3.1.2 空间向量及其加减与数乘运算


浙江省玉环县楚门中学吕联华

一、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.

2.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b ? o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a ? ?b
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

如图,l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线, 若点P是直线l上任意一点,则

a
A l

a
B

P

? 由 l // a 知存在唯一的t, 满足 AP ? t a
对空间任意一点O,

AP ? OP ? OA,
即 若在l上取

? 所以 OP ? OA ? ta
① O

? OP ? OA ? ta

AB ? a 则有
OP ? OA ? t AB


①和②都称为空间直线的向量表示式,空间任意直线由空间 一点及直线的方向向量唯一决定.

由此可判断空间任意三点共线。.

OP ? OA ? t AB
进一步,OP还可表示为:
1-t OA ? ____ t OB OP ? ____
因为 所以

a
B

P

A

AB ? OB ? OA,

OP ? OA ? t(OB ? OA)
? (1 ? t)OA ? tOB

O

1 特别的,当t= 时,则有 2
1 OP ? (OA ? OB) 2

P点为A,B 的中点

3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线

AP ? t AB
OP ? OA ? t AB

OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)
中点公式:

1 若P为AB中点, 则 OP ? OA ? OB 2
B
P A O

?

?

二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.

b c a

d

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量 既可能共面,也可能不共面

那么什么情况下三个向量共面呢?

? ? a e2 ? e1

? ? e2 由平面向量基本定理知,如果 e1,

是平面内的两个不共线的向量,那么 ? 对于这一平面内的任意向量 a ? ,有且 ? ?2 使a ? ?1e1 ? ?2e2 只有一对实数 ?1 ,

如果空间向量 共 面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则 有 p ? x? ? yb

? p 与两不共线向量 a , b

? a , 反过来,对空间任意两个不共线的向量 ,如 b ? 果 p ? x? ? yb,那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系?

b

C

p

P

A aB

? xa, yb分别与a, b共线,

?xa, yb都在a, b确定的平面内

并且此平行四边形在 a, b确定的平面内,

?p ? xa ? yb在a, b确定的平面内 ,即p与a, b共面

? 2.共面向量定理:如果两个向量 a , b 不共线, ? 则向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是
存在实数对x,y使

p ? xa ? yb

推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使

AP ? x AB ? y AC
C
p

P

b

A a B

对空间任一点O,有OP ? OA ? x AB ? y AC
p



b

C

P

A a B
O

填空:OP ? (_____) y OC 1-x-y OA ? (____) x OB ? (____)

③式称为空间平面ABC的向量表示式,空间中任意 平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.

由此可判断空间任意四点共面

3.空间四点P、A、B、C共面
? 存在唯一实数对(x , y) , 使得AP ? x AB ? y AC

OP ? OA ?xAB ? y AC
? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中,x ? y ? z ? 1)
C'
b
C

p

P

A a B

O

例1、给出以下命题:
(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同; (2)若空间向量

a、 b 满足| a |?| b |,则 a ? b



(3)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,必有 AC ? AC ; 1 1
(4)若空间向量 m 、 n、 p 满足 m ? n, n ? p ,则 (5)空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3

m? p



C )
D.4

例2: B 1.下列命题中正确的有:
(1) p ? xa ? yb  ? p与 a 、 b 共面 ;
(2) p 与 a 、 b 共面 ? p ? xa ? yb  ;
(3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A、B共面;

(4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任 1 1 意一点O, OM ? xOA + OB + OC ,则x 3 3 的值为:D

A. 1

B. 0

C. 3

1 D. 3

3.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?

2 1 2 (1) OP ? OA ? OB ? OC ; 5 5 5

(2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC ;

例3. 如图,已知平行四边形ABCD,过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD, 在四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使 O OE OF OG OH

求证:

OA

?

OB

?

OC

?

OD

? k,

D
B H F

C
G

A ⑴四点E、F、G、H共面;

⑵平面EG//平面AC.
E

例3已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:①四点E、F、G、H共面; ②平面AC//平面EG. 证明: ∵四边形ABCD为 ① ∴AC ? AB ? AD (﹡)
D

O

EG ? OG ? OE? kOC ? kOA

C

? k (OC ? OA)? kAC ? k ( AB ? AD) (﹡)代入 ? k (OB ? OA ? OD ? OA)

A
H

B
G

? OF ? OE ? OH ? OE E F ? EF ? EH 所以 E、F、G、H共面。

例3已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:①四点E、F、G、H共面;

②平面AC//平面EG。
证明: ② EF

? OF ? OE ? kOB ? kOA

O

? k (OB ? OA) ? kAB 由①知 EG ? kAC
? EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得:

D

C

A
H E

B
G

面EG // 面AC

F

小结
共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 行或重合 叫做共面向量.
定理 ? ? ?

? a // b (a ? 0)

? a ? ?b

? ? ? a b

p

共面

p ? x? ? yb

推论

OP ? OA ? t AB

OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

? OP ? xOA ? yOB ? zOC ? 0 ( x ? y ? z ? 1)

OP ? OA ?x AB ? y AC

运用 判断三点共线,或两 判断四点共面,或直线 直线平行 平行于平面


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