安徽省郎溪中学2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题理


名师考前提醒
01 选择题做完就填答题卡 这是针对考试总会忘记填答题卡的考生, 为避免非智力因素失分, 一般每门一做完选择题就 填答题卡。这时填答题卡心态较平静,不会因为担心时间不够而出现涂写错位的情况。考试 成绩的好坏往往与考试的心情有关, 所以我们一定要调节好自己的考试心情。 特别是刚开始 的状态, 利用一些小的技巧如做完试题就填涂答题卡等, 这样可以避免在最后时间较紧的情 况下因匆忙而涂错、涂串或是没有涂完而造成遗憾。 02 考前看相关资料转换思维考英语前最好看看复习资料, 并不是要记住什么知识点, 而是让大 脑提前进入状态。 而数学试卷对一些学生来说比较发怵, 建议在心中回忆梳理一下相关知识 点,可驱使自己进入状态,效果不错。考试紧张,这是很正常的事情,考试不紧张,就不正 常了。但是不能过度紧张,那样会给自己很大的压力不利于水平的发挥。可以和同学聊一聊 天,说说话放松一下。 03 遇事都往好处想 看大题时,先不想该怎么做,只是看它如何表述,甚至跟自己说“这题我会做,第一问认真 看就能做对” ,让自己有一个平和的心态答题。即使是弱科,我们也要知足常乐,我只要把 会做的都做上,在一场考试中把会的都做对其实就是很好的发挥了。 时刻给自己打一打气,阿 Q 一下,这样把对自己的期待放低一些,心态就平稳了,也就高 兴了,这可以使得思路更顺畅,而超水平发挥也就很正常了。 04 别看他人答题的速度 考场上不要左顾右盼,观察别人做题的进度,万一人家比自己快,会给自己压力。在考场上 和比较熟悉的老师、 同学可以主动打个招呼。 即使是不认识的老师, 也可问候一声 “老师好” , 一般老师都会像老朋友似地回以微笑, 这可以缓解紧张的情绪。 这一些方法和措施都是很有 助于调节考试心态与考试情绪的。 有心理学家研究证明, 人在平稳的平稳或是心情高兴的时 候,智商最高,情商也不错,更容易发挥出自己的高水平来。 05 答题遇困难要镇静,巧用考前 5 分钟 这个问题是涉及到考试策略与方法的, 对于每一学科的考试, 我们都应该有自己的考试策略 和答题风格。即考试时间的规划,答题的原则,遇到问题时的心理准备与应对方法、如何调 节自己的在答题方案等等。计划不如变化快,我们的计划要随着试题的难易程度随时调整, 目的是在有限的时间里有质有量的完成每一道试题。要随机而动,在发卷后的 5 分钟里,要 先浏览一下第二卷的试卷结构和试题的分布、 难易程度等等, 初步制定出本试卷的答题计划 和答题顺序。先易后难,先熟后生,这就要充分利用这 5 分钟,做很好的规划。只有这样才 不至于把难度较大的先做而浪费了时间和精力。
1

安徽省郎溪中学 2018-2019 学年高二数学下学期第一次月考试题 理
时间:120 分钟;分值:150 分 (I 卷) 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、若 f ' ? x0 ? ? ?3 ,则 lim
h ?0

f ? x0 ? h ? ? f ? x0 ? 3h ? ? ( h
C. ?9 D. ?6

)

A. ?3 2.已知曲线

B. ?12 在点

处的切线的倾斜角为 ,则





A.

B.

C. 2

D.

1 1 3.数列{an}满足 a1=2,an+1=1-an,则 a2 019 等于( 1 A.2 B.-1 C.3 D.2

)

4.由直线 y ? 0, x ? e, y ? 2 x 及曲线 y ? A.3 B. 3 ? 2 ln 2

2 所围成的封闭的图形的面积为( x
D. e

)

C. 2e 2 ? 3

5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说: “是乙或丙获奖. ”乙说: “甲、 丙都未获奖. ”丙说: “我获奖了. ”丁说: “是乙获奖. ” 四位歌手的话只有两人说的是对的,则获奖的歌手是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 )

6、已知函数 y ? f ? x ?? x ? R ? 上任一点 x0 , f ? x0 ? 处的切线斜率 k ? ? x0 ? 2 ?? x0 ? 1? ,则
2

?

?

该函数的单调减区间为( A.

) B. ( ??, 2] C.

??1, ???
)

? ??, ?1? 、 ? ?1, 2?

D.

? 2, ?? ?

7. 用反证法证明命题: “若 a, b∈N, ab 能被 3 整除, 那么 a, b 中至少有一个能被 3 整除” 时,假设应为(

A.a,b 都能被 3 整除 C.a,b 不都能被 3 整除

B.a,b 都不能被 3 整除 D.a 不能被 3 整除

2

8. 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 等 于 2 , 则 双 曲 线 的 渐 近 线 与 圆 a 2 b2
) C.相交 D.不确定

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 的位置关系是(
A.相离 B.相切

9.函数

f ( x) ? sin x ? ln x

的部分图象为(

)

A.

B.

C.

D. )

10.已知函数 f ( x) = x3 + 3ax2 + bx + a 2 在 x =-1 处有极值 0 ,则 a 的值为( A.1 B.1 或 2 C.3 D.2

11.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B,交其准线 l 于点 C,若 F 是 AC 的中点,且 AF ? 4 ,则线段 AB 的长为 A. 5 12.定义在 (0, 立.则( B.6 C.

16 3

D.

20 3

?
2

) 上的函数 f ? x ? , f ' ? x ? 是它的导函数,且恒有 f ' ? x ? ? f ? x ? ? tan x 成



A. 3 f ( ) ? f ( ) C. 6 f ( ) ? 2 f ( )

?

?

?

6

3

B. 3 ? f ( ) ? 2 cos 1 ? f (1) D. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

?

6

?

6

4

4

3

(II 卷)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填在答题卷相应位置) 13.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则 a10+

b10=
14.若 l1:x+ay-1=0 与 l2:4x-2y+3=0 垂直,则

?

a

-a

( x 3 ? sin x ? 5)dx ?
3

15. 设 F 1, F2 是 双 曲 线 的值 | PF 1 | ? | PF 2| 为

x2 ? y 2 ? 1 的 两 个 焦 点 , 点 P 在 双 曲 线 上 , 且 PF 1 ? PF 2 ? 0. 则 4

16.若 f ( x) ? x3 ? 3x 对任意的 m ? [?2, 2] 有 f ? mx ? 2 ? ? f ? x ? ? 0 恒成立,则

x?



三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) . (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 y ? f ( x) 的极值.

1 1 1 18. (本小题满分 12 分)设 x≥1,y≥1,求证 x+y+xy≤x+y+xy.

19.(本小题满分 12 分)如图所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边 A 处, 乙厂与甲厂在海的同侧, 乙厂位于离海岸 40 km 的 B 处, 乙厂到海岸的垂足 D 与 A 相距 50 km. 两厂要在此岸边 A,D 之间合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每 千米 3a 元和 5a 元,则供水站 C 建在何处才能使水管费用最省?

4

(a a? ? 0) 0) 为奇函数,且在 x ? ?1 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (
处取得极值. (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? (m ? 2) x ? x 2 (e x ?1) 对于任意的 x ? [0, ??) 恒成立,求实数 m 的 取值范围.

y2 x2 2 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 离心率为 ,其上焦点到直 a b 2
线 bx + 2ay -

2 = 0 的距离为

2 . 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P( , 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点.试探究以线段 AB 为直径的圆是否过 定点?若过,求出定点坐标,若不过,请说明理由.

1 3

22.(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ln x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x . (1)求 a 和 b 实数的值; (2)设 F ( x) ? f ( x) ? x 2 ? mx(m ? R) , x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) 分别是函数 F ( x ) 的两个 零点,求证 F ' ( x1 x2 ) ? 0 .

5

6

参考答案 一、选择题: 1、B, 2、B,3、D,4、A,5、C,6、B,7、B,8、A,9、A,10、D,11、C ,12、A 二、填空题: 13.123 三、解答题: 17. 解:(1).函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??), f ?( x) ? 1 ? 当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 ln x, f ?( x) ? 1 ? ∴ f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 14. -20 15.2 16. (-2,2/3)

a ,..............1 分 x

2 ( x ? 0) , x
..............3 分

∴ y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) , 即x? y?2 ?0 (2).由 f ?( x) ? 1 ? ..............4 分

a x?a ? , x ? 0 可知: x x

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x ) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a , ∵ x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?( x) ? 0 ∴ f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值, 且极小值为 f (a) ? a ? a ln a ,无极大值. 综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值. 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值...............10 分 ..............8 分 ..............6 分

1 1 1 18. 【证明】 由于 x≥1,y≥1, 要证 x+y+xy≤x+y+xy, 只需证 xy(x+y)+1≤y+x+(xy) ...............3 分 因为左式-右式=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)..............6 分 =(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1),..............9 分
7
2

因为 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立. ..............12 分

19.解: 设 C 点距 D 点 x km,则 AC=50-x(km),..............2 分 所以 BC= BD +CD = x +40 (km). 又设总的水管费用为 y 元, 依题意,得 y=3a(50-x)+5a x2+402(0<x<50)...............6 分 5ax y′=-3a+ x2+402. 令 y′=0,解得 x=30. ..............8 分 .............. 10 分
2 2 2 2

..............

4分

在(0,50)上,y 只有一个极小值点,根据问题的实际意义,函数在 x=30 km 处取得最 小值,此时 AC=50-x=20(km). 故供水站建在 A,D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省...............12 分 20.(I)

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 为奇函数

? b ? d ? 0 ..................1 分

? f '( x) ? 3ax 2 ? c

f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值 ∴ f ' (?1) ? 3a ? c ? 0∴c ? ?3a ..................2 分
∴ f ' ( x) ? 3a( x 2 ? 1) …………………………3 分

a ? 0 时, f ( x) 在 (??,?1) 递增, (?1,1) 递减, (1,??) 递增...................5 分
(2)当 a ? 1 时,

f ? x ? ? ? m ? 2 ? x ? x 2 (e x ? 1)

? x3 ? 3x ? (m ? 2) x ? x 2 (e x ? 1) ∴ ? m ? 2 ? x ? x 2 ? e x ? 1? ? x3 ? 3x ....................6 分
当 x ? 0 时, m ? R .........................................7 分 当 x ? 0 时,? m ? 2 ? xe ? x ? x ? 3 ? m ? x e ? x ? 1 ? 1 ....................8 分
x 2 x
x 设 h ? x? ? e ? x ?1

?

?

h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 h '( x) ? e x ? 1 ? 0 .......................9 分
? h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 递增,

? g ( x) ? x ? e x ? x ? 1? ? 1 ? 1

从而 m ? 1

? 实数 m 的取值范围为 (??,1] ……………………………………12 分

8

21.解:(1) 由题意, e =

a 2 - b2 1 c 2 2 , e = = ,所以 a = 2b , c=b . = a2 2 a 2



2ac 2

2
2

4a + b

=

2, (a ? b ? 0) ,所以 b= 1 , a 2=2 , 3
y2 + x 2 = 1 ..............4 分 2
1 3 16 9

故椭圆 C 的方程为

2 2 (2)当 AB ? x轴 时,以 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? ) ? y ?

当 AB ? y轴 时,以 AB 为直径的圆的方程为 x 2+y 2= 1.

,. 可得两圆交点为 Q - 10 , ...............6 分 可知,若以 AB 为直径的圆恒过定点,则该定点必为 Q - 10 , 符合题意. 下证 Q - 10
设直线 l 的斜率存在,且不为 0,则方程为 y ? k ( x ? ) ,代入
2 2 并整理得 k + 2 x -

(

)

(

)

(

)

1 3

y2 + x2 = 1 2

(

)

2 2 1 2 k x+ k - 2=0, 3 9

设 A x1,y1 , B x2,y2 ,

(

)

(

)

+x2= 则 x1

2k 2 k 2 - 18 x x = , 1 2 ,..............8 分 3 k2 +2 9 k2 +2

(

)

(

)

所以 QA ? QB ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 =

1 1 =x1 x2+x1 + x2 +1+ k 2 ( x1 ? )( x 2 ? ) 3 3 1 2 1 2 2 = (1 ? k ) x1 x 2 ? (1 ? k )( x1 ? x 2 ) ? 1 ? k 3 9

=1 +k 2

(

) (

k 2 - 18 2k 2 1 2 + (1 ? k ) 9 k2 +2 3 k2 +2 3

)

(

)

1 +1 + k 2 = 0 ..............10 分 9

, 在以 AB 为直径的圆上. 故 QA ? QB ,即 Q - 10 , ..............12 分 综上,以 AB 为直径的圆恒过定点 - 10
2 ? a , f ?( x) ? 2 x ? a ? 22 : 解 : ( I ) 由 f ( x) ? x , 得 f (1)? 1 ? ax? b ln x

(

)

(

)

b , x
9

f ?(1) ? 2 ? a ? b , 所 以 曲 线 y ? f ( x) 在 点 处 ?1, f (1) ? 的 切 线 方 程

y ? ? 2 ? a ? b?? x ?1? ? ?1 ? a ? (*).
将方程(*)与 y ? 2 x 比较,得 ? 解得: a ? 1 b ? ?1 .

? ?2 ? a ? b ? 2 , ? ?? ? 2 ? a ? b ? ? ?1 ? a ? ? 0 .
…5 分

2 2 2 (II) F ( x) ? f ( x) ? x ? mx ? x ? x ? ln x ? x ? mx ? ? m ? 1? x ? ln x .

?

?

因为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 分别是函数 F ( x) 的两个零点,所以 ? 两式相减,得 ? m ?1?? x1 ? x2 ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? 0 , 所以 m ? 1 ?

? ?? m ? 1? x1 ? ln x1 ? 0 , ? ?? m ? 1? x2 ? ln x2 ? 0 ,

ln x1 ? ln x2 . x1 ? x2
1 , x

……… 7 分

因为 F ?( x) ? m ? 1 ? 所以. F ?

?

x1 x2 ? ? m ? 1? ?

?

ln x1 ? ln x2 1 1 ? ? . x1 ? x2 x1 x2 x1 x2

要证 F ?

?

x1 x2 ? 0 ,即证

?

ln x1 ? ln x2 1 ? ? 0. x1 ? x2 x1 x2
x1 ? x2 x x ? 0 ? ln 1 ? 1 ? x2 x2 x1 x2 x2 ?0. x1

因 0 ? x1 ? x2 ,故又只要证 ln x1 ? ln x2 ?

令t ?

x1 1 ??0 , 1? ,则即证明 2 ln t ? t ? ? 0 . t x2
2

1 ? ? t ? 1? 令 ? (t ) ? 2 ln t ? t ? , 0 ? t ? 1 ,则 ? ?(t ) ? 2 ? 1 ? 1 ? ? 0. 2 2 t

t

t

t

1? 上单调递减,所以 ? (t ) ? ? (1) ? 0 , 这说明函数 ? (t ) 在区间 ? 0 ,
即 2 ln t ? t ? ? 0 成立. 由上述分析可知 F ?

1 t

?

x1 x2 ? 0 成立

?

………… 12 分

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