2013卓越联盟自主招生数学试题及答案

2013 年卓越联盟自主招生数学试题
一、选择题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分．在每小题给出的 4 个结论中，只有一项是符 合题目要求的． ） （1）已知 f ( x ) 是定义在实数集上的偶函数，且在 (0, ??) 上递增，则 （A） f (20.7 ) ? f (? log2 5) ? f (?3) (C) f (?3) ? f (? log2 5) ? f (20.7 ) (B) f (?3) ? f (20.7 ) ? f (? log2 5) (D) f (20.7 ) ? f (?3) ? f (? log2 5)

（2）已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? 相邻两个零点的距离为

?

? ，为得到 y ? f ( x) 的图象，可将 y ? sin x 图象上所有点 2 ? 1 （A）先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变 2 3 ? 1 (B) 先向左平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变 2 3 ? (C) 先向左平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变 3 ? (D) 先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变 3 （3）如图，在 A, B, C , D, E 五个区域中栽种 3 种植物，要求同一区域中只种 1 种植物，相
邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为 （A）21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数 f ( x ) 在 R 上存在导数 f ?( x ) ，对任意的 x ? R ，有

2

) 的图象经过点 B (?

?

6

, 0) ，且 f ( x) 的

f (? x) ? f ( x) ? x2 ，且在 (0, ??) 上 f ?( x) ? x ．若
f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a ，则实数 a 的取值范围为
（A） [1, ??) (B) (??,1] (C) (??, 2] (D) [2, ??)

二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分） （5）已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点是双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点，则双曲线的渐 8 p
???? ????

近线方程为

．

（6）设点 O 在 ?ABC 的内部，点 D ， E 分别为边 AC ， BC 的中点，且 OD ? 2 DE ? 1 ， 则 OA ? 2OB ? 3OC ? （7）设曲线 y ?

??? ?

??? ?

????

．

2 x ? x 2 与 x 轴所围成的区域为 D ，向区域 D 内随机投一点，则该点落
．

2 2 入区域 {( x, y ) ? D x ? y ? 2} 内的概率为

(8)如图，AE 是圆 O 的切线，A 是切点，AD 与 OE 垂直，垂足是 D ，割线 EC 交圆 O 于 B, C ，且

?ODC ? ? , ? DBC ? ? ，
则 ?OEC ? （用 ? , ? 表示） ．

三、解答题（本大题共 4 小题，共 56 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （9） （本小题满分 13 分） 在 ?ABC 中，三个内角 A 、 B 、 C 所对边分别为 a 、 b 、 c ． 已知 (a ? c)(sin A ? sin C ) ? (a ? b)sin B ． （1）求角 C 的大小； （10） （本题满分 13 分） 设椭圆 （2）求 sin A ? sin B 的最大值．

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? 2) 的离心率为 ，斜率为 k 的直线 l 过点 E (0,1) 且与椭圆交于 2 a 4 3

??? ? ??? ? C , D 两点． （1）求椭圆方程； （2）若直线 l 与 x 轴相交于点 G ，且 GC ? DE ，求 k 的值；
（3）设 A 为椭圆的下顶点， k AC 、 k AD 分别为直线 AC 、 AD 的斜率，证明对任意的 k 恒 有 k AC ? k AD ? ?2 ． （11） （本题满分 15 分） 设x ? 0， （1）证明： e ? 1 ? x ?
x

1 2 x ； 2

（2）若 e ? 1 ? x ?
x

1 2 y x e ，证明： 0 ? y ? x ． 2

（12） （本题满分 15 分） 已知数列 {an } 中， a1 ? 3 ， an?1 ? an 2 ? nan ? ? , n ? N * ,? ? R ． （1）若 an ? 2n 对 ?n ? N 都成立，求 ? 的取值范围；
*

（2）当 ? ? ?2 时，证明

1 1 1 ? ?? ? ? 2(n ? N * ) ． a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2

答案：(1)A；

（2）B；

（3）C； （7） 1 ?

（4）B．

（5） y ? ? x ； （6）2；

1

?

； （8） ? ? ? ．