高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题3概率与统计第7讲回归分析独立性检验教学案理


第7讲 回归分析、独立性检验 题型 1 回归分析 (对应学生用书第 23 页) ■核心知识储备………………………………………………………………………· 1.变量的相关性 (1)正相关:在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域. (2)负相关:在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域. (3)相关系数 r:当 r>0 时,两变量正相关;当 r<0 时,两变量负相关;当|r|≤1 且 |r|越接近于 1,相关程度越高,当|r|≤1 且|r|越接近于 0,相关程度越低. 2.线性回归方程 ^ ^ ^ ^ i =1 方程y=bx+a称为线性回归方程,其中b= ?xiyi-n x i-n x ?x2 i=1 n n -- y ^ - ^- - - ,a= y -b x .( x , y )称为 2 样本中心点. ■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 (2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费, 需了解年宣传 费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响.对近 8 年的 年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些 统计量的值. 图 7?1 1 表中 wi= xi,w]= . (1)根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传 费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列 问题: ①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 【导学号:07804047】 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v=α +β u 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为 ^ ^ ,α = v -β u . [解] (1)由散点图可以判断,y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型. (2)令 w= x,先建立 y 关于 w 的线性回归方程. ^ i=1 由于d= ? 8 wi- w 8 yi- y 108.8 = =68, 1.6 ? i= 1 wi- w 2 ^ ^ c= y -d w =563-68×6.8=100.6, ^ 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y=100.6+68w, ^ 因此 y 关于 x 的回归方程为y=100.6+68 x. (3)①由(2)知,当 x=49 时, ^ 年销售量 y 的预报值y=100.6+68 49=576.6, ^ 年利润 z 的预报值z=576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值 2 ^ z=0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12. ^ 13.6 所以当 x= =6.8,即 x=46.24 时,z取得最大值. 2 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. [类题通法]求线性回归方程的步骤: ■对点即时训练………………………………………………………………………· 某品牌 2017 款汽车即将上市,为了对这款汽车进行合理定价,某公司在某市五家 4S 店分别进行了两天试销售,得到如下数据: 4S 店 单价 x/ 万元 销量 y/ 辆 18.0 甲 18.6 18.2 乙 18.8 18.4 丙 19.0 18.3 丁 18.5 18.5 戊 18.7 88 78 85 75 82 66 82 78 80 76 (1)分别以五家 4S 店的平均单价与平均销量为散点, 求出单价与销量的回归直线方程 ^ ^ ^ y=bx+a; (2)在大量投入市场后,销量与单价仍服从(1)中的关系,且该款汽车的成本为 12 万 元/辆,为使该款汽车获得最大利润,则该款汽车的单价约为多少万元(保留一位小 数)? n ∑ ^ i =1 附:b= xi- x n yi- y 2 ^ ^ ,a= y -b x . ∑ i=1 xi- x [解] (1) 五 家 4S 店 的 平 均 单 价 和 平 均 销 量 分 别 为 (18.3,83) , (18.5,80) , (18.7,74),(18.4,80) ,(18.6,78), 18.3+18.5+18.7+18.4+18.6 ∴x= =18.5, 5 3 y= 83+80+74+80+78 =79, 5 - = -2 =-20. 0.1 ^ -0.2×4+0×1+ - + - + ∴b= 0.04+0+0.04+0.01+0.01 ^ ^ ∴a= y -b x =79-(-20)×18.5=79+370=449, ^ ∴y=-20x+449. (2)设该款汽车的单价应为 x 万元, 设利润 f(x)=(x-12)(-20x+449)=-20x +689x-5 388, 2 f′(x)=-40x+689,令-40x+689=0,解得 x≈17.2, 故当 x≈17.2 时,f(x)取得最大值. ∴要使该款汽车获得最大利润,该款汽车的单价约为 17.2 万元. ■题型强化集训………………………………………………………………………· (见专题限时集训 T1、T3、T5、T6、T7、T9、T10、T11、T12、T14) 题型 2 独立性检验 (对应学生用书第 24 页) ■核心知识储备………………………………………………………………………· 独立性检验的步骤 (1)确定分类变量,获取样本频数,得到列联表. (2)求观测值:k= a+b n ad-bc 2 c+d a+c b+d . (3)根

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