两条异面直线所成的角和距离教案


两条异面直线所成的角和距离教案

北京师大二附中 古永喜

教学目标 1.运用类比推理,理解引入有关概念的必要性、重要性; 2.理解、掌握有关概念的定义,并会初步应用有关概念的定义来解题. 教学重点和难点 这节课的重点与难点都是异面直线所成的角和距离这两个概念的引入, 和使 学生真正地理解、掌握这两个概念. 教学设计过程 一、引入有关概念的必要性 师:我们都知道空间的两直线的位置关系有三种:相交、平行、异面.这只 是“定性”来研究对象,当我们要“定量”来研究对象时就必需要引入一些有关 的新概念. (这时教师拿出两根小棍做平行直线演示并说) 例如 a∥b, c∥d(如图 1),虽然它们都是平行直线,但是它们之间有什 么区别呢?

生:虽然它们都是平行直线,但是它们的之间的距离不同. 师:对,为了区别都是平行直线的不同情况,也就是说为了“定量”的研究 平行直线,就必须引入有关“距离”这个概念.

(这时教师又拿出两根小棍做相交直线,并且使其角度各有不同,并说) 师:又例如 a 与 b 是相交直线,c 与 d 也是相交直线(如图 2).虽然它们 都是相交直线,但是它们之间有什么区别呢?

生:虽然它们都是相交直线,但是它们的夹角大小不同. 师:对,为了区别两相交直线的不同情况,也就是说为了“定量”的研究相 交直线就必须引入有关“角”的概念. (这时教师又拿出两根小棍做异面直线状, 并变动其距离的大小演示给学生 看,让其观察后,得出相应的结论) 师: 直线 a, 是异面直线, b 直线 c, 也是异面直线, d 它们之间有什么不同? 生:虽然它们都是异面直线,但是它们之间的距离不同. (这时教师又拿出两根小棍做异面直线状, 并变动其所成角的大小演示给学 生看,让其观察后,得出相应的结论) 师: 直线 a, 是异面直线, b 直线 c, 也是异面直线, d 它们之间有什么不同? 生:虽然它们都是异面直线,但是它们之间所成的角大小不同. 师:对,通过观察我们可以发现为了“定量”的研究异面直线,必须引入异 面直线所成的角和异面直线的距离这两个概念. 下面我们先来研究异面直线所成 的角这个概念的定义. 二、异面直线所成的角的定义 (教师拿出两根小棍做异面直线状,演示给学生看,使其观察如何给异面直 线所成的角下定义) 师:我们来看这模型,怎样给异面直线 a、b 所成的角下定义? 生:可以把直线 a 平移与 b 相交,这时由 a 平移而得的 a′与 b 相交所成的 角,就可以定义为异面直线 a 与 b 所成的角.

师:对,但是为了使这个定义更有一般性,我们给异面直线所成的角做如下 的定义. b 经过空间任意一点 O, 分别引直线 a′∥a, b′ 定义 直线 a, 是异面直线, ∥b,我们把直线 a′和 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的 角.(如图 3)

师:由定义来看,O 是空间中任意一点,当然我也可以在空间任意取一点 O1, 过 O1 分别引 a1∥a,b1∥b,那么这时 a1 和 b1 所成的锐角与 a′和 b′所成的锐角 是否相等呢? 生:相等,因为有等角定理的推论“如果两条相交直线和另两条相交直线分 别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等”.因为 a′∥a,a1∥a 可 推出 a′∥a1,同理可推出 b′∥b1,所以可用等角定理的推论. 师:对,我们在上两节课讲的公理 4 和等角定理,在某种意义来说都是为给 异面直线所成的角下定义做理论上的准备,正因为角的大小与 O 点的选择无关, 所以为了简便,点 O 常取在两条异面直线中的一条上,所以你们一开始给异面直 线所成的角下的定义是对的. 师:我们如何给两条异面直线互相垂直下定义呢? 生: 如果两条异面直线所成的角是直角, 我们就说这两条异面直线互相垂直. 师:设两条异面直线所成的角为θ,问θ角的取值范围? 生:θ∈(0°,90°],半开、半闭区间. 师:θ角能否等于 0°.

生:不能,因为当θ=0°时,异面直线就转化为平行直线. 师:对,θ≠0°,否则,量变就转化为质变,异面直线就转化为平行直线 了. 至于异面直线所成的角规定为锐角或直角, 则是为了所成的角是唯一确定的. 三、练习 例 正方形 ABCD-A1B1C1D1.求:

(1)A1B 与 CC1 所成的角是多少度?为什么? (2)A1B1 与 CC1 所成的角是多少度?为什么? (3)A1C1 与 BC 所成的角是多少度?为什么? (4)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱中,与棱 B1B 垂直的棱有几条?(如图 4)

师:请你们依次回答上述的四个问题. 生:(1)因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,CC1∥BB1,所以 A1B 与 CC1 所成的角 为∠B1BA1,而∠B1BA1=45°,所以 A1B 与 CC1 所成的角为 45°. 师:请回答第(2)问. 生:因为 CC1∥BB1,所以 A1B1 与 CC1 所成的角为∠BB1A1,而∠BB1A1=90°,所 以 A1B1 与 CC1 所成的角为 90°. 师:请回答第(3)问. 生:因为 BC∥B1C1,所以 A1C1 与 BC 所成的角就是∠B1C1A1,而∠B1C1A1=45°, 所以 A1C1 与 BC 所成的角为 45°. 师:请回答第(4)问.

生:与棱 B1B 垂直的棱有 8 条. 师:有哪几条是与 B1B 相交垂直?有哪几条是与 B1B 异面垂直? 生:与 B1B 相交垂直的棱有 4 条,为 AB,A1B1,BC,B1C1;与 B1B 异面垂直的 棱也有 4 条,为 AD,A1D1,CD,C1D1. 师:对.这里我们需要指出,在立体几何中. “垂直”、 “相交垂直”、 “异 面垂直”这三个不同概念的联系和区别.以后我们讲两直线垂直,则是指这两直 线可能是相交垂直,也可能是两直线异面垂直.这里我们要破除在平面几何中形 成的思维定式, 就是一说两直线垂直就是指两直线相交垂直. 而要了解: “垂直” =“相交垂直”+“异面垂直”. 四、异面直线的距离的定义 师:和两条异面直线都垂直的直线有多少条?(同时拿出两根小棍做为异面 直线 a,b,再拿出一根小棍 c 摆出与 a、b 都垂直状,而小棍 c 在保持与 a、b 都垂直的情况下可平行移动,用这样的模型让学生观察,再让学生回答) 生:有无数条. 师:对.现在再问与这两条异面直线都相交垂直的直线有几条? 生:只有一条. 师:对,由对模型的观察我们知道和两条异面直线都相交垂直的直线有而且 只有一条,现在可以给出下面两个定义. 定义 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线. 叫做两条 定义 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度, 异面直线的距离. 要注意这两个定义之间的联系与区别,公垂线是一条直线,这直线在这两条 异面直线间(两垂足间)的线段的长度是这两条异面直线的距离. 五、练习 例 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4cm,BC=3cm,B1B=2cm。求:

(1)异面直线 A1A 与 BC 的距离; (2)异面直线 A1A 与 C1D1 的距离; (3)异面直线 A1B1 与 BC 的距离.(如图 5)

师:在第(1)问中 A1A 与 BC 的距离等于多少?为什么? 生:因为 ABCD-A1B1C1D1 是长方体,AB⊥A1A 于 A,AB⊥BC 干 B.所以 AB 的长 度就是异面直线 A1A 与 BC 的距离,因为 AB=4cm,所以 A1A 与 BC 的距离为 4cm. 师:在第(2)间中,A1A 与 C1D1 的距离等于多少?为什么? 生:因为 A1D1⊥A1A 于 A1,A1D1⊥C1D1 于 D1,A1D1 的长度就是异面直线 A1A 与 C1D1 的距离,因为 A1D1=BC=3cm,所以 A1A 与 C1D1 的距离为 3cm. 师:在第(3)问中,A1B1 与 BC 的距离等于多少?为什么. 生:因为 B1B⊥A1B1 于 B1,B1B⊥BC 于 B.B1B 的长度就是异面直线 A1B1 与 BC 的 距离,因为 B1B=2cm,所以 A1B1 与 BC 的距离等于 2cm.

师:现在你们自己看课本第 15 页到第 16 页的例,看完后你们自己来讲.可 根据课本来回答. 例 设图 6 中的正方体的棱长为 a.

(1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA′成异面直线? (2)求直线 BA′和 CC′所成的角的大小; (3)求异面直线 BC 和 AA′的距离. (可根据课堂情况灵活掌握让学生看 3~5 分钟后,叫学生回答)

师:现在你们先回答第(1)问. 生:因为 A′ 且B 平面 B′BCC′,而点 B、直线 CC′都在平面 B′BCC′内,

CC′.所以直线 BA′与 CC′是异面直线. 同理,直线 C′D′,D′D,DC,AD,B′C′都和直线 BA′成异面直线. 师:刚才回答是正确的,但它们的理论根据是什么呢?

生:是根据课本第 10 页例,过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内 不经过该点的直线是异面直线. 师;对,过去我们已经讲过,课本第 10 页上的例,应该明确把它“升格” 为定理.这定理有的书上叫它为异面直线存在定理,有的书上把它叫做异面直线 判定定理.以后,我们叫这定理为异面直线判定定理.过去我们还小结过,证明 两条直线是异面直线的方法有两个,是哪两个方法. 生:一是用反证法,二是用异面直线的判定定理. 师:现在回答第(2)问. 生:因为 C′C∥BB′,所以 BA′和 BB′所成的锐角就是 BA′和 CC′所成 的角.因为∠A′BB′=45°,所以 BA′和 CC′所成的角是 45°. 师:现在回答第(3)问. 生:因为 AB⊥AA′于 A,AB⊥BC 于 B.所以 AB 是 BC 和 AA′的公垂线段, 因为 AB=a,所以 BC 和 AA′的距离是 a. 师:今天我们讲了两个很重要的概念,两条异面直线所成的角和距离,我们 一定要很好的理解、掌握这两个概念并能应用它们来解有关的题. 作业 课本第 17 页,第 9,10 两题. 补充题 1.正方体 12 条棱中,组成异面直线的对数是多少?[24] 2.空间四边形的对角线互相垂直,顺次连结这个四边形各边的中点,所得 的四边形是矩形,试证明.[提示:证有一个角是直角的平行四边形是矩形] 3.空间四边形 ABCD,AB,BC,CD 的中点分别是 P, Q 和 R,

[90°] 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AD,CD 和 CC1 的中点, 求异面直线 EF 和 GH 所成的角是多少度?[60°] 课堂教学设计说明 1.为了使学生理解引入异面直线所成的角和距离这两个概念的必要,一定 要运用类比推理的思想,从平面几何为了区别不同的平行直线要有距离的概念, 为了区别不同的相交直线要有角的概念. 这样为了区别不同的异面直线要引入异 面直线所成的角和距离就是很自然很合理的了. 一定要使学生观察模型,使他们理解两异面直线所成角的概念的定义合理 性.并且要求自己给出这个定义. 一定要使学生理解垂直、相交垂直、异面垂直这三个相互联系又相互区别的 三个概念,使学生理解与两异面直线都相交垂直的直线有且只有一条,从而给异 面直线的距离下定义做准备. 这节课引入两个新概念要用较多的时间, 所以应用这两个概念的练习要很简 单、很基本,使学生一看就会,目的是加深对概念的理解. 2.在立体几何第一章的教学中要有四个“高潮”(也可借用音乐中的一个 术语,就是要有四个华彩乐段).第一个“高潮”是在讲了异面直线所成的角和 距离以后;第二个“高潮”是在讲了三垂线定理及其逆定理以后;第三个“高潮” 是在讲了二面角及其平面角以后; 第四个 “高潮” 是在讲了两平面垂直的定义. 判 定和性质以后. 所谓“高潮”是指在这一阶段教学中,要选较多、较全的题型,要多讲几次 练习课,学生要多做些题,使学生能通过这一阶段的教学在解题的能力上有较大 的提高,也就是说在逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等跃上一个新的台 阶或者说达到一个新的层面.所以在讲了异面直线所成的角和距离这节课后,还 应安排两次练习题.为了节省篇幅,我们把第一节练习课的提纲写在下面. 3.第一节练习课提纲 例 1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (1)求 AD1 与 B1B 所成的角是多少度? (45°) (2)问与 AD1 异面,且所成的角是 45°的正方体的棱有哪几条?

(4 条即为 B1B,C1C,B1C1,BC) (3)问 AD1 与 B1C 所成的角是多少度? (90°) (4)如果 M,N 分别是 B1C1,C1C 的中点,问 MN 与 AD1 所成的角是多少度? (90°) 由第(4)问这个特殊的题,用一般化的方法得出定理:一直线垂直于平行 直线中的一条,也垂直于另一条. 例 2 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (1)求 AD1 与 A1C1 所成的角的度数? (△D1AC 为等边三角形,∠D1AC=60°) (2)如果 M,N 分别为 A1B1,B1C1 的中点,求 MN 与 BC1 所成的角的度数? (60°) (3)如果 P,Q 分别是 A1A,A1D1 的中点,求 PQ 与 MN 所成的角的度数? (60°) 例 3 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,BC=3,B1B=2.求: (1)AB 与 A1C1 所成的角的正切?

(2)A1A 与 BC1 所成的角的正弦?

(3)A1C1 与 AD1 所成的角的余弦?

这叫余弦定理,我们补充的定理.详见代数课本第 239 页二 解斜三角形中 的 3.5 余弦定理. 在讲完这三个例题后,可做如下总结. 小结 (1)以概念为指导作出异面直线所成的角; (2)找出这个角所在的三角形(直角三角形或斜三角形); (3)解这个三角形,求出所要求的角. 在求异面直线所成的角的三个步骤中,关键是第(1)步,即把空间角(异 面直线所成的角)转化为平面角,把解立体几何中的问题化归为解平面几何中的 问题. 这节课可留如下作业. (1)重做课堂练习中的例 3. (2)看代数课本第 239~242 页.余弦定理只要求记住定理和用法,定理证 明过程可略. (3)做代数课本中第 243 页练习 1(1)(2)(3)(4). 以上就是讲完异面直线所成的角和距离后第一节练习课的讲课提纲. 在这节 课中我们补充了余弦定理.在讲立体几何第一章中要不要提前补充余弦定理.在 什么时候补充余弦定理,下面就谈一下自己在教学实践中的想法. 4.对补充余弦定理想法

余弦定理本来是初中的教材,在立体几何第一章的教学中不存在补充的问 题.现在的教材把余弦定理放在高一的下半学期才讲,这就出现了在立体几何第 一章的教学中要不要补充余弦定理的问题. 从理论上来说,求异面直线所成角的问题都要归结到解三角形的问题.而解 直角三角形的问题一般来说都比较简单,达不到提高学生解题能力的目的.而要 解斜三角形,一般来说就要用到余弦定理,所以余弦定理是我们在解立体几何有 关问题时思维链条中不可缺少的一个环节,所以一定要补上这一环,否则学生的 解题能力很难提高. 从实践上来说,1994 年我从北京师大二附中退休后一直在教学第一线上工 作.从 1996 年到 1999 年都在北京第九十二中教立体几何就补充了余弦定理,而 且就是讲了异面直线所成的角以后补充.从教学实践的效果来看,学生完全能够 理解,掌握余弦定理,并利用余弦定理来求异面直线所成的角.用一句通俗的话 来说“过了这一村,就没有这个店”.错过了在这个时候补充余弦定理,并用余 弦定理来求异面直线所成的角的机会, 以后就很难有适当的机会再来解这些类型 的题. 当然,以上的一些想法只是个人在教学中的体会,提出来仅供老师们参考.


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