2014年高一数学必修3、必修4考试题(1)


2014 年高一数学必修 3、必修 4 考试题(2)
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. tan 390 ? (
0

) B.

A. ? 3

3

C.

3 3

D. ?

3 3

2. 若向量 a =(1,1), b =(2,5), c =(3,x)满足条件(8 a - b )· c =30,则 x=(

?

?

?

?

?

?



A.6 B.5 C.4 D.3 3. 某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查, 如果已知从高一学生中抽取的人数为 7,那么从高三学生中抽取的人数应为 ( ) A. 10 B 9 C. 8 D 7 4. 已知函数 f ? x ? ? sin(? x ? A.关于点 ( , 对称 0)

?
3

的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ), ? ? 0) ( B.关于直线 x ?



?

?
4

3

对称

C. 关于点( , 对称 0)

?

4

D. 关于直线 x ?

?
3

对称

5. 下图是 2010 年我市举行的名师评选活动中, 七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计 图,去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的平均数和方差分别为( ) A、84,4.84 B、84, 1.6 C、85,1.6 D、85,4

6. 如图,已知 A(4 , 0) 、 B(0 , 4) ,从点 P(2 , 0) 射出的光 线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反 射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是 ( ) A. 2 10 C. 3 3
2

B. 6 M D. 2 5
2

N

7. 已知圆 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? 36 和点 A(2,2) B(?1,?2) , 若点 C 在圆上且 ?ABC 的面积为 A.1 B.2 C.3

5 ,则满足条件的点 C 的个数是( 2
D.4



8. 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (? ? x) ,且当 x ? (? 则( ) A. f (1) ? f (2) ? f (3)

? ?

, ) 时, f ( x) ? x ? sin x , 2 2

B. f (2) ? f (3) ? f (1)

C. f (3) ? f (2) ? f (1) D. f (3) ? f (1) ? f (2) 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
1

9. 已知 ? 为第三象限的角, sin ? ? ? ,则 tan 2? ? 10. 执行右图所示的程序框图,若输入 x ? 10 ,则输出 y 的 值为 11. 函数 f ( x) ? sin(2 x ? __________________ 12. 圆: x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离的最大值是__________________
2 2

3 5

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是

13. 已知 VABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 .若存在 实 数

uuu r

uuu r

uuu r

m 使 得

uur uuu u r uuur A ? B ? C A m A M 则 成 立 ,

m =__________________
14.关于函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? (1) y ? f ( x ?

?
3

)( x ? R) ,有下列命题:

4? ) 为偶函数 3

(2)要得到函数 g( x) ? ?4sin 2 x 的图像,只需将 f ( x) 的图像向右平移 (3) y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? ?

?
12

? 个单位 3

对称

(4) y ? f ( x) 在 [0, 2? ] 内的增区间为 [0,

5? 11? ]和 [ , 2? ] ,其中正确的命题序号为 12 12

__________________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。 ) 15、 (12 分)设函数 f ( x) ? 3sin(? x ? 期. (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)已知 f ( ? ?

?
4

) , ?>0 , x ? ? ??, ?? ? ,且以

2? 为最小正周 3

2 3

?
12

)?

12 ,求 sin ? 的值. 5

2

16. (13 分)为了了解高一学生的体能状况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试, 将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图) ,图中从左到右各小长方形的面积之比为 2:4:17:15:9:3,第二小组频数为 12. (1)求第二小组的频率; (2)求样本容量; (3)若次数在 110 以上为达标,试估计全体高一学生的达标率为多少?

17.(14 分)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值;

?

?

?

?

?

?

? ?

(3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 18. (13 分)直线 y ? 2 x ? m 和圆 x ? y ? 1交于 A 、B 两点,以为 Ox 始边, OA 、OB 为
2 2

?

?

终边的角分别为 ? 、 ? ,求 sin(? ? ? ) 的值 19. (14 分)已知圆 C 过点 P(1,1)且与圆 M: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 关于直线
2 2 2

x ? y ? 2 ? 0 对称 (1)判断圆 C 与圆 M 的位置关系,并说明理由; (2)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A 、 B ①若直线 PA 与直线 PB 互相垂直,求 PA ? PB 的最大值; ②若直线 PA 与直线 PB 与 x 轴分别交于 G 、 H ,且 ?PGH ? ?PHG , O 为坐标原 点,试判断直线 OP 与 AB 是否平行?请说明理由.

x ? ) ? cos 2 x ? 1. 4 2 ? 2? (1)设 ? >0 为常数,若 y ? f (?x)在区间 ? , [ ] 上是增函数,求 ? 的取值范围; 2 3 ? 2? 1 (2) 设集合 A ? {x | ? x ? }, B ? {x | [ f ( x)]2 ? mf ( x) ? m 2 ? m ? 1 ? 0}, 若 A ? B 恒 6 3 2 成立,求实数 m 的取值范围
20. (14 分)已知函数 f ( x) ? 4sin x sin (
2

?

3

参考答案
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 选项 1 C 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.

24 5 ; 10.7 4

11.

?

12. 2 ? 1

13.

3

14. (2)(3)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 15. (12 分)解: (1)由题意 T ?

2? 3

?? ?

? f ( x) ? 3sin(3x ? ) 4 2? ? ? ? ? 12 (2) f( ? ) ? 3sin(2? ? ? ) ? 3sin(2? ? ) ? 3cos 2? ? 3 12 4 4 2 5 4 ? cos 2? ? 5 4 cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 5
? sin ? ? ? 10 10

?

2? ?3 T

16. (13 分)解:(1) 由于每个长方形的面积即为本组的频率,设第二小组的频率为 4 f ,则

2 f ? 4 f ? 17 f ? 15 f ? 9 f ? 3 f ? 1 解得 f ?

1 50

?第二小组的频率为 4 ?

1 2 ? 50 25 12 2 (2)设样本容量为 n , 则 ? ,? n ? 150 n 25
(3) 由 (1) 和 直 方 图 可 知 , 次 数 在 110 以 上 的 频 率 为

17 f ? 15 f ? 9 f ? 3 f ? 44 f ? 44 ?
17. (14 分) .解: 18. (13 分)解: 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

22 ? 0.88 25 由此估计全体高一学生的达标率为 88 %

联立直线与圆的方程得 5x ? 4mx ? m ? 1 ? 0
2 2

4

4m ? ? x1 ? x2 ? ? 5 ? 则? 2 ?x ? x ? m ?1 ? 1 2 5 ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? x1 y2 ? x2 y1 y1 ? 2 x1 ? m, y2 ? 2 x2 ? m 代入上式可得:

sin(? ? ? ) ? x1 (2 x2 ? m) ? x2 (2 x1 ? m) ? m( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ?

4 5

?a ? 2 b ? 2 ? 2 ? 2 ?2?0 ?a ? 0 ? 19. (14 分)解:(1)设圆心 C (a, b) ,则 ? ,解得 ? b?2 ?b ? 0 ? ?1 ? a?2 ?
2 则圆 C 的方程为 x ? y ? r ,将点 P 的坐标代入得 r ? 2 ,故圆 C 的方程为 x ? y ? 2
2 2 2 2 2

?CM ? 2 2 ,又两半径之和为 2 2 ,?圆 M 与圆 C 外切.
(2) ①设 l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦的中点分别为 E, F ,弦长分别为 d1 , d 2 ,因为四边形

OEPF 是矩形,所以 OE 2 ? OF 2 ? OP2 ? 2 ,即

? ? d1 ?2 ? ? ? d2 ?2 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ,化简得 d1 ? d 2 ? 8 ? ?2? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?
从而 d1 ? d 2 ? 综上:
2 2 ? d12 ? d 2 ? 4 , d1 ? d2 时取等号,此时直线 PA,PB 必有一条斜率不存在) (

l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 4

另解:若直线 PA 与 PB 中有一条直线的斜率不存在, 则 PA=PB=2,此时 PA+PB=4. 若直线 PA 与 PB 斜率都存在,且互为负倒数,故可设 PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即

kx ? y ? 1 ? k ? 0 ,( k ? 0 ) 点 C 到 PA 的距离为
5

k ?1 1? k 2

,同理可得点 C 到 PB 的距离



k ?1 1? k 2

,? PA ? PB ? 2( 2 ?

(1 ? k ) 2 (1 ? k ) 2 ? 2? 2 ) k 2 ?1 k ?1

? ( PA ? PB) 2 ? 4(2 ? 2 1 ?

2 ) <16,? PA ? PB ? 4 ) k ?1
2

综上: l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 4

1 ? cos( ? x) 2 20. (14 分) 解:⑴ f ( x) ? 4sin x ? ? cos 2 x ? 1 2

?

? 2sin x(1 ? sin x) ? 2sin 2 x ? 2sin x.

? f (? x) ? 2sin ? x在[? ?[? ?

? 2?
2 , 3

] 是增函数,

? 2?
2 , 3

] ? [?

2? ? 3 ? ,?? ? (0, ] 3 2? 4 1 2 2 (2) [ f ( x)] ? mf ( x) ? m ? m ? 1 2
= sin x ? 2m sin x ? m ? m ? 1 ? 0
2 2

? ? , ] 2? 2?

因为 x ? [

? 2?
6
2

,

3

] ,设 sin x ? t ,则 t ? [
2

1 ,1] 2

上式化为 t ? 2mt ? m ? m ? 1 ? 0

6

由题意,上式在 t ? [
2

1 ,1]上恒成立. 2
2

记 f (t ) ? t ? 2mt ? m ? m ? 1 , 这是一条开口向上抛物线,

1 ? ?m ? 2 ? 则? ? f (1) ? 0 ? 2 ?
?1 ? ? m ?1 或 ?2 ?? ? 0 ?
或?

?m ? 1 ? f (1) ? 0

解得: m ? ?

3 或m ? 1 . 2

7


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