宁夏石嘴山市第三中学届高三数学下学期第三次模拟考试试题 文-课件


石嘴山三中 2016 届第三次模拟考试 数学(文科)能力测试
2016.5 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名 和考生号,并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、 不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1、设集合 A.[0,1)

M ? {x | x2 ?, x}

则M ? N ?( N ? {x | lg x, ? 0} C.[0,1]

) D.(0 ,1) )

B.(0,1]

2、在复平面内,复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 ? 3i ,则 z 的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 A. 20 ? 2? C. 24 ? 2? B.第二象限 B. 20 ? 3? D. 24 ? 3? C.第三象限 )
1 2 2 正视图 2

D.第四象限

3. 如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(

2 侧视图

4、已知 f(x)=
俯视图

则 f(f(2) )的值是( A.0 B.1

) C.2 D.3

5、已知等差数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 4n ,则 a1 ? ( ) A. ? 1 6、在区间 B. 1 C. 2 D. 3

a、 b ,则函数 f ( x) ? [0上随机取两个实数 ,1]

1 3 x ? ax ? b 在区间 2

[0,1] 上有且只有一个
1

零点的概率是( A.

) B.

1 8

1 4

C.

3 4

D.

7 8

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 7、直线 y=k(x+1)(k∈R)与不等式组 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ?表示的平面区域有公共点, ?x ? 0 ?
则 k 的取值范围是( A . [-2,2] C. [) B. D. (-∞, -2] (-∞,[2,+ ∞) [

1 1 , ] 2 2

1 ] 2

1 , +∞) 2

8 、已知抛物线 C : y 2 ? 8 x 与点 M ? ?2, 2? , 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点 ,若

???? ???? MA?MB ? 0 ,则 k ? (
A.



1 2

B.

2 2

C. 2

D.

2

9、已知 a 是常数,函数 f ( x) ?
x

1 3 1 x ? (1 ? a ) x 2 ? ax ? 2 的导函数 y ? f '( x) 的图像如右图所示, 3 2


则函数 g ( x) ?| a ? 2 | 的图像可能是 (

10、公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无 限逼近圆的面积,并创立了“割圆术” .利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两 位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率” .如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序 框图,则输出 n 的值为( ) (参考数据:sin15° =0.2588,sin7.5°=0.1305) A.6 B.12 C.24 D.48

2

11、已知双曲线

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线将第一象 以及双曲线 a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为( a 2 b2
B. 2 或 )

限三等分,则双曲线

A. 6 或

2 3 3

2 3 3

C.2 或 3

D. 3 或 6

12、设函数 f ( x) ? e x (sin x ? cos x) (0 ? x ? 2016? ) ,则函数 f ( x) 的各极小值之和为( ) A. ?

e 2? (1 ? e 2016? ) 1 ? e 2? e 2? (1 ? e1008? ) 1 ? e 2?

B. ?

e 2? (1 ? e1008? ) 1 ? e? e 2? (1 ? e 2014? ) 1 ? e 2?

C. ?

D. ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13、已知α 是锐角, =( ,sinα ) , =(cosα , ) ,且 ∥ ,则 α =_________ 14、已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=3S2,a3=-2,则 a7=________. 15、下列命题:①已知 m ,n 表示两条不同的直线,? ,? 表示不同的平面,并且 m ? ? ,n ? ? , 则“ ? ? ? ”是“ m / / n ”的必要不充分条件;②不存在 x ? ? 0,1? ,使不等式 log 2 x ? log3 x 成立;
2 2 ③“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题为真命题;④ ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶

函数.正确的命题序号是



16、在球 O 的内接四面体 A ? BCD 中, AB ? 6 , AC ? 10 , ?ABC ? 积的最大值为 200,则球 O 的半径为 .

?
2

,且四面体 A ? BCD 体

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? 4cos x sin ? x ?

? ?

?? ?, x? R.
6?

(I)求 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间; (II)在 ?ABC 中, BC ? 4 , sin C ? 2sin B ,若 f ? x ? 的最大值为 f ? A? ,求 ?ABC 的面积.
3

18、 (本小题满分 12 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车, 某月的产量如右表(单位:辆): 按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)用分层抽样的方法在 A,B 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中 任取 2 辆,求至少有 1 辆 A 类轿车的概率; (Ⅲ)用随机抽样的方法从 A,B 两类轿车中各抽取 4 辆,进行综合指标评分,经检测它们的得分如 右图,比较哪类轿车综合评分比较稳定. A 类轿车得分 B 类轿车得分

6 3 8 5 1 2 9 4 2 3 19、 (本小题满分 12 分)
? 如 图 , 在 边 长 为 4 的 菱 形 ABCD 中 , ?DAB ? 60 , 点 E , F 分 别 是 边 CD , CB 的 中 点 ,

AC ? EF ? O , 沿 EF 将 ?CEF 翻 折 到 ?P E F , 连 接 PA, PB, PD , 得 到 如 图 的 五 棱 锥
P ? ABFED ,且 PB ? 10 .
(Ⅰ)求证: BD ? PA ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? BFED 的体积.

20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,短轴长为 2,点 M 为椭圆 E 上一个动点,且 a 2 b2

| MF | 的最大值为 2 ? 1 .
(1)求椭圆 E 的方程; ( 2 )若点 M 的坐标为 (1,

2 ) ,点 A, B 为椭圆 E 上异于点 M 的不同两点,且直线 x ? 1 平分 2
4

? AMB ,求直线 AB 的斜率.

21、 (本小题满分 12 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)已知 x1 ? e ( e 是自然对数的底数)和 x2 是函数 f ( x) 的两个不同的零点,求 a 的值并证 明: x2 ? e . 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答。 注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做的第一题计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是 ? O 的直径,弦 BD、CA 的延长线 相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证: (I) ?DEA ? ?DFA; (II)AB =BE?BD-AE?AC.
2

3 2

E D

F A O B

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为 α 的直线 l: ?

? ? x=2+tcos? (t 为参数)与 ? ?y= 3+tsin?

曲线 C: ?

? x=2cos? (θ 为参数)相交于不同的两点 A,B. ?y=sin?

(Ⅰ)若 α =

?
3

,求线段 AB 中点 M 的坐标:

(Ⅱ)若|PA|·|PB|=|OP| ,其中 P(2, 3 ) ,求直线 l 的斜率.

2

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? 2 。 (I)画出函数 y=f(x)的图像; (II)若不等式 a ? b ? a ? b ? a f ( x ) , (a?0,a、b?R)恒成立,求实数 x 的范围.
5

参考答案 一.选择题 1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.C 11.B 12.D 二、填空题 13. 15°或 75° 14. 8 三、解答题 17、试题解析: 15. ① 16. 13

f ( x) ? 4 cos x(sin x cos

π π ? cos x sin ) 6 6

π ? 2 3 cos x sin x ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 --------------5 分 6 2π ?π (I) T ? --------------6 分 2
(II)? A, B, C 为 ?ABC 的内角,且 sin C ? 2 sin B,? c ? 2b ,--------------8 分 又 f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 1 是 f ( x ) 的最大值,

π 6

π π 11π π π π 2 A ? ? (? , ),? 2 A ? ? ,? A ? 6 6 6 6 2 3
2 2 2 在 ?ABC 中,由余弦定理得 b ? 4b ? 4b cos

--------------10 分

?
3

? 16
--------------12 分

? b2 ?

16 1 3 2 8 3 ? S?ABC ? bcsin A ? b ? 3 2 2 3

18、试题解析:

50 ? 400 ? 10 ,所以 a ? 1000 --------------2 分 400 ? 600 ? a 400 m ? ,解得 m ? 2 即 (Ⅱ)设抽取一个容量为 5 的样本中有 m 辆 A 类轿车, 根据分层抽样可得, 1000 5
(Ⅰ)由题意得, 样本中有 A 类 2 辆 B 类 3 辆, 分别记作 A1,A2,B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为 (A1,A2( )A1,B1), (A1,B2),(A1,B3) (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆 A 类轿车的基本事件有 7 个:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3) (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),,所以 从中任取 2 辆,至少有 1 辆 A 类轿车的概率为

7 . 10
-------------

-8 分

6

86 ? 83 ? 92 ? 91 352 85 ? 94 ? 92 ? 93 364 ? ? 88 , xB ? ? ? 91 , 4 4 4 4 4 ? 25 ? 16 ? 9 36 ? 9 ? 1 ? 4 2 2 ? 13.5 , sB ? ? 12.5 ,--------------11 分 所以 s A ? 4 4
(Ⅲ)由茎叶图得 x A ? 因为 12.5 ? 13.5 , 19、试题解析: (1)证明:∵点 E , F 分别是边 CD, CE 的中点, ∴ BD ∥ EF .--------------2 分 ∵菱形 ABCD 的对角线互相垂直,∴ BD ? AC .∴ EF ? AC . ∴ EF ? AO, EF ? PO ,--------------4 分 ∵ AO ? 平面 POA , PO ? 平面 POA , AO ? PO ? O , ∴ EF ? 平面 POA ,∴ BD ? 平面 POA ,∴ BD ? PA .--------------6 分 所以 B 类轿车成绩较稳定. --------------12 分

? (2)解:设 AO ? BD ? H 。连接 BO ,∵ ?DAB ? 60 ,

∴ ?ABD 为等边三角形,∴ BD ? 4, BH ? 2, HA ? 2 3, HO ? PO ? 3 , 在 RT ?BHO 中, BO ?

BH 2 ? HO2 ? 7 ,

2 2 2 在 ?PBO 中, BO ? PO ? 10 ? PB ,∴ PO ? BO .--------------8 分

∵ PO ? EF , EF ? BO ? O , EF ? 平面 BFED , BO ? 平面 BFED , ∴ PO ? 平面 BFED , 梯形 BFED 的面积 S ? --------------10 分

1 ( EF ? BD) ? HO ? 3 3 , 2 1 1 ∴四棱锥 P ? BFED 的体积 V ? S ? PO ? ? 3 3 ? 3 ? 3 .--------------12 分 3 3
20、试题解析: (1) 2b ? 2 , b ? 1 ,
2 2 ? ? x2 2 ?a ? 2 ?a ? c ? 1 +y =1 .----------4 分 由? 得? ,所以椭圆 E 的方程为 2 ? ?c ? 1 ?a ? c ? 2 ? 1 ?

7

(2)设点 A , B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,由题意可知直线 MA 的斜率存在, 设直线 MA 的方程为 y ?

2 =k (x ? 1) , 2

? 2 =k ( x ? 1) 2 ?y ? 由? 得 x 2 +2[kx +( ? k )]2 =2 , 2 2 ? x 2 +2y 2 =2 ?
(2k 2 +1)x 2 +4k ( 2 2 ? k )x+2( ? k ) 2 ? 2=0 , 2 2

(2k 2 +1)x2 +k (2 2 ? 4k )x+(1 ? 2k )2 ? 2=0 ----------7 分
1 ? x1 ? (1 ? 2k ) 2 ? 2 , 2k 2 ? 1 所以 x1 ? (1 ? 2k ) 2 ? 2 --------------8 分 2k 2 ? 1

因为

又因为直线 x ? 1 平分 ? AMB ,所以直线 MA , MB 的倾斜角互补,斜率互为相反数. 同理可得: x2 ?

(1 ? 2k ) 2 ? 2 ,--------------10 分 2k 2 ? 1

k AB

y ?y ? 1 2 ? x1 ? x2

kx1 ?

2 2 ? k ? (?kx2 ? ? k) 2 2 x1 ? x2
2 ? 4k 2 ? 4 ? 2k k (4k 2 ? 2) ? 2k (2k 2 ? 1) 2k 2 ? 1 ? ?4 2k ?4 2k 2 2k ? 1

?

k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? x1 ? x2

k?

2k 2 ? 1 ? (2k 2 ? 1) ?2 2 ? .--------------12 分 ? ? 2 ?2 2 ?2 2
21、试题解析: (Ⅰ)由已知得 x ? ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ?

1 1 ? ax , ?a ? x x ①若 a ? 0 ,则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 是区间 ? 0, ?? ? 上的增函数,无极值;----------2 分
②若 a ? 0 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ?

1 , a

在区间 (0, ) 上, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 是增函数, 在区间 ( ,??) 上, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 是减函数,

1 a

1 a

8

所以在区间 ? 0, ?? ? 上, f ? x ? 的极大值为 f ( ) ? ln

1 a

1 ? 1 ? ? ln a ? 1.----------5 分 a

综上所述, ①当 a ? 0 时, 函数 f ? x ? 的递增区间为 ? 0, ?? ? , 无极值; ②当 a ? 0 时, 函数 f ? x ? 的递增区间为 (0, ) ,递减区间是 ( ,??) ,函数 f ? x ? 的极大值为 f ( ) ? ? ln a ?1 .---------6 分 (Ⅱ)因为 f ( e ) ? 0 ,所以 所以 f ? x ? ? ln x ?
3

1 a

1 a

1 a

1 1 , ? a e ? 0 ,解得 a ? 2 2 e

1 2 e

x ,--------------8 分

又 f (e 2 ) ?

5 5 e2 3 e ? ? 0 , f (e 2 ) ? ? ? 0 , 2 2 2 2

所以 f (e 2 ) ? f (e 2 ) ? 0 ,--------------10 分 由(Ⅰ)函数 f ? x ? 在 (2 e ,??) 递减, 故函数 f ? x ? 在区间 (e , e ) 有唯一零点, 因此 x2 ? e 2 .
3

3

5

3 2

5 2

--------------12 分

选做题 22、 解:(I)连结 A D 因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°,又 EF⊥AB,∠EFA=90° 则 A、D、E、F 四点共圆 ∴∠DEA=∠DFA--------5 分 (II)由(I)知,BD?BE=BA?BF 又△ABC∽△AEF ∴
AB AC ? AE AF ---------7 分
F A O B E D

---4 分

即:AB?AF=AE?AC ∴ BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF =AB(BF-AF) =AB
2

C

--------------10 分 23.解析: (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程是
x2 ? ? y 2 ? 1 .当 ? ? 时,设点 M 对应的参数 4 3
9

1 ? x ?2? t ? x2 2 ? 为 t0 .直线 l 方程为 ? ( t 为参数) ,代入曲线 C 的普通方程 ? y 2 ? 1 ,得 4 3 ?y ? 3 ? t ? ? 2
13t 2 ? 56t ? 48 ? 0 ,设直线 l 上的点 A , B 对应参数分别为 t1 , t2 .

则 t0 ?

12 3 t1 ? t2 28 ). ? ? ,所以点 M 的坐标为 ( , ? 13 13 2 13

????????5 分

? x2 ? x ? 2 ? t cos ? (2) 将 ? 代入曲线 C 的普通方程 ? y 2 ? 1 , 4 ? ? y ? 3 ? t sin ?

得 (cos 2 ? ? 4sin 2 ? )t 2 ? (8 3 sin ? ? 4cos ? )t ? 12 ? 0 ,

12 , | OP |2 ? 7 , 2 cos ? ? 4sin ? 12 5 ? 7 ,得 tan 2 ? ? . 所以 2 2 16 cos ? ? 4sin ?
因为 | PA | ? | PB |?| t1t2 |?
2

由于 ? ? 32cos ? (2 3 sin ? ? cos ? ) ? 0 , 故 tan ? ?
5 5 .所以直线 l 的斜率为 . 4 4

?????????10 分

? 2 x ? 3 ( x ? 2) ? (1 ? x ? 2) 24.解:(I) f ( x ) ? ?1 ? 3 ? 2 x ( x ? 1) ?

--------2 分 -----4 分

图略 (II)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)

f (x) ?

a+b + a-b a

恒成立

只需

f (x) ? [

a+b + a-b a

]max

?

a+b + a-b a

?

a+b+a-b a

=2

? f (x) ?2

------7 分

?2x-3 ? 2 ?3-2x ? 2 ?解不等式 x -1 + x -2 ? 2,即? ,或1<x<2或 ? ?x ? 2 ?x ? 1

------10 分

10


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