 0 ? a ? 1 （6 分）
（3）因为 A、B 两点关于直线 y ? kx ? 对称,所以 AB ? 直线且中点 M 在直线上 2a 2 ? 1 b 设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) ,由（2）知, x1 ? x2 ? ? a x ? x2 x1 ? x2 b b , )即( ? , ? ) 所以 AB 的中点 M ( 1 2 2 2a 2a b b 1 a ? ?( ? ) ? 2 ?b?? 2 易知 k AB ? 1? k ? ?1 ?? 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 由（2）, 0 ? a ? 1 所以 b ? ?
1
a 2a ? 1
2
??
1 2a ? 1 a
??
1 1 2 ( 2a ? ) ?2 2 a
- 11 -
当且仅当 2a ?
1 2 1 2 （12 分） 即a ? 时，bmin ? ? ?? a 2 4 2 2
22． （本小题 13 分）如图，圆 ：．
（Ⅰ）若圆 与 轴相切，求圆 的方程； （Ⅱ）已知 ，圆 与 轴相交于两点 （点 在点 的左侧） ．过点 直线与圆 ： 相交于两点 ． 问： 是否存在实数 ， 使得 若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理 由．
任作一条 ？
- 12 -
- 13 -