江苏省金湖中学2013届高三下学期期初检测数学试题 Word版含答案


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金湖中学2013届高三下学期期初检测数学试题
一、填空题 1.已知 则使得

?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和,


Sn 达到最大值的 n 是

2.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比为3:4:7,现用分层抽样的方 法抽取容量为 n 的样本,样本中A型号产品有15件,那么样本容量 n 为________ 3.命题“ ?x ? R, 2 x ? 3ax ? 9 ? 0 ”为假命题,则实数a的取值区间为
2

4.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是

cm3 。

5.当 a ? 0 且 a ? 1 时,函数 f ( x) ? a

x?2

? 5 的图象必过定点

.

6.一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人.为了调查职 工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45 岁的职工 人.

? 7.已知 f ( x) ? ln( x ? ax ? 2a ? 2)(a ? 0) ,若 f ( x ) 在 [1, ?) 上是增函数,则 a 的取值范
2

围是



2x ?1 8.不等式 x ? 1 的解集是__

__.

9.如图, AB 是⊙O 的直径, CB 切⊙O 于点 B , CD 切⊙O 于 点 D , CD 交 BA 的延长 线于点 E .若 AB ? 3 , ED ? 2 ,则 BC 的长为________.

1

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C

D

E

A

B O

10.设等差数列

{an } 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 81,则 a2 ? a5 ? a8 ?

. .

11.右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积为

a ?1
12.在钝角△ABC中,已知 ,

b?2

c
,则最大边 的取值范围是

? 13.已知函数 f (x) 的定义域为 [?2, ??), 部分对应值如下表, f ( x ) 为 f (x) 的导函数,函

? 数 y ? f ( x) 的图象如图所示:

x
f (x)
1

-2 -1

0

4 1

b?3 若两正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 a ? 3 的取值范围是
14.下列命题中所有正确的序号是 (1)函数 f ( x) ? a
x ?1





? 3 (a ? 0且a ? 1) 的图像一定过定点 P(1, 4) ;

(2)函数 f ( x ? 1) 的定义域是 (1,3) ,则函数 f ( x ) 的定义域为 (2,4) ;
5 3 (3)已知 f (x) = x ? ax ? bx ? 8 ,且 f (?2) =8,则 f (2) =-8;

2

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1 2 a b ? ?1 2 ? 3 ? k (k ? 1) 且 a b ,则实数 k ? 18 . (4)已知
二、解答题

an ?1 ? an an ? an ?1 2n ? (n ? 2) bn ? ?a ? a ? 2 , a2 ? 1 ,且 an an?1 an an ?1 an 。 15.已知数列 n 满足 1 ,
(1)求数列 (2)求数列

?an ? 的通项公式;
?bn ? 的前 n 项和 Sn .

16.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )求 f ( x ) 的对称轴方程;

? ? ?? ?? , ? (Ⅲ )求 f ( x ) 在区间 ? 6 2 ? 上的最大值和最小值.
17.若关于 x 的不等式 (m ? 3) x ? 2mx ? 8 ? 0(m ? R) 的解集是一个开区间 D ,定义开区间
2

(a, b) 的长度 l ? b ? a 。
(1)求开区间 D 的长度 l ( l 用 m 表示) ,并写出其定义域; (2)若

l ??1,2?

,求实数 m 的取值范围.

2 18.已知 f ( x) ? x ? bx ? 2, x ?R.

(1)若函数 F ( x) ? f [ f ( x)]与f ( x)在x ?R 时有相同的值域,求b的取值范围;
2 (2)若方程 f ( x)? | x ? 1|? 2 在(0,2)上有两个不同的根x1、x2,求b的取值范围,并证明

1 1 ? ? 4. x1 x2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 F b 19.已知双曲线 a 的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于 3 ,过右焦点 2 的直
线 l 交双曲线于 A 、 B 两点, (Ⅰ )求双曲线的方程; (Ⅱ )若

F1 为左焦点.

?F1 AB 的面积等于 6 2 ,求直线 l 的方程.
3

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f ( x) ?
20.已知函数

1 2 x ? 2a ln x ? (a ? 2) x 2 ,a?R .

(Ⅰ )当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ )当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性;

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?a x , x ? ? 0, ? ? ? x ? x2 , x2 ? x1 (Ⅲ 是否存在实数 a , ) 对任意的 1 2 , 1 且 有
恒成立,若存在求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由.

4

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参考答案 1.20 2.70 3. ?

? ?2 2, 2 2 ? ?

4 4. 3
5. (?2, 6) 6. 10 7. 1 ? a ? 2 . 8. (?1,1) 9.3 10.27 11. 34 ? 6 5

5 ?c?3
12. .

3 7 ( , ) 13. 5 3
14. (4) (1)

an ?1 ? an an ? an ?1 ? (n ? 2) an an ?1 an an ?1 15. (1)因为 ,
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? , 2 ? ? , a an?1 an?1 an 即 an an?1 an?1 所以 n

?1? ? ? a a ? 2 , a2 ? 1 , 所以 ? n ? 是等差数列,因为 1
1 1 所以该数列首项为 2 ,公差也是 2 ,

1 1 1 n 2 ? ? (n ? 1) ? ? , an ? a 2 2 2 所以 n. 所以 n

1 n ? an 2 ,所以 bn ? n ? 2n?1 , (2)由(1)知

5

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S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ... ? n ? 2n?1 , 2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ... ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,
? Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
1 2 n ?1

两式作差得: ∴

1 ? 2n ? n? 2 ? ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 1? 2 ,
n

Sn ? (n ?1)2n ? 1 。

16. )∵ (Ⅰ

f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x



∴ 函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? .(4分)

(Ⅱ f ( x ) 的对称轴方程: )

2 x ? k? ?

?
2

(k ? Z );即x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 4

?
(III)由

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2x ? ?


?


3 ? sin 2 x ? 1 2 , (10分)

? ? ?? 3 ? ?? 6 , 2 ? ? 上的最大值为1,最小值为 2 . ∴ f ( x ) 在区间 ?

x, 17. (1)根据题意得 m ? 3 ? 0 ,设 (m ? 3) x ? 2mx ? 8 ? 0 的两根为 1
2

x2 ,

则 ? ? 4(m ? 8m ? 24) ? 0 ,
2

x1 ? x2 ?

2m 8 , x1 x2 ? ? m?3 m?3

l ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x ? ( 2 m2 ? 8m ? 24 ? m?3

2m 2 8 ) ? 4(? ) m?3 m?3

?m ? 3 ? 0 ? m ? ?4 ? 2 10或3 ? m ? ?4 ? 2 10 ? ? ? 4(m2 ? 8m ? 24) ? 0 由? ,

? 函数定义域为 (??, ?4 ? 2 10) ? (?4 ? 2 10,3)
1? l ?
(2)

2 m 2 ? 8m ? 24 ? 2 ? (m ? 3) 2 ? 4(m 2 ? 8m ? 24) ? 4(m ? 3) 2 m?3

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7 ? ?m ? ?15或m ? 3 ? ?3m2 ? 38m ? 105 ? 0 ? ? ?m ? 33 ?? ? ? 14 ?14m ? 33

结合(1) m 的范围, m 的取值范围为

? ??, ?15? ? ? ?

7 33 ? , ? 3 14 ? ?
x?? b 2 的抛物线,

18. (1)当 x ? R 时, f ( x) ? x ? bx ? 2 的图象是开口向上对称轴为
2

∴ f ( x) 的值域为

? 8 ? b2 ? , ?? ? ? ? 4 ?

,∴F ( x) ? f [ f ( x)] 的值域也为

? 8 ? b2 ? , ?? ? ? ? 4 ?

的充要条件

8 ? b2 b ≤ ? , 即b 2 ? 2b ? 8 ≥ 0, ? b ≤ ?2, 或b ≥ 4 2 是 4 ,
即b的取值范围为 (??, ?2] ? [4, ??).
2 2 2 (2) f ( x)? | x ? 1|? 2,即x ? bx? | x ? 1|? 0 ,由分析知 b ? 0

?bx ? 1,| x |≤1, 0 ? x1 ? x2 ? 2, 令H ( x) ? x 2 ? bx? | x 2 ? 1|? ? 2 ?2 x ? bx ? 1,| x |? 1, 不妨设
因为 H ( x)在(0,1] 上是单调函数,所以 H ( x) ? 0 在 (0,1] 上至多有一个解.

2 若 x1 , x2 ? (1,2) ,即x1、x2就是 2 x ? bx ? 1 ? 0 的解,

1 x1 x2 ? ? ? 0 2 ,与题设矛盾.

因此, x1 ? (0,1], x2 ? (1,2). 由

H ( x1 ) ? 0得b ? ?

1 x1

,所以 b ≤ ?1 ;

H ( x2 ) ? 0得b ?


1 ? 2 x2 , x2

7 ? ? b ? ?1. 所以 2

7 ? ? b ? ?1 2 故当 2 时,方程 f ( x)? | x ? 1|? 2在(0,2) 上有两个解.
b??


1 1 和b ? ? 2 x2 x1 x2

消去b,得

1 1 ? ? 2 x2 . x1 x2

x2 ? (1, 2), 得


1 1 ? ? 4. x1 x2

b ? 3,
19.解: )依题意, (Ⅰ

c ? 2 ? a ? 1, c ? 2 a ,

7

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? 双曲线的方程为:
(Ⅱ )设

x2 ?

y2 ? 1. 3

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , F2 (2,0) ,直线 l : y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2) ? ? 2 y2 ?1 2 2 2 2 ?x ? 3 由? ,消元得 (k ? 3) x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 ,

k ? ? 3 时,

x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 3 , x1 x2 ? 2 k2 ?3 k ? 3 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ,

?F1 AB 的面积
?2k ?

S ? c y1 ? y2 ? 2 k ? x1 ? x2 ? 2 k

(4k 2 )2 ? 4(k 2 ? 3)(4k 2 ? 3) k2 ?3

k 2 ?1 ?6 3 k2 ?3 ? k 4 ? 8k 2 ? 9 ? 0 ? k 2 ? 1 ? k ? ?1,

所以直线 l 的方程为 y ? ?( x ? 2).

? 0, ?? ? , 20. )显然函数 f ( x ) 的定义域为 (Ⅰ
a ? 1时, f ?( x) ?
当 ∴当

x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ? x x .


x ?? 0,2?时, f ?( x) ? 0

x ? ? 2, ??? , f ?( x) ? 0



∴ f ( x ) 在 x ? 2 时取得最小值,其最小值为 f (2) ? ?2ln 2 .

f ?( x) ? x ?
(Ⅱ )∵

2a x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ( x ? 2)( x ? a) ? (a ? 2) ? ? x x x ,

∴ (1)当 ? 2 ? a ? 0 时,若

x ? ? 0, ?a ?时, f ?( x) ? 0, f ( x)
为减函数;

为增函数; 为增函数.

x ? ? ?a,2?时, f ?( x) ? 0, f ( x)

x ?? 2, ???时, f ?( x) ? 0, f ( x)

(2)当 a ? ?2 时, x ? (0, ??) 时, f ( x ) 为增函数; (3)当 a ? ?2 时,

x ? ? 0,2?时, f ?( x) ? 0, f ( x)
为减函数;

为增函数;

x ?? 2, ?a ?时, f ?( x) ? 0, f ( x)

x ?? ?a, ???时, f ?( x) ? 0, f ( x)

为增函数.………… 9分

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(Ⅲ 假设存在实数 a 使得对任意的 )

x1, x2 ? ? 0, ? ? ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?a x1 ? x2 , x2 ? x1 , 且 有 ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?a f ? x2 ? ? ax2 ? f ? x1 ? ? ax1 0 ? x1 ? x2 ,只要 x2 ? x1 恒成立,不妨设 ,即:

? 0, ? ? ? 为增函数 令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,只要 g ( x) 在
g ( x) ?
又函数

1 2 x ? 2a ln x ? 2 x 2 .

考查函数

g? ? x ? ? x ?

2a x 2 ? 2 x ? 2a ( x ? 1) 2 ? 1 ? 2a ?2? ? x x x
a?? 1 2,

要使

g? ? x ? ? 0

? 0, ?? ? 恒成立,只要 ?1 ? 2a ? 0,即 在

1 ? (??, ? ] 2 时,对任意的 x1 , x2 ? ? 0, ? ? ? ,且 x1 ? x2 , 故存在实数 a

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?a x2 ? x1 有 恒成立.

9


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