数学人教A版必修四 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 上课课件_图文


1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 课前预习 课堂互动 课堂反馈 学习目标 1. 了解周期函数、周期、最小正周期的定义 ( 重 点 ).2. 会求 函数 y = Asin(ωx + φ) 及 y = Acos(ωx + φ) 的 周期 ( 重 点).3.掌握函数y=sin x、y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函 数的奇偶性(重点). 课前预习 课堂互动 课堂反馈 预习教材 P34-35 完成下面问题: 知识点 1 周期函数 1.周期函数 非零 ①对于函数f(x),存在一个__________ 常数T 条件 ②当x取定义域内的每一个值时,都有__________ f(x+T) =f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数 的周期 课前预习 课堂互动 课堂反馈 2.最小正周期 周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 条件 正数 __________ 结论 这个最小__________ 正数 叫做f(x)的最小正周期 课前预习 课堂互动 课堂反馈 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)周期函数y=f(x)的定义域可以为[a,b](a,b∈R).( (2)任何周期函数都有最小正周期.( 2T.( 提示 界. (2)×,常数函数 f(x)=c ,任意一个正实数都是其周期,因 而不存在最小正周期. (3)√ , f(x + 2T) = f[(x + T) + T] =- f(x + T) =- [ - f(x)] = f(x),所以f(x)的周期为2T. 课前预习 课堂互动 课堂反馈 ) ) (3) 若存在正数 T ,使 f(x + T) =- f(x) ,则函数 f(x) 的周期为 ) (1)×,周期函数的定义域一定为无限集,且无上下 知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y=sin x y=cos x 周期 最小正周期 奇偶性 2kπ(k∈Z且k≠0) __________ 2π __________ 奇函数 2kπ(k∈Z且k≠0) __________ 2π __________ 偶函数 课前预习 课堂互动 课堂反馈 【预习评价】 π 函数 y=sin(x+2)是( A.周期为 π 的奇函数 C.周期为 2π 的奇函数 ) B.周期为 π 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数 π 解析 因为 y=sin(x+2)=cos x, 所以该函数是周期为 2π 的 偶函数. 答案 D 课前预习 课堂互动 课堂反馈 题型一 求三角函数的周期 【例 1】 求下列函数的周期: 1 π (1)y=2sin(2x+6),x∈R; π (2)y=1-2cos(2x),x∈R; (3)y=|sin x|,x∈R. 课前预习 课堂互动 课堂反馈 解 ?1 π? (1)∵2sin?2?x+4π?+6? ? ? ??1 ? ?1 π? π? =2sin??2x+6?+2π?=2sin?2x+6?, ? ? ? ?? ? ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x+4π, 函数 ?1 π? y=2sin?2x+6?,x∈R ? ? 的值才能重复出现, 的周期是 4π. ∴函数 ?1 π? y=2sin?2x+6?,x∈R ? ? 课前预习 课堂互动 课堂反馈 π π π (2)∵1-2cos[2(x+4)]=1-2cos(2x+2π)=1-2cos(2x), π ∴自变量 x 只需并且至少要增加到 x+4, 函数 y=1-2cos(2 x),x∈R 的值才能重复出现, π ∴函数 y=1-2cos(2x),x∈R 的周期是 4. (3)作图如下: 观察图象可知最小正周期为 π. 课前预习 课堂互动 课堂反馈 规律方法 求三角函数周期的方法 (1)定义法:即利用周期函数的定义求解. (2)公式法, 对形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(A, ω, 2π φ 是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=|ω|. (3)观察法,即通过观察函数图象求其周期. 三种方法各有所长,要根据函数式的结构特征,选择适当的 方法求解. 课前预习 课堂互动 课堂反馈 【训练 1】 (1) 下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分, ) 其中不是周期函数的是( 解析 对于D,x∈(-1,1)时的图象与其他区间图象不同, 不是周期函数. 答案 D 课前预习 课堂互动 课堂反馈 π (2)下列函数中,周期为2的是( x A.y=sin2 x C.y=cos4 ) B.y=sin 2x D.y=cos 4x 2π 2π 解析 选项 A,周期 T= 1 =4π;选项 B,周期 T= 2 =π; 2 2π 2π π 选项 C,周期 T= 1 =8π;选项 D,周期 T= 4 =2. 4 答案 D 课前预习 课堂互动 课堂反馈 题型二 【例 2】 三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性: ? 1 π? (1)f(x)=sin?-2x+2?; ? ? (2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); 1+sin x-cos2 x (3)f(x)= . 1+sin x 1 解 (1)显然 x∈R,f(x)=cos 2x, ? 1 ? f(-x)=cos?-2x?=cos ? ? 1 2x=f(x), ∴f(x)是偶函数. 课前预习 课堂互动 课堂反馈 ? ?1-sin (2)由? ? ?1+sin x>0, 得-1<sin x<1. x>0, ? ? π 解得定义域为?x|x∈R且x≠kπ+2,k∈Z?. ? ? ∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x) ∴f(-x)=lg[1-sin(-x)] -lg[1+sin(-x)] =lg(1+sin x

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