广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学(文)试题(WORD版)


绝密★启用前

试卷类型:A

汕头市 2013 届高三上学期期末统一检测 文科数学
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第一部分(选择题

满分 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {2, a, b} ,若 A∩B ? {1,3} ,则 a ? b 的值是( A.10 B.9 C.4 D.7 ).

2.如图在复平面内,复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 OA, OB , 则复数 z1 ? z 2 的值是( A. ? 1? 2i ). C. 1? 2i D. 1? 2i

B. ? 2 ? 2i

3.若点 (9, a ) 在函数 y ? log 3 x 的图象上,则 tan A.0 B.

a? 的值为( ). 6
D. 3

3 3

C.1

4.若向量 a ? (2,0), b ? (1,1) ,则下列结论正确的是( ). A. a ? b ? 1 B. | a |?| b | C. (a ? b) ? b D. a // b

5.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量 为 n 的样本,其频率分布直方图如图所示,其 中支出在[50,60)元的 同学有 30 人,则 n 的值为( ). A.100 B.1000 C.90 D.900 6.如图正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是底 面的中心)P-ABCD 的底面边长为 6cm,侧棱长为 5cm,则它的侧视图的周长等于( ). A.17cm B. 119 ? 5cm C.16cm D.14cm

? x ? y ? 0, ? 7.若实数 x,y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ?| x ? 3 y | ?0 ? x ? 1, ?
的最大值为( ). A.6 B.5 C.4 D.3

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8.按如图所示的程序框图运行程序后,输出的结果是 15, 则判断框中的整数 H=( ). A.3 9.给出下面结论:
2 ①命题 p “?x0 ? R, x0 ? 3 x0 ? 2 ? 0” 的否定为 :

B.4

C.5

D.6

?p “?x ? R, x 2 ? 3x ? 2 ? 0” :
②函数 f ( x) ? 2 ? 3 x 的零点所在区间是(-1,0);
x

③函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

?
3

个单位后,得到函数

y ? sin( 2 x ?

?
3

) 图象;

④对于直线 m,n 和平面 ? ,若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? . 其中正确结论的个数是( A.1 10.定义 ). B.2 C.3 D.4

n 为 n 个正数 p1 , p 2 ,? p n 的“均倒数”.若已知数列 {an } 的前 n 项 p1 ? p2 ? ? ? pn

的“均倒数”为

a ?1 1 1 1 1 ,又 bn ? n ,则 =( ? ??? 2n ? 1 4 b1b2 b2b3 b10b11
B.

).

A.

1 11

9 10

C.

10 11

D.

11 12

第二部分

(非选择题

满分 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.已知 2 ?

4 4 2 2 3 3 a a ? 2 , 3? ? 3 , 4 ? ? 4 ,?? ,若 6 ? ? 6 , (a, t 3 3 8 8 t t 15 15

均为正实数),类比以上等式,可推测 a,t 的值,则 a ? t =_________. 12.已知: cos(

?
6

? a) ?

? 5? 3 ,则 sin 2 (a ? ) ? cos( ? a ) 的值为________. 3 6 6

13.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , x ? [0,2] 时,f ( x) ? log 2 ( x ? 1) , 且 甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲: f (3) ? 1 ;乙:函数 f (x) 在 [?6,?2] 上是减 函数;丙:函数 f (x) 关于直线 x=4 对称;丁:若 m ? (0,1) ,则关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0

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在[0,6]上所有根之和为 4.其中结论正确的同学是____. (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的 得分. 14.(几何证明选讲)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,

CD ? AB
于点 D,且 AD=3DB,设 ?COD ? ? ,则 tan 2

?
2

=________.

15.(坐标系与参数方程)已知直线 l : ? cos ? ? ? sin ? ? 4 , 圆 C : ? ? 4 cos ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系是________. (相交或相切或相离?) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级,现从—批该零件中随机抽取 20 个, 对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n (1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n 的值; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件 等级不相同的概率.

17.(本小题满分 12 分) 已知:函数 f ( x) ?

3 sin 2?x ? 2 sin 2 ?x 的最小正周期为 3? .

(1)求函数 f (x) 的解析式; (2)在 ?ABC 中,若 f (C ) ? 1 ,且 2 sin B ? cos B ? cos( A ? C ) ,求 sin A 的值.
2

18.(本小题满分 14 分) 已知正项等差数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a 3 , a 7 ? 2,3a 9 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 {an } 的前 n 项和为 S n , f (n) ?

Sn ,试问当 n 为何值时, f (n) 最大,并求 (n?18) Sn?1

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出 f (n) 的最大值. 19.(本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,平面 ACE ? 平面 ABCD,四边形 ABCD 为平行四边形,

?ACB ? 90? , EF // BC , AC ? BC ? 2
AE=EC=1. (1)求证: AE ? 平面 BCEF; (2)求三棱锥 D-ACF 的体积.



20.(本小题满分 14 分) 某种上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)、日交易量 Q(万股)与时间 t(天) 的对应关系分别如下:[有序数对(t,P)落在图甲中的折线上,日交易量 Q(万股)与时间 t (天)的部分数据如表乙所示.]

(1)根据图甲的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关 系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求这 30 天中第几 天日交易额最大,最大值为多少? (注:各函数关系式都要写出定义域.)

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a )e ? (a ? 1) x ? a , a ? R .(注:e 为自然对数的底数.)
x

(1)当 a ? 1 时,球的单调区间; (2)(i)设 g (x) 是 f (x) 的导函数, 证明: a ? 2 时, (0,??) 上恰有—个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 当 在

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(ii)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ? [0,2] ,恒有 f ( x) ? 0 成立.

参考答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度映定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一.选择题: 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 A 6 D 7 B 8 A 9 B 10 C

二.填空题: 11.-29. 12.

2? 3 . 3

13.甲、乙、丁.

14.

1 . 3

15.相交

解答过程分析: 10.选 D.解析:由已知得

n 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an 2n ? 1

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n(2n ? 1) ? S n
当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 4n ? 1 当 n ? 1 时也成立,? a n ? 4n ? 1

? bn ?
?

an ? 1 4

? n, ?

1 1 1 ? ? bn ? bn ? 1 n n ? 1

1 1 1 1 1 10 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? . ? ??? 2 2 3 10 11 11 b1b2 b2b3 b10b11

11.填-29.解析:类比等式可推测 a ? 6, t ? 35 ,则 a ? t ? ?29.

12.填

2? 3 。解析: 3

? ? 3 2 5? ? ? 3 ? sin 2 (? ? ) ? 1 ? cos 2 ( ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? , cos( ? ? ) ? cos[? ? ( ? ? )] ? ? cos( ? ? ) ? ? 3 3 6 6 3 6 6 6

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? 5? 2 3 2? 3 . ? sin 2 (? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? ? 3 3 6 6 3
13.填甲、乙、丁. 解析: f (x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,则 f (x) 的最小正周期 T ? 8 , 又 x ? [0,2] 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,且定义在 R 上 f (x) 是奇函数,则 f (x) 大致图像如 下:

故甲、乙、丁正确. 14.填

1 . 3
3 1 3 r ,从而 r , BD ? r ,由 CD 2 ? AD ? BD 得 CD ? 2 2 2

解析:设半径为 r,则 AD ?

??

?
3

,故 tan 2

?

1 ? . 2 3

15.填相交。 解析:法一:在极坐标系中,点(4,0)和 (0, 和 (4,?

?
2

) 为圆直径端点,作圆 C,又过两点(4,0)

?
2

) 作直线 l,可得圆与直线相交.

法二:方程②代入①得 4 cos 2 ? ? 4 cos ? sin ? ? 4 ,?1 ? cos 2? ? sin 2? ? 2 ,

sin(

?
4

?? ) ?

2 ,在 [0,2? ] 内有两解,∴直线与圆相交。 2
2 2 2 2

法三:圆 C 的直角坐标方程是 x ? y ? 4 x ,即 ( x ? 2) ? y ? 4 .圆心 C(2,0),半 径 r=2 直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . 所以圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

|2?0?4| ? 2 ?r ?2. 2
…2 分

三.解答题: 16.解:(1)由频率分布表得: 0.05 ? m ? 0.15 ? 0.35 ? n ? 1,? m ? n ? 0.45 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,则 n ?

2 ? 0.1, ? m ? 0.45 ? 0.1 ? 0.35 .…5 分 20 (2)由(1)得等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1 , x2 , x3 ,等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1 , y2

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从 x1 , x 2 , x 3 , y1 , y 2 中任取 2 个零件, ( x 1 , x 2 ), ( x 1 , x 3 ), ( x 1 , y 1 )( x 1 , y 2 ), ( x 2 , x 3 ), ( x 2 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) 有

( x3 , y1 ), ( x3 , y2 ), ( y1 , y2 ) 共 10 种

…………8 分

记事件 A 为“从 x1 , x 2 , x 3 , y1 , y 2 中任取 2 个零件, 其等级不相同”, A 包含的基本事件是 则

( x1 , y1 )( x1 , y 2 )( x 2 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), ( x 3 , y1 )( x 3 , y 2 ) 共 6 个
所求概率 P ( A) ? 17.解:

………10 分 …………12 分

6 3 ? 10 5

(1) f ( x) ? 3 sin 2?x ? 2 sin 2 ?x ?

? 3 sin 2?x ? 1 ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? ) ? 1 …3 分 6 2? 1 依题意:函数 f (x) 的周期为 3? ,即 ……5 分 ? 3? ,? ? ? , 2? 3 2x ? ……6 分 f ( x) ? 2 sin( ? ) ? 1 3 6
2C ? ? ) ?1 ? 1 3 6
? sin( 2C ? ? ) ? 1, 3 6
……8 分

(2)? f (C ) ? 2 sin(

? C ? (0, ? ),?

2C ? ? 5? 2C ? ? ? ? ? ( , ) ,? ? ? ,? C ? . 3 6 2 2 3 6 6 6

在 Rt?ABC 中,? A ? B ?

?
2

,2 sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C )

? 2 cos 2 A ? sin A ? sin A ? 0 ,即 sin 2 A ? sin A ? 1 ? 0 ,解得: sin A ?

?1? 5 2 ……11 分

? 0 ? sin A ? 1,? sin A ?

5 ?1 . 2

…………12 分

(注:17 题原题题干后面加上条件“ ? ? 0 ”。) 18.解:(1)设公差为 d,则 a 3 ? 1 ? 2d , a 7 ? 1 ? 6d , a 9 ? 1 ? 8d …………2 分 …………3 分 …………6 分

? a 3 , a 7 ? 2,3a 9 成等比数列,? (3 ? 6d ) 2 ? 3(1 ? 2d )(1 ? 8d ) ? 2d 2 ? d ? 1 ? 0,? d ? 0 ,? d ? 1,? a n ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n .
(2)? an ? n, S n ?

Sn n n(1 ? n) ? ,? . Sn ?1 n ? 2 2

…………8 分

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? f ( n) ?

n n Sn ? ? 2 ? (n ?18) S n ?1 (n ? 18)(n ? 2) n ? 20n ? 36
36 1 ,即 n ? 6 时, f (n) 取得最大值 . n 32

1 1 1 ? ? ……12 分 36 12 ? 20 32 n ? ? 20 n
………14 分

当且仅当 n ?

19.解:(1)∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE

? 平面 ABCD=AC
………2 分 …………3 分 …4 分 ……6 分

? BC ? AC BC ? 平面 BCEF AE ? 平面 AEC ? BC ? AE ,
又 AC ?

? BC ? 平面 AEC

2 , AE ? EC ? 1

? AC 2 ? AE 2 ? CE 2

? AE ? EC

且 BC ? EC ? C ,? AE ? 平面 ECBF.

(2)设 AC 的中点为 G,连接 EG,? AE ? CE ∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE

? EG ? AC

……7 分

? 平面, ABCD ? AC ,
? BC ? EG ,……8 分
………9 分

? EG ? 平面 ABCD ………9 分 (法二:由(1)可知 BC ? 平面 AEC,? EG ? 平面 AEC
又 AC

?BC ? C

? EG ? 平面 ABCD.

? EF // BC , EF ? 平面 ABCD, ?
所以点 F 到平面 ABCD 的距离就等于点 E 到平面 ABCD 的距离 即点 F 到平面 ABCD 的距离为 EG 的长 …………………11 分

1 ?VD? ACF ? VF ? ACD ? VE ? ACD ? s?ACD EG 3 ? S ?ACD ? 1 1 AC ? AD ? ? 2 ? 2 ? 1 2 2

EG ?

1 2 AC ? 2 2

…………13 分

1 2 2 ? VD ? ACF ? ?1? ? 2 6 3
20.解:(1)设 P (t ) ? ?

即三棱锥 D-ACF 的体积为

2 . …………14 分 6

k t ? b1 ?k t ? b 2 ? 2
? ? 1

(0?t ?20,t?N *) ,依题意及由图象甲可得: (20?t ?30,t?N *)

?b1 ? 2 ?20k 2 ? b2 ? 6 及? ? ?20k1 ? b2 ? 6 ?30k 2 ? b2 ? 5

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?b2 ? 8 ?b1 ? 2 ? ? 解得: ? 1 1 及? ?k1 ? 5 ?k 2 ? ? 10 ? ?

……4 分

?1 (0 ? t ? 20, t ? N *) ? 5t?2 ? 故所求 P 满足的函数关系式 P (t ) ? ? t ?? ? 8 (20 ? t ? 30, t ? N *), ? 10 ?
(2)依题意设 Q(t ) ? k3t ? b3 ,0 ? t ? 30, t ? N * ,把前两组数据代入得: ?

…………5 分

?4k 3 ? b3 ? 36 ?10k 3 ? b3 ? 30

解得: ?

?k3 ? ?1 , ?b3 ? 40
……8 分

故 Q 的一次函数关系式是 Q(t ) ? ?t ? 40,0 ? t ? 30, t ? N * (3)依题意:当 0 ? t ? 20, t ? N * 时, y ? ( t ? 2)(?t ? 40) ? ?

1 5

1 (t ? 15) 2 ? 125 5 1 10 (t ? 60) 2 ? 40

当 20 ? t ? 30, t ? N * 时, y ? (?

1 10

t ? 8)(?t ? 40) ?

? 1 2 ?? 5 (t ? 15) ? 125(0 ? t ? 20, t ? N *) ? 故 y 关于 t 的函数关系式: y ? ? ,………12 分 ? 1 (t ? 60) 2 ? 40(20 ? t ? 30, t ? N *) ?10 ?
若 0 ? t ? 20, t ? N * ,则 t ? 15 时, y max ? 125 (万元) 若 20 ? t ? 30, t ? N * ,则 y ?

1 (20 ? 60) 2 ? 40 ? 120 (万元) 10
……14 分
x x

∴第 15 天日交易额最大为 125 万元. 21.解:解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1)e ? 1,? f ( x) ? xe

…………1 分

? e x ? 0 ,令 f ' ( x) ? 0 得: x ? 0 ;令 f ' ( x) ? 0 得: x ? 0
所以函数 f (x) 的减区间是 (??,0) ;增区间是 (0,??) (2)(i)证明: …………3 分

? g ( x) ? f ' ( x) ? e x ( x ? a ? 1) ? (a ? 1),? g ' ( x) ? e x ( x ? a ? 2)
? a ? 2,? a ? 2 ? 0 ,且 e x ? 0, x ? 0 ,

………4 分

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令 g ' ( x) ? 0 得: 0 ? x ? a ? 2 ;令 g ' ( x) ? 0 得: x ? a ? 2 则函数 g (x) 在 (0, a ? 2) 上递减;在 (a ? 2,??) 上递增 ………6 分

? g (0) ? 0,? g (a ? 2) ? 0 ,又 g (a) ? e a ? a ? 1 ? 0
所以函数 g (x) 在 (0, a ? 2) 上无零点,在 (a ? 2,??) 上有惟一零点 因此在 (0,??) 上恰有一个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 .
x

…………8 分

(ii)若 a ? 2 ,则 ? a ? 2 ? 0 ,对 ?x ? [0,2], g ' ( x) ? e ( x ? a ? 2) ? 0 恒成立, 故函数 g (x) 在 [0,2] 上是增函数, g ( x) ? g (0) ? 0 ,因此函数 f (x) 在 [0,2] 内单调递增, ? 而 f (0) ? 0 ,? f ( x) ? f (0) ? 0 ,不符题意。 ………10 分

?a ? 2 ,由(i)知 f (x) 在 (0, x0 ) 递减, ( x0 ,??) 递增,
设 f (x) 在[0,2]上最大值为 M,则 M ? max{ f (0), f (2)} , 故对任意的 x ? [0,2] ,恒有 f ( x) ? 0 成立等价于 ?

? f (0) ? 0 , ? f (2) ? 0

……12 分

由 f (2) ? 0 得: (2 ? a )e ? 2a ? 2 ? a ? 0 ,? a ?
2

2e 2 ? 2 4 ? 2? 2 ? 2, 2 e ?3 e ?3
……14 分

又 f (0) ? 0 ,? a ?

2e 2 ? 2 。 e2 ? 3

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