2013卓越联盟自主招生数学试题及答案
2013 年卓越联盟自主招生数学试题
一、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分.在每小题给出的 4 个结论中,只有一项是符 合题目要求的. ) (1)已知 f ( x ) 是定义在实数集上的偶函数,且在 (0, ??) 上递增,则 (A) f (20.7 ) ? f (? log2 5) ? f (?3) (C) f (?3) ? f (? log2 5) ? f (20.7 ) (B) f (?3) ? f (20.7 ) ? f (? log2 5) (D) f (20.7 ) ? f (?3) ? f (? log2 5)
(2)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? 相邻两个零点的距离为
?
? ,为得到 y ? f ( x) 的图象,可将 y ? sin x 图象上所有点 2 ? 1 (A)先向右平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变 2 3 ? 1 (B) 先向左平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变 2 3 ? (C) 先向左平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? (D) 先向右平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 3 (3)如图,在 A, B, C , D, E 五个区域中栽种 3 种植物,要求同一区域中只种 1 种植物,相
邻两区域所种植物不同,则不同的栽种方法的总数为 (A)21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数 f ( x ) 在 R 上存在导数 f ?( x ) ,对任意的 x ? R ,有
2
) 的图象经过点 B (?
?
6
, 0) ,且 f ( x) 的
f (? x) ? f ( x) ? x2 ,且在 (0, ??) 上 f ?( x) ? x .若
f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围为
(A) [1, ??) (B) (??,1] (C) (??, 2] (D) [2, ??)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) (5)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点是双曲线
2
x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,则双曲线的渐 8 p
???? ????
近线方程为
.
(6)设点 O 在 ?ABC 的内部,点 D , E 分别为边 AC , BC 的中点,且 OD ? 2 DE ? 1 , 则 OA ? 2OB ? 3OC ? (7)设曲线 y ?
??? ?
??? ?
????
.
2 x ? x 2 与 x 轴所围成的区域为 D ,向区域 D 内随机投一点,则该点落
.
2 2 入区域 {( x, y ) ? D x ? y ? 2} 内的概率为
(8)如图,AE 是圆 O 的切线,A 是切点,AD 与 OE 垂直,垂足是 D ,割线 EC 交圆 O 于 B, C ,且
?ODC ? ? , ? DBC ? ? ,
则 ?OEC ? (用 ? , ? 表示) .
三、解答题(本大题共 4 小题,共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (9) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,三个内角 A 、 B 、 C 所对边分别为 a 、 b 、 c . 已知 (a ? c)(sin A ? sin C ) ? (a ? b)sin B . (1)求角 C 的大小; (10) (本题满分 13 分) 设椭圆 (2)求 sin A ? sin B 的最大值.
x2 y 2 3 ? ? 1(a ? 2) 的离心率为 ,斜率为 k 的直线 l 过点 E (0,1) 且与椭圆交于 2 a 4 3
??? ? ??? ? C , D 两点. (1)求椭圆方程; (2)若直线 l 与 x 轴相交于点 G ,且 GC ? DE ,求 k 的值;
(3)设 A 为椭圆的下顶点, k AC 、 k AD 分别为直线 AC 、 AD 的斜率,证明对任意的 k 恒 有 k AC ? k AD ? ?2 . (11) (本题满分 15 分) 设x ? 0, (1)证明: e ? 1 ? x ?
x
1 2 x ; 2
(2)若 e ? 1 ? x ?
x
1 2 y x e ,证明: 0 ? y ? x . 2
(12) (本题满分 15 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 3 , an?1 ? an 2 ? nan ? ? , n ? N * ,? ? R . (1)若 an ? 2n 对 ?n ? N 都成立,求 ? 的取值范围;
*
(2)当 ? ? ?2 时,证明
1 1 1 ? ?? ? ? 2(n ? N * ) . a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2
答案:(1)A;
(2)B;
(3)C; (7) 1 ?
(4)B.
(5) y ? ? x ; (6)2;
1
?
; (8) ? ? ? .