2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.3空间向量运算的坐标表示训练案北师大版选修2_1


2.3.3 空间向量运算的坐标表示 [A. 基础达标 ] 1.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 A(1 , 2, 2) , B(2 ,- 2, 1) ,则 | AB| =( ) A. 18 B. 12 O,球面上有两个点 A,B 的坐标分别为 C. 3 2 D. 2 3 解析:选 C. →AB= (1 ,- 4,- 1) , | AB| = | A→B| = 12+(- 4) 2+(- 1) 2= 3 2. 2. 若 ABCD为平行四边形,且 A(4 , 1, 3) ,B(2 ,- 5, 1) , C( - 3, 7,- 5) ,则顶点 D 的坐标为 ( ) 7 A. 2, 4,- 1 B. (2 , 3,1) C. ( -3, 1, 5) D. ( - 1, 13,- 3) 解析:选 D. 设 D( x,y,z) ,因为 A→B= D→C,所以 ( - 2,- 6,- 2) = ( - 3- x, 7-y,- 5 -z) , - 2=- 3-x, x=- 1, 所以 - 6= 7- y, 所以 y= 13, - 2=- 5-z, z=- 3. 3.已知 a= (cos α , 1,sin α ) ,b=(sin α, 1, cos α ) ,则向量 a+ b 与 a- b 的 夹角是 ( ) A.0° B.60° C.30° 解析:选 =0, D.90° D. 因为 ( a+ b) ·(a-b) = a2 - b2= cos 2α + 1+ sin 2 α - (sin 2 2 α + 1+ cos α ) 所以 cos 〈 a+b,a- b〉= 0, 所以〈 a+ b, a-b〉= 90°. 4.已知向量 a= (1 , 1, 0) , b= (0 , 1,1) , c= (1 , 0, 1) , d= (1 ,0,- 1) ,则其中 共面的三个向量是 ( ) A. a,b, c B. a, b, d C. a,c, d D. b, c, d 解析:选 B. 因为 a= b+ d,所以 a,b,d 三向量共面. 5.若 a= (1 , λ, 2) , b= (2 ,- 1, 1) , a 与 b 的夹角为 60°,则 λ 的值为 ( ) A. 17 或- 1 B.- 17 或 1 C.- 1 D. 1 解析:选 B. a·b=4- λ, | a| = a·b 由题意得 cos 60 °= | a|| b| ,即 5+ λ 2, | b| = 6 , 4- λ 1 5+ λ 2· = 6 2, 解之得 λ = 1 或 λ =- 17. 6.已知 a= ( m+ 1, 0, 2m) , b= (6 ,0, 2) ,a∥ b,则 m的值为 ________. 解析:因为 m+ 1= 6λ , a∥b,所以 a=λ b,即 得 2m= 2λ, 1 λ = 5, 1 m= . 5 1 答案: 5 1 7.已知 a= (1 - t , 2t - 1, 0) ,b= (2 , t ,t ) ,t ∈ R,则 | b-a| 的最小值为 ________. 解析:因为 b-a=(1 + t , 1- t , t ) , 所以 | b- a| = ( b- a)·( b- a)= 3t 2+ 2≥ 2. 答案: 2 8.与 a= (2 ,- 1, 2) 共线且满足 a· x=- 18 的向量 x= ________. 解析:因为 a∥x ,所以 x=λ a= (2 λ ,- λ ,2λ ) , 所以 a· x=2·2λ+ ( -1) ·( - λ ) +2·2λ= 9λ =- 18,得 λ=- 2,故 x= ( - 4, 2,- 4) . 答案: ( - 4, 2,- 4) 9.已知在△ ABC中, A(2 ,- 5, 3) ,A→B= (4 , 1, 2) , B→C= (3 ,- 2,5) ,求顶点 B, C 的坐标,向量 C→A及∠ A的余弦值. 解:设 B, C两点的坐标分别为 ( x, y, z) ,( x1, y1, z1) . 因为 →AB= (4 , 1, 2) , x- 2= 4, x=6, 所以 y+ 5= 1,解得 y=- 4, z- 3= 2. z=5. 所以 B点坐标为 (6 ,- 4, 5) . 因为 →BC= (3 ,- 2, 5) , x1- 6= 3, x1= 9, 所以 y1+ 4=- 2, 解得 y1=- 6, z1- 5= 5. z1= 10. 所以 C点坐标为 (9 ,- 6, 10) . 所以 →AC= (7 ,- 1, 7) ,C→A= ( - 7, 1,- 7) . A→C· A→B 28- 1+14 所以 cos A= | A→C|| A→B| = 99× 21 41 41 231 = = 3 231 693 . 10. 如图,在空间直角坐标系中, BC= 2,原点 O 是 BC的中点,点 A 的坐标是 31 2 , 2, 0 ,点 D在平面 yOz上,且∠ BDC=90°,∠DCB=30°. (1) 求向量 O→D的坐标; (2) 设向量 A→D和B→C的夹角为 θ ,求 cos θ 的值. 解: (1) 如图所示,过 D作 DE⊥ BC,垂足为 E,在 Rt △ BDC中,由∠ BDC=90°,∠ DCB =30°, BC= 2,得 BD= 1, CD= 3. 3 所以 DE= CD·sin 30 °= . 2 11 OE= OB- BD·cos 60 °= 1- 2= 2, 13 所以 D点坐标为 0,- 2, 2 , 即向量 O→D的坐标为 13 0,- 2, 2 . (2) 依题意知 →OA= 23,12, 0 ,

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