(通用版)2016年高考数学二轮复习 专题十三 选考部分 第2讲 坐标系与参数方程课件 理


专题十三 选考部分

第2讲

坐标系与参数方程

专题十三 选考部分

2016考向导航 历届高考考什么? 1.曲线方程互化与点 2015 卷Ⅰ,T23

三年真题统计 2014
卷Ⅱ,T23 卷Ⅰ,T23

2013

卷Ⅰ,T23卷

的坐标 2.距离、面积与最值
问题 3.曲线相交问题

Ⅱ,T23

卷Ⅱ,T23

专题十三 选考部分

2016会怎样考?

(1)直角坐标方程、参数方程、极坐标方程互化是高频考点
(2)求点的坐标,线段长度,面积与最值是重点

1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点, x 轴正半轴 作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单 位.设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐 标、极坐标分别为 (x, y)和(ρ,θ ),则
2 2 2 ρ = x + y , ? ? ?x= ρcos θ ,? ? ? y ?y= ρsin θ , ?tan θ = ( x≠ 0) . ? x ?

2.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0, θ 0),且极轴到此直线的角为 α,则它的 方程为: ρsin(θ- α)= ρ0sin(θ0- α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点: θ= α 或θ = π +α ; (2)直线过点 M(a, 0)(a>0)且垂直于极轴: ρcos θ = a; π? ? (3)直线过点 M b, 且平行于极轴: ρsin θ = b. ? 2?

3.圆的极坐标方程 圆心为 M(ρ0,θ 0),半径为 r 的圆的方程为:
2 ρ 2- 2ρ0ρ cos(θ- θ0)+ ρ2 - r = 0. 0

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为 r: ρ= r; (2)当圆心位于 M(r, 0),半径为 r: ρ=2rcos θ ; π? ? (3)当圆心位于 M r, ,半径为 r: ρ= 2rsin θ . 2 ? ? (4)圆心在点 A(ρ0,θ 0),半径为 r 的圆的方程为 r2= ρ2+ ρ2 0- 2ρρ0cos(θ- θ0).

4.直线的参数方程 经过点 P0(x0,y0),倾斜角为α 的直线的参数方程为
? ?x=x0+ tcos α ? (t 为参数 ). ?y= y0+ tsin α ?

→ 设 P 是直线上的任一点,则 t 表示有向线段P0P的数量
5.圆的参数方程 圆心在点 M(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为
? ?x=x0+ rcos θ , ? (θ 为参数). ?y= y0+ rsin θ ?

6.圆锥曲线的参数方程
? ?x=acos θ , x 2 y2 (1)椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)的参数方程为? (θ 为参数). a b ?y= bsin θ ?

a ? ?x= , x y cos θ (2)双曲线 2- 2= 1(a>0,b>0)的参数方程为? (θ 为 a b ? ?y=btan θ
2 2

参数).
? ?x=2pt , 2 (3)抛物线 y = 2px(p>0)的参数方程为? (t 为参数). ?y= 2pt ?
2

考点一 曲线方程互化与点的坐标

(2014· 高考课标全国卷Ⅱ,10 分)在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C π? ? 的极坐标方程为 ρ=2cos θ ,θ ∈ 0, . 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+ 2 垂 直,根据 (1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.

[解 ] (1)C 的普通方程为 (x- 1)2+ y2= 1(0≤ y≤1).
? ?x=1+ cos t, 可得 C 的参数方程为? (t 为参数,0≤ t≤π ). ? ?y= sin t

(2)设 D(1+ cos t,sin t),由 (1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为 半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直, π 所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3, t= . 3 π π? 3 3? ? ? 故 D 的直角坐标为 1+ cos , sin ,即 , . 3 3? ? ?2 2 ?

[名师点评 ]

(1)曲线方程形式的互化,必须掌握互化公式,

有时极坐标方程与参数方程要通过直角坐标的普通形式进行 转化; (2)注意数形结合方法也是快速解决三种方程转化问题的有效 方法.

? ?x=2+2cos t 已知曲线 C 的参数方程为? (t 为参数,且 0≤ t≤ ?y= 2sin t ?

π ),以直角坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐 π? ? 标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ+ = b. 6? ? (1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)当直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 有两个交点,且过两交 点的弦长最大时,求这两个交点的极坐标及此时的弦长.

? ?x=2+2cos t 解:(1)由? (0≤ t≤π )得 ? ?y= 2sin t

(x-2)2+ y2=4(0≤ x≤4,0≤y≤2), 该方程即为曲线 C 的普通方程. π? ? 由 ρcos θ + = b 得, 6? ? π π ρ cos θ cos - ρsin θ sin = b. 6 6 即 3x- y- 2b=0. 该方程即为直线 l 的直角坐标方程.

(2)由 (1)知,曲线 C 是以 (2, 0)为圆 心,半径为 2 的上半圆(含(0, 0), (4,0)点 ),直线 l 为倾斜角为 60° 的直线系,如图.当且仅当直线 l 经过坐标原点时,记该直线为 l0,l0 与 C 有两个交点 O, A,此时满足 直线 l 与曲线 C 相交于两点,且弦长最大.由∠ AOC= 60° , 知△ AOC 为等边三角形. π? ? ∴ O, A 的极坐标分别为 O(0, 0)(0≤ θ<2π ), A 2, , 3? ? ∴ |OA|= 2.

1. (2015· 苏州模拟)在极坐标系下,已知圆 O: ρ = cos θ + π? 2 ? sin θ 和直线 l: ρsin θ - = . 4? 2 ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈ (0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.

解:(1)圆 O:ρ= cos θ + sin θ ,即 ρ2= ρcos θ + ρsin θ , 圆 O 的直角坐标方程为: x2+ y2= x+ y, 即 x2+ y2- x- y= 0, π? 2 ? 直线 l: ρsin θ - = ,即 ρsin θ - ρcos θ = 1, 4? 2 ? 直线 l 的直角坐标方程为: y- x=1,即 x- y+ 1= 0.
? ?x + y -x- y=0, ? ?x=0, (2)由? 得? 故直线 l 与圆 O 公共点的 ?x- y+ 1= 0 ?y= 1, ? ?
2 2

π? ? 一个极坐标为 1, . 2? ?

2.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 π? ? 立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ - = 1, M, 3? ? N 分别为 C 与 x 轴、 y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M, N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

π? ? 解:(1)由 ρcos θ - =1 得 3? ? 1 3 ρ ? cos θ + sin θ ?= 1. ?2 2 ? 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y= 1, 2 2

即 x+ 3y= 2. 当 θ= 0 时, ρ = 2,所以 M(2, 0). π 2 3 2 3 π? ? 当 θ= 时,ρ = ,所以 N , . 2 3 ? 3 2? (2)M 点的直角坐标为 (2,0). 2 3? N 点的直角坐标为?0, . ? 3 ? 3? ? 所以 P 点的直角坐标为 1, , ? 3? 2 3 π? 则 P 点的极坐标为? , 所以直线 OP 的极坐标方程为 , ? 3 6? π θ= (ρ ∈ R). 6

3. 如图,点 A 在直线 x= 4 上移动,△ OPA 为等腰直角三角 形, △ OPA 的顶角为∠ OPA(O, P, A 依次按顺时针方向排列), 求点 P 的轨迹方程,并判断轨迹形状.

解:取 O 为极点,x 正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线 x =4 的极坐标方程为 ρcos θ = 4,设 A(ρ0,θ 0),P(ρ,θ ). ∵点 A 在直线 ρcos θ = 4 上.

∴ ρ 0cos θ0= 4.① π ∵△ OPA 为等腰直角三角形,且∠ OPA= , 2 π 而 |OP|= ρ, |OA|= ρ0,以及∠ POA= . 4 π ∴ ρ 0= 2ρ ,且 θ0= θ- .② 4 把②代入①,得点 P 的轨迹的极坐标方程为 π? ? 2ρ cos θ - = 4. 4? ?

π? ? 由 2ρ cos θ - = 4 得 ρ(cos θ + sin θ )=4. 4? ? ∴点 P 的轨迹的普通方程为 x+ y=4,是过点 (4,0)且倾斜角 3π 为 的直线. 4

考点二

距离、面积与最值问题

x 2 y2 (2014· 高考课标全国卷Ⅰ, 10 分)已知曲线 C: + = 1, 4 9
? ?x=2+ t, 直线 l:? (t 为参数 ). ? ?y= 2- 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于 点 A,求 |PA|的最大值与最小值.

? ?x=2cos θ , [解 ] (1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数 ). ? ?y= 3sin θ

直线 l 的普通方程为 2x+ y- 6=0. 5 (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ , 3sin θ )到 l 的距离为 d= 5 |4cos θ + 3sin θ -6|, d 2 5 则 |PA|= = |5sin(θ+ α)-6|, 其中 α 为锐角, 且 tan 5 sin 30° 4 α = . 3

22 5 当 sin(θ+α)=-1 时, |PA|取得最大值,最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5

[名师点评 ] 求极坐标与参数方程中最值问题的三个策略 (1)曲线方程上的点用参数方程表示;直线用普通方程表示;利 用相关距离公式将目标转化为求以参数为变量的函数的最值; (2)当曲线是圆时,数形结合更快捷方便; (3)利用直线参数方程中参数的几何意义时,需特别注意方向性.

以直角坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 C: ρ=
? ?x=2+ t ? (t 为参数 ), ?y= 2- 2t ?

6 2 13+ 5cos 2θ

,直线 l:

(1)求 C 的直角坐标方程与 l 的极坐标方程; (2)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,并求曲线 C 上的点到直 线 l 的距离 d 的范围.

解:

(1)由 ρ=

6 2 13+ 5cos 2θ



ρ 2(18- 10sin2θ )= 72, ∴ 18x2+ 8y2=72, x 2 y2 ∴ + =1,即为曲线 C 的直角坐标方程. 4 9
? ?x=2+ t 由? 得 2x+ y-6= 0, ? ?y= 2- 2t

即有 2ρcos θ + ρsin θ - 6= 0, 这就是直线 l 的极坐标方程.

x 2 y2 (2)将 y=6-2x 代入 + = 1 得 4 9 25x2-96x+108=0, Δ =(-96)2- 4× 25×108=- 1 584<0, 故直线 l 与曲线 C 没有交点,所以直线 l 与曲线 C 相离. 设曲线 C 上的点 P(2cos θ , 3sin θ ),且点 P 到 l 的距离为 d, |4cos θ + 3sin θ -6| |5sin( θ+ φ)- 6| 则 d= = , 5 5 4 其中 φ 为锐角, tan φ = , 3

∵-1≤ sin(θ+ φ)≤ 1, ∴- 11≤ 5sin(θ+ φ)-6≤- 1, 1 11 5 11 5 ? ∴ ≤ d≤ ,即 d 的取值范围为? , . ?5 5 ? 5 5

?x= 3cos φ 1.已知曲线 C1 的参数方程是 C1:? (φ 为参数), ?y= 4sin φ
以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=a(a>0),直线 l 的极坐标方程是 π? ? ρsin θ + = 1,曲线 C2 与直线 l 有两交点 A, B. 3? ? (1)求 C2 与 l 的普通方程,并求 a 的取值范围; (2)设 P 为 C1 上任意一点,当 a= 2 时,求△PAB 面积的最大 值.

解:(1)由 ρ= a(a>0)得 ρ2=a2,即 C2 的普通方程为 x2+ y2 = a2. π? ? 由 ρsin θ + = 1 得 3? ? 1 3 ρ sin θ + ρ cos θ = 1,即 l 的普通方程为 3x+ y- 2= 0. 2 2 因为曲线 C2 与直线 l 有两交点 A, B,所以圆心到直线的距 离 d= |- 2| ( 3) + 1
2

2

< a,

即 a 的取值范围为 (1,+∞ ).

(2)设 P( 3cos φ , 4sin φ ),当 a= 2 时, |AB|= 2 22-1=2 3, P 到直线的距离 d= |3cos φ + 4sin φ -2| |5sin( φ+ α)- 2| 7 = ≤ ,所以△ PAB 面 2 2 2 2 ( 3) + 1 1 1 7 7 3 积的最大值 S= |AB|d max= × 2 3× = . 2 2 2 2

2.已知极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线 C 的 极坐标方程为 ρ= 2(cos θ + sin θ ). (1)求 C 的直角坐标方程;

? (2)直线 l:? (t 为参数 )与曲线 C 交于 A, B 两点, 3 ?y=1+ 2 t
1 1 与 y 轴交于 E,求 + 的值. |EA| |EB|

1 x= t 2

解:(1)由 ρ= 2(cos θ + sin θ )得 ρ2=2ρsin θ + 2ρcos θ , 所以 C 的直角坐标方程为 x2+ y2-2x- 2y= 0,即 (x-1)2+ (y - 1)2=2.

? (2)将? 3 ?y=1+ 2 t
代入(x- 1)2+ (y- 1)2= 2 得 t2- t- 1= 0.

1 x= t, 2

所以 t1+ t2= 1, t1t2=- 1. 1 1 1 1 |t1-t2| ∴ + = + = |EA| |EB| |t1| |t2| |t1t2| ( t1+ t2) 2- 4t1t2 = = 5. |t1t2|

? ?x= m+ tcos α 3.已知直线 l:? (t 为参数,α ≠ kπ ,k∈ Z)经 ? ?y= tsin α

?x=2cos φ 过椭圆 C:? (φ 为参数 )的左焦点 F. ?y= 3sin φ
(1)求 m 的值; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 求 |FA|× |FB|的最小值.

?x=2cos φ x 2 y2 解:(1)∵椭圆 C:? 的普通方程为 + = 1, 4 3 ?y= 3sin φ
∴ F(-1,0)
? ?x= m+ tcos α ∵直线 l:? 的普通方程为 y=(x- m)tan α , ? ?y= tsin α

∵ α ≠kπ , k∈ Z,∴ tan α ≠ 0. ∵ 0= (- 1- m)tan α ,∴ m=-1.

? ?x=- 1+ tcos α (2)将直线的参数方程? 代入椭圆 C 的普通方 ? ?y= tsin α

x 2 y2 程 + = 1 中,并整理, 4 3 得 (3cos2α +4sin2α )t2-6tcos α - 9= 0. 设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1, t2. 9 9 则 |FA|× |FB|= |t1t2|= = , 3cos2α +4sin2 α 3+ sin2α 9 当 sin α = ± 1 时, |FA|× |FB|取最小值 . 4

考点三

曲线相交问题

(2015· 高考全国卷Ⅱ, 10 分)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1:
? ?x= tcos α , ? (t 为参数,t≠0),其中 0≤ α<π .在以 O 为极点,x ?y= tsin α ?

轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ρ= 2sin θ , C3: ρ= 2 3cos θ . (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B, 求 |AB|的最大值 .

[解 ] (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+ y2- 2y=0,曲线 C3 的 直角坐标方程为 x2+ y2-2 3x= 0.
2 2 x + y -2y= 0, ? 联立? 2 2 ?x + y -2 3x=0,

? ?x=0, 解得? 或 ? y= 0 ?

? ? 3 ?y=2.

3 x= , 2

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0, 0)和?

3 3? . ? 2 ,2 ?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ= α(ρ∈ R,ρ ≠0),其中 0≤ α< π. 因此 A 的极坐标为 (2sin α ,α ), B 的极坐标为 (2 3cos α ,α ). ∴ |AB|= |2sin α - 2 3cos α | π = 4|sin(α- )|. 3 5π ∴当 α= 时, |AB|max= 4. 6

[名师点评] 两曲线相交时, 画出其大致图象, 利用数形结合, 便于列出相关量的关系式.

? ?x=2cos φ 已知圆 C1 的参数方程为? (φ 为参数), 以坐标原点 O ?y= 2sin φ ?

为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标 π? ? 方程为 ρ= 4sin θ+ . 3? ? (1)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程 化为直角坐标方程; (2)圆 C1、 C2 是否相交?若相交, 请求出公共弦长, 若不相交, 请说明理由.

? ?x=2cos φ 解:(1)由? (φ 为参数)消去参数 φ 得圆 C1 的普通方 ? ?y= 2sin φ

程为 x2+ y2= 4. π? ? 由 ρ=4sin θ+ 得 ρ= 2sin θ + 2 3cos θ , 3? ? 从而 ρ2=2ρsin θ + 2 3ρ cos θ ,即得圆 C2 的直角坐标方 程为 x2+ y2- 2 3x-2y=0, 即 (x- 3)2+(y- 1)2=4.

(2)由 (1)可知 |C1C2|= 2,因此 0< |C1C2|< 4,所以圆 C1、C2 相 交. 因为圆 C1、 C2 的半径都为 2, 所以公共弦长为 2 22-12= 2 3.

? ?x=4+ rcos t, 1.已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数,r>0), ?y= 6+ rsin t ?

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=4sin θ . (1)设 C1 与 C2 相交于 A,B 两点,若直线 AB 将曲线 C2 的周长 平分,求 r 的值; (2)当 C1 与 C2 只有一个公共点 P 时,求点 P 的直角坐标.

? ?x=4+ rcos t, 解:(1)将? 消去参数 t,化为普通方程 (x-4)2+ ?y= 6+ rsin t ?

(y- 6)2= r2,曲线 C1 是以 C1(4, 6)为圆心,半径为 r 的圆; C2 的普通方程为 x2+ y2-4y= 0,曲线 C2 是以 C2(0,2)为圆 心,半径为 2 的圆. 由于直线 AB 将曲线 C2 的周长平分, 所以 AB 是圆 C2 的直径, 且 |C1A|= |C1B|= r, |C1C2|= 4 2, r= |C1C2|2+ 22= 6.

(2)由于 C1 与 C2 只有一个公共点 P, 所以圆 C1 与圆 C2 相切. 则直线 C1C2 的方程为 y= x+2.
? ?y= x+ 2, 由? 2 2 解得 ? ?x + y -4y= 0

?x= 2, ?x=- 2, 有? 或? .所以公共点 P 的直角坐标为 ( 2, ?y= 2+ 2 ?y= 2- 2
2+ 2)或 (- 2, 2- 2).

2.在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为

?x= 3cos α + sin α (α 为参数 ),若以直角坐标 ? 2 ? y=2 3sin α cos α - 2sin α +2
系中的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, π 2 曲线 N 的极坐标方程为 ρsin(θ+ )= t(t 为参数 ). 4 2 (1)求曲线 M 的普通方程和曲线 N 的直角坐标方程; (2)若曲线 N 与曲线 M 有公共点,求 t 的取值范围.

解:(1)由 x= 3cos α + sin α 得 x2= ( 3cos α + sin α )2 = 2cos2α + 2 3sin α cos α + 1, 所以曲线 M 可化为 y= x2-1, x∈ [- 2, 2], π 2 2 2 2 由 ρsin(θ+ )= t 得 ρ sin θ + ρ cos θ = t,所以 4 2 2 2 2 ρsin θ + ρcos θ= t,所以曲线 N 可化为 x+ y= t.

(2)若曲线 M, N 有公共点,则当直线 N 过点 (2, 3)时满足要 求,此时 t=5,并且向左下方平行移动直到相切之前总有公 共点,相切时仍然只有一个公共点,
? ?x+ y= t 2 联立? ,得 x + x-1- t= 0, 2 ? ? y = x -1

5 由 Δ =1+4(1+ t)= 0,解得 t=- . 4 5 综上可求得 t 的取值范围是- ≤ t≤5. 4

3.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

?x=1+ 3cos θ (其中 θ 为参数 ),点 M 是曲线 C1 上的动点, ? ?y= 3sin θ
→ → 点 P 在曲线 C2 上,且满足OP= 2OM. (1)求曲线 C2 的普通方程; (2)以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射 π 线 θ= 与曲线 C1, C2 分别交于 A, B 两点,求 |AB|. 3

解:(1)设 P(x,y), M(x′, y′ ),
? ?x=2x′ → → ∵OP= 2OM,∴? , ? ? y = 2 y′

?x′=1+ 3cos θ ∵点 M 在曲线 C1 上,∴? , ?y′= 3sin θ
∴ (x′- 1)2+ y′2= 3, ∴曲线 C2 的普通方程为 (x- 2)2+ y2=12.

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2- 2ρcos θ -2=0, π 将 θ= 代入得 ρ= 2, 3 π ∴ A 的极坐标为 (2, ). 3 曲线 C2 的极坐标方程为ρ 2- 4ρcos θ -8=0, π 将 θ= 代入得 ρ= 4, 3 π ∴ B 的极坐标为 (4, ). 3 ∴ |AB|= 4- 2= 2.


相关文档

2016高考数学理(全国通用)二轮复习课件专题13 坐标系与参数方程
2016届高考数学(理)二轮复习专题课件:专题13 选考部分 第2讲 坐标系与参数方程(全国通用)
2017版高考数学一轮复习 第十三章 选考部分 第3讲 坐标系与参数方程课件 理
2016年高考数学二轮复习坐标系与参数方程-课件
【大高考】(全国通用)高考数学复习 第十三章 坐标系与参数方程课件 理
(新课标)2019届高考数学一轮复习第十三章选考内容13.1坐标系与参数方程课件理
核按钮(新课标)2019高考数学一轮复习第十三章选考内容13.2坐标系与参数方程课件文
2016年高考数学总复习 第十章 第3讲 坐标系与参数方程课件 理
2017届高考数学一轮复习 选考部分 第十三篇 坐标系与参数方程 第1节 坐标系课件 文 北师大版
(全国通用)2016届高考数学复习 第十三章 坐标系与参数方程课件 文
电脑版
?/a>