广西南宁市马山县金伦中学“4 N”高中联合体2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理


啊啊啊啊 啊啊啊 啊你

2018~2019 学年度上学期“4+N”高中联合体期中联考试卷 (高二数学理科)
注意事项:全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试结束后,务必将本试卷和答 题卡一并交回。 第Ⅰ卷 考生注意事项: 1、答题前,考生在答题卡上务必用直径 0. 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,并贴好条形码,请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效 ......... 3、第Ⅰ卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 一、选择题
2 1、若集合 A ? {x x ? 0}, B ? {x x ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R} ,那么 A

B? ( )

A. (0,3) 2、若

B. (?1,??)

C. (0,1) )

D. (3,??)

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是( a b
2 2

A. a ? b

B. ab ? b

2

C.

b a ? ?2 a b

D. a ? b ? a ? b ) D. 105 ) D. 120? )

3、 已知等差数列 {an } 中,若 a4 ? 15 ,则它的前 7 项和为( A. 120 4、已知点 A A. 30 ? B. 115 C. 110

?

3, 2 , B ? 0, 3? , C ? 0, 1? ,则 ?BAC ? (
B. 45 ? C. 60 ?

?

5、甲、乙、丙三位同学站成一排照相,则甲、丙相邻的概率为( A.

1 6

B.

1 5

C.

2 3

D.

1 3

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?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 6、若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? y ? 2 x 的最 ? y ?3? 0 ?
小值为( A. ? 7 ) B. ?4 C. 1
n ?1

D. 2 )

7、在等比数列 {an } 中,已知其前 n 项和 Sn ? 2 A. ? 1 B.1

? a ,则 a 的值为(
D.2

C. ?2 )

8、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 43 B. 55

C. 61

D. 81

9、函数 y ? e x ? 4 cos x ( e 为自然对数的底数)的图象可能是 ( )

10、在 ?ABC 中,已知 A ? 60 , a ? 4 ,则 ?ABC 的面积的最大值是( A. 4 3 B. 4 2 C. 2 3

?



D. 2 2

11、已知 m, n 为正数,向量 a ? ?m,1?, b ? ?1 ? n,1?,若 a // b ,则 A. 3 B. 2 2 C. 3 ? 2 2

1 2 ? 的最小值为( m n
D. 7



12、已知对任意 x ? ?? 1,1?,函数 f ?x? ? x 2 ? ?a ? 4?x ? 4 ? 2a 的值恒大于零,则 a 的取值范 围为( ) B. ?- ?, 0? C. ?- 2, 1? D. ?- 2, 0?

A. ?- ?, 1?

第Ⅱ卷 注意事项 1、答题前,考生在答题卡上务必用直径 0 .5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2、第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0. 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作
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答。在试题卷上作答无效 ......... 3、第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分 二、填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填答题卷相应题中横线上. 13、已知向量 a ? (?1,1), b ? (8, k ) ,若 a ? b ,则实数 k ? __________. 14、直线 y ? x ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 交于 A, B 两点,则 AB ? ________; 15、某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/次,一年的总存储费 用为 4 x 万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是
?

;

16、点 A,B,C,D 在同一个球的球面上,AB=BC= 6 , ?ABC ? 90 ,若四面体 ABCD 体积 的最大值为 3,则这个球的表面积为___________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知锐角三角形 ABC 的角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , a ? 2bsin A . (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b 的值.

18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 5, S 3 ? 9. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 c n ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . a n a n ?1

19. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 柴静 《穹顶之下》 的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研 究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数 x 与雾霾天数 y 进行统计分析,

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得出下表数据.

?x ? a ? (1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b
(2)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为 9 的雾霾天数.

相关公式: b ?

^

? xi y i ? n x y ?x
i ?1 i ?1 n 2 i

n

? ?

? n( x )

?

, a ? y ? bx

2

x y

4 2

5 3

7 5

8 6

20. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 a sin B ? ?b sin? A ?

? ?

??

?. 3?

(1)求 A ; (2)若 ?ABC 的面积 S ?

3 2 c ,求 sin C 的值. 4

21. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 正 方 形

A D E 与F 梯



A B C 所D 在 平 面 互 相 垂 直 ,

AD ? CD, AB / /CD, AB ? AD ? 2, CD ? 4 ,点 M 是 EC 中点.

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(I)求证: BM // 平面 ADEF ; (II)求 BM与平面BDE 所成角的正弦值. F E M D A B C

22.(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........
2 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 , an ?1 ? S n ?1 ? S n .

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? a2n?1 ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

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2018~2019 学年度上学期“4+N”高中联合体期中联考试卷 参考答案及评分标准 (高二数学理科) 说明: 1.第一题选择题,选对得分,多选、错选或不选一律给 0 分. 2.第二题填空题,不给中间分. 3.第三题解答题,本答案给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可 根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则. 4.对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 5.解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 6.只给整数分数. 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 11 12 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 A D D C C A 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 8 详细解答 14. 2 2 15. 30 C C C A C A

16. 16?

1、答案:A 解析: B ? {x ? 1 ? x ? 3} ,则 A 2、答案: D 解析:由 A,B,C 对 3、答案:D 解析:由题得 S 7 ? 4、答案:C

B ? {x | 0 ? x ? 3}

1 1 ? ? 0 ,所以 a ? 0, b ? 0 ,所以 0 ? a ? b ,由不等式基本性质知 a b 7 7 (a1 ? a7 ) ? ? 2a 4 ? 7a 4 ? 105 . 2 2

解析:由题知 AB ? ? 3,1 , AC ? ? 3, ?1 ,

?

?

?

?

则 cos?BAC ?

AB ? AC AB AC

?

? ? 3 ? ? ? ? 3 ? ? 1? ? ?1? ? 1 ,则 ?BAC ? ? .
2? 2 2
3

5、答案:

C 解析:三人站成一排,所有站法有: (甲乙丙) 、 (甲丙乙) 、 (乙甲丙) 、 (乙丙

甲) (丙甲乙) 、 (丙乙甲) 、 共 6 种, 其中甲、 丙相邻有 4 种, 所以, 甲、 丙相邻的概率为 P ? 6、答案:A 解析:作出可行域如下图所示,

4 2 ? 6 3

当 z ? y ? 2 x 过点 A 时纵截距最小,此时 z 也最小.由 ?

?x ? y ? 2 ? 0 可得 A(5, 3) ,所 ? y ?3 ? 0

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以 zmin ? 3 ? 2 ? 5 ? ?7 .故选 A. 7、答案:C 解析:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 2 ? a ? 4 ? a , 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2

?

n?1

? a ? 2n ? a ? 2n
n

? ?

?

因为 ?an ? 为等比数列,所以 a1 应该符合 an ? 2 ,从而可得 4 ? a ? 2 ? a ? ?2 , 8、答案:C 解析:

S ? 25, n ? 18,18 ? 0; S ? 43, n ? 12,12 ? 0; S ? 55, n ? 6,6 ? 0; S ? 61, n ? 0, S ? 61
9、答案: C 10、答案: A 解析:函数 y ? e ? 4 cos x 是偶函数,排除 B, D ,当 x ? 0, y ? ?3 ,选 C
x

解析:由余弦定理可得:a ? b ? c ? 2bc cos A ,?16 ? 2bc ? bc ? bc,
2 2 2

当且仅当 b ? c 时取等号.? S ?ABC ? 最大值是 4 3. 11 、 答 案

1 1 3 bc sin A ? ? 16 ? ? 4 3 .∴ ?ABC 的面积的 2 2 2



C







? a // b ? m ? 1 ? n ? m ? n ? 1,? n ? 1 ? m ? 0 ? 0 ? m ? 1,?

1 ?1, m

?

1 2 2m n ? 1 2? ? ? ?m ? n?? ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 2m 2 ? n 2 时取等号. m n n m ?m n?
2

12、答案: A 解析:函数 f ?x? ? x ? ?a ? 4?x ? 4 ? 2a 的对称轴为 x ? ? ①当

4?a ? ?1 ,即 a ? 6 时, f ?x ? 的值恒大于 0 等价于 2

a?4 4?a ? 2 2

f ??1? ? 1 ? ?a ? 4?? (?1) ? 4 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 3 ,
不存在符合条件的 a ; ②当 ? 1 ?

4?a ? 1 ,即 2 ? a ? 6 时,只要 2
2

4?a ? 4?a? ? 4?a? f? ? 4 ? 2a ? 0 , ??? ? ? ?a ? 4?? 2 ? 2 ? ? 2 ?

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即 a ? 0 ,不存在符合条件的 a ;
2

③当

4?a ? 1 ,即 a ? 2 时,只要 f ?1? ? 1 ? ?a ? 4? ? 4 ? 2a ? 0 ,即 a ? 1 , 2

综上可知,当 a ? 1 时,对任意 x ? ?? 1,1?,函数 f ?x? ? x 2 ? ?a ? 4?x ? 4 ? 2a 的值恒大于 0。 13、答案: 8 解析 :∵ a ? b ,∴ ? 8 ? k ? 0 ,解得 k ? 8
2

14、答案: 2 2 解析:圆的方程可化为 x 2 ? ? y ? 1? ? 4 ,所以圆的圆心为 ?0,?1? ,且半 径是 2 ,

d?

0 ?1?1 12 ? ?? 1?
2

? 2



























AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 ? 2 ? 2 2 .

15、答案: 30

解析:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和

?


3600 600 900 ? 4 x ,即 x ? 30 时取等 ? 6 ? 4x ? 4 ? 2 ? ? x ? 240(万元).当且仅当 x x x

16、答案: 16?

解析:如图所示,O 为球的球心,由 AB=BC= 6 , ?ABC ? 90 ,

?

即 ?ABC 所在的圆面的圆心 O1 为 AC 的中点,故 AO1 ? 3 ,

S ?ABC ? 3, ,当 D 为 OO1 的延长线与球面的交点时,
D 到平面 ABC 的距离最大,四面体 ABCD 的体积最大.连接 OA,设球的半径为 R,
则 DO1 ? R ?

1 R 2 ? 3 ,此时 VD ? ABC ? ? 3 ? DO1 ? R ? R 2 ? 3 ? 3 解得 R ? 2 ,故这 3
2

个球的表面积为 4? ? 2 ? 16? . 17.【答案】 (1) B ?

? ; (2) b ? 7 . 6

【解析】 (1)因为 a ? 2bsin A ,所以由正弦定理可得 sin A ? 2sin B sin A ,------2 分 因为 0 ? A ? π ,sin A ? 0 , 所以 sin B ?

1 ? , 因为 △ABC 是锐角三角形, 所以 B ? . ---5 2 6

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分 (2)由(1)知 B ?

? , 6

所以由余弦定理可得 b ? 分 18 、 解 (1)

a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 2 ? 3 3 ? 5 ?

3 ---10 ? 7. 2

? a3 ? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 ? ?S ? 3a ? 3 ? 2 d ? 9 , 解 得 ? 3 1 ?d ? 2 ? 2 ?

, 所 以

an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1-----6 分
( 2 ) 由 (1) 知 ,

an ? 2n ? 1







cn ?
所以

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ---8 分 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 n (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? (1 ? )? ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 2n ? 1 2n ? 1

S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?

-----12 分 19.(1) y ? x ? 2 . (2) 7.

?





(1)

?x y
i ?1 i

4

i

? 4 ? 2 ? 5 ? 3 ? 7 ? 5 ? 8 ? 6 ? 106

,

?x
i ?1

4

2 i

? 4 2 ? 5 2 ? 7 2 ? 8 2 ? 154------4 分
6分

x?

4?5?7?8 2?3?5?6 ? 6, y ? ? 4 -----4 4



?? b

?x y ?x
i ?1 i ?1 4 i 2 i

4

i

? 4x ? y ?

? 4( x) 2 ?

106 ? 4 ? 6 ? 4 ? x ? 4 ? 6 ? ?2 ? ? y ?b ? 1, a 2 154 ? 4 ? 6

-----------8 分

?x ? a ? ?b ? ? x ? 2 --------10 分 故线性回归方程为 y
(2)由线性回归方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为 9 的雾霾天数为 7. ------12 分

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20、 【答案】 (1)

5? 7 (2) 6 14

【解析】 (1)因为 a sin B ? ?b sin ? A ?

? ?

??

? ,? 0 ? B ? ? , 则sin B ? 0 ,------2 分 3?
即 sin A ? ?

所以由正弦定理得 sin A ? ? sin( A ?

?
3

)

1 3 sin A ? cos A -----3 分 2 2

化简得 tan A ? ?

5? 3 ,因为 A ? (0, ? ) ,所以 A ? ,-------6 分 6 3

(2)因为 A ? 分

5? 1 3 2 1 1 , 所以 sin A ? , 由S ? 得 b ? 3c -------8 c ? bc sin A ? bc , 6 2 4 2 4

所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 7c 2 ,则 a ?

7c ,由正弦定理得

sin C ?

c sin A 7 ----12 分 ? a 14
1 DC , 2

21、解析: (1)设 N 为 DE 的中点,因为 M 是 EC 的中点,? MN // DC , MN ?

? AB // CD, AB ?

1 CD, 因此 AB//MN ,所以四边形 ABMN 是平行四边形,------4 分 2

AN ? 平面ADEF, ? BM // 平面ADEF. --6 分 ? BM // AN, 因为 BM ? 平面ADEF,
(2)因为点 M 是 EC 中点,所以 S ?DEM ?

1 S ?CDE ? 2 ., -------7 分 2

正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,

ED ? 平面ABCD ? ED ? AD, ED ? BC
因为 AD ? CD, AD ? DE, ,且 DE 与 CD 相交于 D? AD ? 平面CDE ,

? AB // CD,? AB // 平面CDE, B 到面 DEM 的距离 AD ? 2 ---------8 分
. 又 BC ? BD ? 2 2, CD ? 4 ? BC ? BD, BC ? ED ? ?CBE 是直角三角形,则

S ?DEB ? 2 3 ---9 分
设 M 到面 DEM 的距离 h ,

由VM ? DEB ? VB ? DEM ?

1 1 ? S ?DEM ? AD ? S ?DEB ? h ? h ? 2 .-----10 分 3 3

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? BM ?

1 1 2 EC ? 4 ? 2 2 ? 5 ,---11 分 2 2

所以 BM与平面BDE 所成角 ? 的正弦值为 sin ? ?
2 22.解:(1)因为 an ?1 ? S n ?1 ? S n . ,①

h 2 10 ----12 分 ? ? BM 5 5
② -----1

2 所以当 n≥2 时, an ? S n ? S n?1.


2 2 ①-②得 an ?1 ? an ? an?1 ? an 即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? an?1 ? an ------3 分

因为 an>0,则 an?1 ? an ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 1,-------4 分 所以数列 ?an ? 从第二项起,是公差为 1 的等差数列.
2 由①知 a2 ? S 2 ? S1 . 因为 a1 ? 1 ,所以 a2 ? 2 ----------5 分

所以当 n ? 2 时,an=2+(n-2)×1,即 an ? n .③ 又因为 a1 ? 1 也满足③式,所以 an ? n(n ? N * ) ----6 分 (2)由(1)得 bn ? a2n?1 ? 2 n =(2n-1)·2 ,Tn=1·2+3·2 +5·2 +…+(2n-1)·2 ,④
a
n
2 3

n

2Tn=2 +3·2 +…+(2n-3)·2 +(2n-1)·2
2

2

3

n

n+1

,⑤-------8 分
n+1

④-⑤得-Tn=2+2×2 +…+2×2 -(2n-1)·2

n

,-----10 分

所以-Tn=2+

23 (1 ? 2 n ?1 ) n+1 -(2n-1)·2 , 1? 2
n+1

故 Tn=(2n-3)·2

+6.--------12 分

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