数学人教A版必修四 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 上课课件_图文


1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 课前预习 课堂互动 课堂反馈 学习目标 1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会 求简单三角函数的值域和最值(重点).2.掌握y=sin x,y=cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小(重、难点).3.会求函数y= Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间(重点). 课前预习 课堂互动 课堂反馈 预习教材 P37-38 完成下面问题: 知识点 正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数 图象 值域 [-1,1] __________ 余弦函数 [-1,1] __________ 课前预习 课堂互动 课堂反馈 正弦函数 余弦函数 π π [-π+2kπ,2kπ] 在___________________ [ - + 2 k π , + 2 k π] 在_________________ (k∈Z) 2 2 单 (k∈Z)上递增,在 π 3π 调 [2+2kπ, 2 +2kπ] ________________ 上递增,在 ______________ [2kπ,π+2kπ] (k∈Z) 性 上递减 (k∈Z)上递减 π x=__________ (k∈Z)时ymax x=_________( + 2 k π k∈Z)时, 2kπ 2 最 π ymax=1;x=__________ π+2kπ = 1 ; x = __________ -2+2kπ (k∈Z) 值 (k∈Z)时,ymin=-1 时,y =-1 min 课前预习 课堂互动 课堂反馈 【预习评价】 1.在下列区间中,使 y=sin x 为增函数的是( A.[0,π] π π C.[-2,2] π 3π B.[2, 2 ] D.[π,2π] ) π π 解析 因为函数 y=sin x 的单增区间是[-2+2kπ,2+2kπ], π π k∈Z,故当 k=0 时,即为[-2,2],故选 C. 答案 C 课前预习 课堂互动 课堂反馈 2.函数y=2-sin x取得最大值时x的值为________. π 解析 当 sin x=-1,即 x=-2+2kπ(k∈Z)时,函数 y=2 -sin x 的最大值为 3. π 答案 -2+2kπ(k∈Z) 课前预习 课堂互动 课堂反馈 题型一 正弦函数、余弦函数的单调性 π 【例 1】 (1)下列函数,在[2,π]上是增函数的是( A.y=sin x C.y=sin 2x B.y=cos x D.y=cos 2x ) 课前预习 课堂互动 课堂反馈 解析 Z), 对于函数 y=cos 2x,令 π+2kπ≤2x≤2π+2kπ,(k∈ π 即2+kπ≤x≤π+kπ,(k∈Z), π 故 y=cos 2x 的单增区间是[2+kπ,π+kπ](k∈Z),则当 k=0 π 时为[2,π],故选 D. 答案 D 课前预习 课堂互动 课堂反馈 (2)求函数 解 ? 1 π? y=1+sin?-2x+4?, x∈[ -4π, 4π] 的单调减区间. ? ? ? 1 ?1 π? π? y=1+sin?-2x+4?=-sin?2x-4?+1. ? ? ? ? π 1 π π 由 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2(k∈Z). π 3 解得 4kπ-2≤x≤4kπ+2π(k∈Z). 又∵x∈[ -4π,4π] , 1 π ∴函数 y=1+sin(-2x+4)的单调减区间为 5π π 3π 7π [-4π,- 2 ],[-2, 2 ],[ 2 ,4π]. 课前预习 课堂互动 课堂反馈 规律方法 单调区间的求法 求形如 y = Asin(ωx + φ) 或 y = Acos(ωx + φ) 的函数的单调区 间,要先把ω化为正数, (1)当A>0时,把ωx+φ整体放入y=sin x或y=cos x的单调增 区间内,求得的x的范围即函数的增区间;放入y=sin x或y =cos x的单调减区间内,可求得函数的减区间. (2)当A<0时,把ωx+φ整体放入y=sin x或y=cos x的单调增 区间内,求得的x的范围即函数的减区间;放入y=sin x或y =cos x的单调减区间内,可求得函数的增区间. 课前预习 课堂互动 课堂反馈 提醒 求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,把ωx+φ看作 一个整体,借助 y =sin x 的单调区间来解决.当A<0或ω<0 时,要注意原函数的单调性与y=sin x的单调性的关系. 课前预习 课堂互动 课堂反馈 π 【训练 1】 求函数 f(x)=2cos(2x-6)的单调增区间. π 解 令-π+2kπ≤2x-6≤2kπ,k∈Z, 5π π 解得-12+kπ≤x≤12+kπ,k∈Z, 5π π 所以函数 f(x)的单调增区间是[-12+kπ,12+kπ](k∈Z). 课前预习 课堂互动 课堂反馈 题型二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小 【例 2】 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)sin 196° 与 cos 156° ; ? 23 ? (2)cos?- 5 π?与 ? ? ? 17 ? cos?- 4 π?. ? ? 解 (1)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°, ∵0°<16°<66°<90°,且y=sin x在[0°,90°]上是增函 数, ∴sin 16°<sin 66°; 从而-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°. 课前预习 课堂互动 课堂反馈 ? 23 ? (2)cos?- 5 π?=cos ? ? ? 17 ? cos?- 4 π?=cos ? ? 23 3 3 5 π=cos(4π+5π)

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