(通用版)2016年高考数学二轮复习 专题十三 选考部分 第2讲 坐标系与参数方程课件 理_图文


专题十三 选考部分

第2讲

坐标系与参数方程

专题十三 选考部分

2016考向导航 历届高考考什么? 1.曲线方程互化与点 2015 卷Ⅰ,T23

三年真题统计 2014
卷Ⅱ,T23 卷Ⅰ,T23

2013

卷Ⅰ,T23卷

的坐标 2.距离、面积与最值
问题 3.曲线相交问题

Ⅱ,T23

卷Ⅱ,T23

专题十三 选考部分

2016会怎样考?

(1)直角坐标方程、参数方程、极坐标方程互化是高频考点
(2)求点的坐标,线段长度,面积与最值是重点

1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点, x 轴正半轴 作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单 位.设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐 标、极坐标分别为 (x, y)和(ρ,θ ),则
2 2 2 ρ = x + y , ? ? ?x= ρcos θ ,? ? ? y ?y= ρsin θ , ?tan θ = ( x≠ 0) . ? x ?

2.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0, θ 0),且极轴到此直线的角为 α,则它的 方程为: ρsin(θ- α)= ρ0sin(θ0- α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点: θ= α 或θ = π +α ; (2)直线过点 M(a, 0)(a>0)且垂直于极轴: ρcos θ = a; π? ? (3)直线过点 M b, 且平行于极轴: ρsin θ = b. ? 2?

3.圆的极坐标方程 圆心为 M(ρ0,θ 0),半径为 r 的圆的方程为:
2 ρ 2- 2ρ0ρ cos(θ- θ0)+ ρ2 - r = 0. 0

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为 r: ρ= r; (2)当圆心位于 M(r, 0),半径为 r: ρ=2rcos θ ; π? ? (3)当圆心位于 M r, ,半径为 r: ρ= 2rsin θ . 2 ? ? (4)圆心在点 A(ρ0,θ 0),半径为 r 的圆的方程为 r2= ρ2+ ρ2 0- 2ρρ0cos(θ- θ0).

4.直线的参数方程 经过点 P0(x0,y0),倾斜角为α 的直线的参数方程为
? ?x=x0+ tcos α ? (t 为参数 ). ?y= y0+ tsin α ?

→ 设 P 是直线上的任一点,则 t 表示有向线段P0P的数量
5.圆的参数方程 圆心在点 M(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为
? ?x=x0+ rcos θ , ? (θ 为参数). ?y= y0+ rsin θ ?

6.圆锥曲线的参数方程
? ?x=acos θ , x 2 y2 (1)椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)的参数方程为? (θ 为参数). a b ?y= bsin θ ?

a ? ?x= , x y cos θ (2)双曲线 2- 2= 1(a>0,b>0)的参数方程为? (θ 为 a b ? ?y=btan θ
2 2

参数).
? ?x=2pt , 2 (3)抛物线 y = 2px(p>0)的参数方程为? (t 为参数). ?y= 2pt ?
2

考点一 曲线方程互化与点的坐标

(2014· 高考课标全国卷Ⅱ,10 分)在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C π? ? 的极坐标方程为 ρ=2cos θ ,θ ∈ 0, . 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+ 2 垂 直,根据 (1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.

[解 ] (1)C 的普通方程为 (x- 1)2+ y2= 1(0≤ y≤1).
? ?x=1+ cos t, 可得 C 的参数方程为? (t 为参数,0≤ t≤π ). ? ?y= sin t

(2)设 D(1+ cos t,sin t),由 (1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为 半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直, π 所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3, t= . 3 π π? 3 3? ? ? 故 D 的直角坐标为 1+ cos , sin ,即 , . 3 3? ? ?2 2 ?

[名师点评 ]

(1)曲线方程形式的互化,必须掌握互化公式,

有时极坐标方程与参数方程要通过直角坐标的普通形式进行 转化; (2)注意数形结合方法也是快速解决三种方程转化问题的有效 方法.

? ?x=2+2cos t 已知曲线 C 的参数方程为? (t 为参数,且 0≤ t≤ ?y= 2sin t ?

π ),以直角坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐 π? ? 标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ+ = b. 6? ? (1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)当直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 有两个交点,且过两交 点的弦长最大时,求这两个交点的极坐标及此时的弦长.

? ?x=2+2cos t 解:(1)由? (0≤ t≤π )得 ? ?y= 2sin t

(x-2)2+ y2=4(0≤ x≤4,0≤y≤2), 该方程即为曲线 C 的普通方程. π? ? 由 ρcos θ + = b 得, 6? ? π π ρ cos θ cos - ρsin θ sin = b. 6 6 即 3x- y- 2b=0. 该方程即为直线 l 的直角坐标方程.

(2)由 (1)知,曲线 C 是以 (2, 0)为圆 心,半径为 2 的上半圆(含(0, 0), (4,0)点 ),直线 l 为倾斜角为 60° 的直线系,如图.当且仅当直线 l 经过坐标原点时,记该直线为 l0,l0 与 C 有两个交点 O, A,此时满足 直线 l 与曲线 C 相交于两点,且弦长最大.由∠ AOC= 60° , 知△ AOC 为等边三角形. π? ? ∴ O, A 的极坐标分别为 O(0, 0)(0≤ θ<2π ), A 2, , 3? ? ∴ |OA|= 2.

1. (2015· 苏州模拟)在极坐标系下,已知圆 O: ρ = cos θ + π? 2 ? sin θ 和直线 l: ρsin θ - = . 4? 2 ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈ (0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.

解:(1)圆 O:ρ= cos θ + sin θ ,即 ρ2= ρcos θ + ρsin θ , 圆 O 的直角坐标方程为: x2+ y2= x+ y, 即 x2+ y2- x- y= 0, π? 2 ? 直线 l: ρsin θ - = ,即 ρsin θ - ρcos θ = 1, 4? 2 ? 直线 l 的直角坐标方程为: y- x=1,即 x- y+ 1= 0.
? ?x + y -x- y=0, ? ?x=0, (2)由? 得? 故直线 l 与圆 O 公共点的 ?x- y+ 1= 0 ?y= 1, ? ?
2 2

π? ? 一个极坐标为 1, . 2? ?

2.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 π? ? 立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ - = 1, M, 3? ? N 分别为 C 与 x 轴、 y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M, N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

π? ? 解:(1)由 ρcos θ - =1 得 3? ? 1 3 ρ ? cos θ + sin θ ?= 1. ?2 2 ? 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y= 1, 2 2

即 x+ 3y= 2. 当 θ= 0 时, ρ = 2,所以 M(2, 0). π 2 3 2 3 π? ? 当 θ= 时,ρ = ,所以 N , . 2 3 ? 3 2? (2)M 点的直角坐标为 (2,0). 2 3? N 点的直角坐标为?0, . ? 3 ? 3? ? 所以 P 点的直角坐标为 1, , ? 3? 2 3 π? 则 P 点的极坐标为? , 所以直线 OP 的极坐标方程为 , ? 3 6? π θ= (ρ ∈ R). 6

3. 如图,点 A 在直线 x= 4 上移动,△ OPA 为等腰直角三角 形, △ OPA 的顶角为∠ OPA(O, P, A 依次按顺时针方向排列), 求点 P 的轨迹方程,并判断轨迹形状.

解:取 O 为极点,x 正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线 x =4 的极坐标方程为 ρcos θ = 4,设 A(ρ0,θ 0),P(ρ,θ ). ∵点 A 在直线 ρcos θ = 4 上.

∴ ρ 0cos θ0= 4.① π ∵△ OPA 为等腰直角三角形,且∠ OPA= , 2 π 而 |OP|= ρ, |OA|= ρ0,以及∠ POA= . 4 π ∴ ρ 0= 2ρ ,且 θ0= θ- .② 4 把②代入①,得点 P 的轨迹的极坐标方程为 π? ? 2ρ cos θ - = 4. 4? ?

π? ? 由 2ρ cos θ - = 4 得 ρ(cos θ + sin θ )=4. 4? ? ∴点 P 的轨迹的普通方程为 x+ y=4,是过点 (4,0)且倾斜角 3π 为 的直线. 4

考点二

距离、面积与最值问题

x 2 y2 (2014· 高考课标全国卷Ⅰ, 10 分)已知曲线 C: + = 1, 4 9
? ?x=2+ t, 直线 l:? (t 为参数 ). ? ?y= 2- 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于 点 A,求 |PA|的最大值与最小值.

? ?x=2cos θ , [解 ] (1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数 ). ? ?y= 3sin θ

直线 l 的普通方程为 2x+ y- 6=0. 5 (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ , 3sin θ )到 l 的距离为 d= 5 |4cos θ + 3sin θ -6|, d 2 5 则 |PA|= = |5sin(θ+ α)-6|, 其中 α 为锐角, 且 tan 5 sin 30° 4 α = . 3

22 5 当 sin(θ+α)=-1 时, |PA|取得最大值,最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5

[名师点评 ] 求极坐标与参数方程中最值问题的三个策略 (1)曲线方程上的点用参数方程表示;直线用普通方程表示;利 用相关距离公式将目标转化为求以参数为变量的函数的最值; (2)当曲线是圆时,数形结合更快捷方便; (3)利用直线参数方程中参数的几何意义时,需特别注意方向性.

以直角坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 C: ρ=
? ?x=2+ t ? (t 为参数 ), ?y= 2- 2t ?

6 2 13+ 5cos 2θ

,直线 l:

(1)求 C 的直角坐标方程与 l 的极坐标方程; (2)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,并求曲线 C 上的点到直 线 l 的距离 d 的范围.

解:

(1)由 ρ=

6 2 13+ 5cos 2θ



ρ 2(18- 10sin2θ )= 72, ∴ 18x2+ 8y2=72, x 2 y2 ∴ + =1,即为曲线 C 的直角坐标方程. 4 9
? ?x=2+ t 由? 得 2x+ y-6= 0, ? ?y= 2- 2t

即有 2ρcos θ + ρsin θ - 6= 0, 这就是直线 l 的极坐标方程.

x 2 y2 (2)将 y=6-2x 代入 + = 1 得 4 9 25x2-96x+108=0, Δ =(-96)2- 4× 25×108=- 1 584<0, 故直线 l 与曲线 C 没有交点,所以直线 l 与曲线 C 相离. 设曲线 C 上的点 P(2cos θ , 3sin θ ),且点 P 到 l 的距离为 d, |4cos θ + 3sin θ -6| |5sin( θ+ φ)- 6| 则 d= = , 5 5 4 其中 φ 为锐角, tan φ = , 3

∵-1≤ sin(θ+ φ)≤ 1, ∴- 11≤ 5sin(θ+ φ)-6≤- 1, 1 11 5 11 5 ? ∴ ≤ d≤ ,即 d 的取值范围为? , . ?5 5 ? 5 5

?x= 3cos φ 1.已知曲线 C1 的参数方程是 C1:? (φ 为参数), ?y= 4sin φ
以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=a(a>0),直线 l 的极坐标方程是 π? ? ρsin θ + = 1,曲线 C2 与直线 l 有两交点 A, B. 3? ? (1)求 C2 与 l 的普通方程,并求 a 的取值范围; (2)设 P 为 C1 上任意一点,当 a= 2 时,求△PAB 面积的最大 值.

解:(1)由 ρ= a(a>0)得 ρ2=a2,即 C2 的普通方程为 x2+ y2 = a2. π? ? 由 ρsin θ + = 1 得 3? ? 1 3 ρ sin θ + ρ cos θ = 1,即 l 的普通方程为 3x+ y- 2= 0. 2 2 因为曲线 C2 与直线 l 有两交点 A, B,所以圆心到直线的距 离 d= |- 2| ( 3) + 1
2

2

< a,

即 a 的取值范围为 (1,+∞ ).

(2)设 P( 3cos φ , 4sin φ ),当 a= 2 时, |AB|= 2 22-1=2 3, P 到直线的距离 d= |3cos φ + 4sin φ -2| |5sin( φ+ α)- 2| 7 = ≤ ,所以△ PAB 面 2 2 2 2 ( 3) + 1 1 1 7 7 3 积的最大值 S= |AB|d max= × 2 3× = . 2 2 2 2

2.已知极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线 C 的 极坐标方程为 ρ= 2(cos θ + sin θ ). (1)求 C 的直角坐标方程;

? (2)直线 l:? (t 为参数 )与曲线 C 交于 A, B 两点, 3 ?y=1+ 2 t
1 1 与 y 轴交于 E,求 + 的值. |EA| |EB|

1 x= t 2

解:(1)由 ρ= 2(cos θ + sin θ )得 ρ2=2ρsin θ + 2ρcos θ , 所以 C 的直角坐标方程为 x2+ y2-2x- 2y= 0,即 (x-1)2+ (y - 1)2=2.

? (2)将? 3 ?y=1+ 2 t
代入(x- 1)2+ (y- 1)2= 2 得 t2- t- 1= 0.

1 x= t, 2

所以 t1+ t2= 1, t1t2=- 1. 1 1 1 1 |t1-t2| ∴ + = + = |EA| |EB| |t1| |t2| |t1t2| ( t1+ t2) 2- 4t1t2 = = 5. |t1t2|

? ?x= m+ tcos α 3.已知直线 l:? (t 为参数,α ≠ kπ ,k∈ Z)经 ? ?y= tsin α

?x=2cos φ 过椭圆 C:? (φ 为参数 )的左焦点 F. ?y= 3sin φ
(1)求 m 的值; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 求 |FA|× |FB|的最小值.

?x=2cos φ x 2 y2 解:(1)∵椭圆 C:? 的普通方程为 + = 1, 4 3 ?y= 3sin φ
∴ F(-1,0)
? ?x= m+ tcos α ∵直线 l:? 的普通方程为 y=(x- m)tan α , ? ?y= tsin α

∵ α ≠kπ , k∈ Z,∴ tan α ≠ 0. ∵ 0= (- 1- m)tan α ,∴ m=-1.

? ?x=- 1+ tcos α (2)将直线的参数方程? 代入椭圆 C 的普通方 ? ?y= tsin α

x 2 y2 程 + = 1 中,并整理, 4 3 得 (3cos2α +4sin2α )t2-6tcos α - 9= 0. 设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1, t2. 9 9 则 |FA|× |FB|= |t1t2|= = , 3cos2α +4sin2 α 3+ sin2α 9 当 sin α = ± 1 时, |FA|× |FB|取最小值 . 4

考点三

曲线相交问题

(2015· 高考全国卷Ⅱ, 10 分)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1:
? ?x= tcos α , ? (t 为参数,t≠0),其中 0≤ α<π .在以 O 为极点,x ?y= tsin α ?

轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ρ= 2sin θ , C3: ρ= 2 3cos θ . (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B, 求 |AB|的最大值 .

[解 ] (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+ y2- 2y=0,曲线 C3 的 直角坐标方程为 x2+ y2-2 3x= 0.
2 2 x + y -2y= 0, ? 联立? 2 2 ?x + y -2 3x=0,

? ?x=0, 解得? 或 ? y= 0 ?

? ? 3 ?y=2.

3 x= , 2

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0, 0)和?

3 3? . ? 2 ,2 ?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ= α(ρ∈ R,ρ ≠0),其中 0≤ α< π. 因此 A 的极坐标为 (2sin α ,α ), B 的极坐标为 (2 3cos α ,α ). ∴ |AB|= |2sin α - 2 3cos α | π = 4|sin(α- )|. 3 5π ∴当 α= 时, |AB|max= 4. 6

[名师点评] 两曲线相交时, 画出其大致图象, 利用数形结合, 便于列出相关量的关系式.

? ?x=2cos φ 已知圆 C1 的参数方程为? (φ 为参数), 以坐标原点 O ?y= 2sin φ ?

为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标 π? ? 方程为 ρ= 4sin θ+ . 3? ? (1)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程 化为直角坐标方程; (2)圆 C1、 C2 是否相交?若相交, 请求出公共弦长, 若不相交, 请说明理由.

? ?x=2cos φ 解:(1)由? (φ 为参数)消去参数 φ 得圆 C1 的普通方 ? ?y= 2sin φ

程为 x2+ y2= 4. π? ? 由 ρ=4sin θ+ 得 ρ= 2sin θ + 2 3cos θ , 3? ? 从而 ρ2=2ρsin θ + 2 3ρ cos θ ,即得圆 C2 的直角坐标方 程为 x2+ y2- 2 3x-2y=0, 即 (x- 3)2+(y- 1)2=4.

(2)由 (1)可知 |C1C2|= 2,因此 0< |C1C2|< 4,所以圆 C1、C2 相 交. 因为圆 C1、 C2 的半径都为 2, 所以公共弦长为 2 22-12= 2 3.

? ?x=4+ rcos t, 1.已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数,r>0), ?y= 6+ rsin t ?

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=4sin θ . (1)设 C1 与 C2 相交于 A,B 两点,若直线 AB 将曲线 C2 的周长 平分,求 r 的值; (2)当 C1 与 C2 只有一个公共点 P 时,求点 P 的直角坐标.

? ?x=4+ rcos t, 解:(1)将? 消去参数 t,化为普通方程 (x-4)2+ ?y= 6+ rsin t ?

(y- 6)2= r2,曲线 C1 是以 C1(4, 6)为圆心,半径为 r 的圆; C2 的普通方程为 x2+ y2-4y= 0,曲线 C2 是以 C2(0,2)为圆 心,半径为 2 的圆. 由于直线 AB 将曲线 C2 的周长平分, 所以 AB 是圆 C2 的直径, 且 |C1A|= |C1B|= r, |C1C2|= 4 2, r= |C1C2|2+ 22= 6.

(2)由于 C1 与 C2 只有一个公共点 P, 所以圆 C1 与圆 C2 相切. 则直线 C1C2 的方程为 y= x+2.
? ?y= x+ 2, 由? 2 2 解得 ? ?x + y -4y= 0

?x= 2, ?x=- 2, 有? 或? .所以公共点 P 的直角坐标为 ( 2, ?y= 2+ 2 ?y= 2- 2
2+ 2)或 (- 2, 2- 2).

2.在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为

?x= 3cos α + sin α (α 为参数 ),若以直角坐标 ? 2 ? y=2 3sin α cos α - 2sin α +2
系中的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, π 2 曲线 N 的极坐标方程为 ρsin(θ+ )= t(t 为参数 ). 4 2 (1)求曲线 M 的普通方程和曲线 N 的直角坐标方程; (2)若曲线 N 与曲线 M 有公共点,求 t 的取值范围.

解:(1)由 x= 3cos α + sin α 得 x2= ( 3cos α + sin α )2 = 2cos2α + 2 3sin α cos α + 1, 所以曲线 M 可化为 y= x2-1, x∈ [- 2, 2], π 2 2 2 2 由 ρsin(θ+ )= t 得 ρ sin θ + ρ cos θ = t,所以 4 2 2 2 2 ρsin θ + ρcos θ= t,所以曲线 N 可化为 x+ y= t.

(2)若曲线 M, N 有公共点,则当直线 N 过点 (2, 3)时满足要 求,此时 t=5,并且向左下方平行移动直到相切之前总有公 共点,相切时仍然只有一个公共点,
? ?x+ y= t 2 联立? ,得 x + x-1- t= 0, 2 ? ? y = x -1

5 由 Δ =1+4(1+ t)= 0,解得 t=- . 4 5 综上可求得 t 的取值范围是- ≤ t≤5. 4

3.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

?x=1+ 3cos θ (其中 θ 为参数 ),点 M 是曲线 C1 上的动点, ? ?y= 3sin θ
→ → 点 P 在曲线 C2 上,且满足OP= 2OM. (1)求曲线 C2 的普通方程; (2)以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射 π 线 θ= 与曲线 C1, C2 分别交于 A, B 两点,求 |AB|. 3

解:(1)设 P(x,y), M(x′, y′ ),
? ?x=2x′ → → ∵OP= 2OM,∴? , ? ? y = 2 y′

?x′=1+ 3cos θ ∵点 M 在曲线 C1 上,∴? , ?y′= 3sin θ
∴ (x′- 1)2+ y′2= 3, ∴曲线 C2 的普通方程为 (x- 2)2+ y2=12.

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2- 2ρcos θ -2=0, π 将 θ= 代入得 ρ= 2, 3 π ∴ A 的极坐标为 (2, ). 3 曲线 C2 的极坐标方程为ρ 2- 4ρcos θ -8=0, π 将 θ= 代入得 ρ= 4, 3 π ∴ B 的极坐标为 (4, ). 3 ∴ |AB|= 4- 2= 2.


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