北京市东城区第65中学2018届高三上学期期中考试数学理试题 含解析 精品


北京市第六十五中学 2017-2018 学年度第一学期期中达标测

试题

高三数学理科试卷
一、选择题:本大题共 14 小题.每小题 4 分,共 56 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合



,则

( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】有由题意可得:





( -2,3 ] .

本题选择 B 选项.

2. 极坐标方程

表示的圆的半径是( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】将极坐标方程

两边同乘 ,得



化为直角坐标方程为



整理得



所表示圆的半径 。选 .

3. 下列函数中,既是偶函数,又在区间 上单调递增的是( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】由题意知选项 , , , 中的函数均为偶函数,但只有选项 中的函数在 增。选 . 4. 执行如图所示的程序框图,若输入的 值为 ,则输出的 值为( ).

上单调递

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依次运行程序框图,可得,

第一次:x=1+5=6,不满足条件,k=1;

第二次:x=6+5=11,不满足条件,k=2;

第三次:x=11+5=16,不满足条件,k=3;

第四次:x=16+5=21,不满足条件,k=4;

第五次:x=21+5=26,满足条件,程序终止。输出 k=4。

选 B。

5. 设, 是两个向量,则“ ”是“

且 ”的( ).

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由“ ”可推出“



的充分而不必要条件。选 .

”;但反之不成立。所以“

”是“

6. 若





,则, ,的大小关系是( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】∵







且”



。选 .

7. 命题“



”的否定是( ).

A.



B.



C.



D.



【答案】A

【解析】由特称命题的否定知,命题“



选.

8. 要得到函数

的图象,只需要将函数

”的否定是“



的图象( ).

”。

A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位

C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位

【答案】B

【解析】∵



∴将函数

的图象向右平移 个单位,可得函数

的图象。选 .

9. 已知偶函数 在

上递增,且

,则实数 的取值范围( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】∵偶函数 在

单调递增,

∴在

上单调递减,



,即







解得 或 .选 .

10. 设

的内角 , , 所对的边分别为, ,,若

状为( ).

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

【答案】B

【解析】 由题意得,因为



,则

的形

由正弦定理得

,所以



可得

,所以 ,所以三角形为直角三角形,故选 B.

11. 函数

的图象大致为( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】当 时,

,排除 ;





故该函数是奇函数,排除 ;

又当 时,

,排除 .

选.

12. 已知函数

图象如图所示,则下列关于函数 的说法

中正确的是( ).

A. 对称轴方程是

B. 对称中心坐标是

C. 在区间 上单调递增 D. 在区间

上单调递减

【答案】D

【解析】由图知 ,

,故 .





又图象过点 ,∴



∵ ,∴ ,





对于选项 A,由

,得对称轴为

,故 不正确;

对于选项 B,由



,得对称中心为

, ,故 不正确;

对于选项 C,由

,得

,故 在区间

上不单调,故 不正确;

选 D。

13. 光线通过一块玻璃,强度要损失 .设光线原来的强度为 ,通过 块这样的玻璃以后

强度为 ,则经过 块这样的玻璃后光线强度为:

,那么至少通过( )块这样

的玻璃,光线强度能减弱到原来的 以下(





A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】光线经过 块玻璃后,强度变为

光线经过 块玻璃后,强度变为

……

光线经过 块玻璃后,强度变为



由题意

,即



, ,

两边同取对数,可得















所以至少通过 块玻璃,光线强度能减弱到原来的 以下。选 .

点睛:

对于本题中的问题,在实际问题中常用指数函数模型

(其中 N 是基础数,p 为增

长率,x 为时间)或幂函数模型

(其中 a 为基础数,x 为增长率,n 为时间)求解.解

题时往往用到对数运算,要注意结合已知条件中给定的值对应求解.

14. 设 与 是定义在同一区间 上的两个函数,若函数

( 为函数 的

导函数),在 上有且只有两个不同的零点,则称 是 在 上的“关联函数”,若

,是

在 上的“关联函数”,则实数 的取值范围是( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】由

,得



∵与 在 ∴

上是关联函数, 在

上有且只有两个不同的零点,



,解得



∴实数 的取值范围是

。选 .

点睛:

(1)本题是新信息问题,即在给出的“关联函数”的基础上,将问题转化为构造的函数在

给定区间上有且仅有两个零点的问题解决,体现了数学中转化思想的运用。

(2)对于二次函数的零点问题,可以采用根与系数的关系和判别式解决;比较复杂的题目,

可利用二次函数的性质结合图象寻求条件,根据二次方程根的分布转化为不等式(组)求解.

二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.将答案填在题中横线上.

15. 设 ,若

,则 __________.

【答案】-2

【解析】∵



∴.

答案:-2

16. 定积分

__________.

【答案】

【解析】



答案: 17. 在三角形 【答案】2

中, 为 边上中点,

,则 __________.

【解析】试题分析:由于在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,可得

,而



因此可知实数=2,故答案为 2. 考点:向量的加减法的法则 点评:本题考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,中点公式的应用,得到

,是解题的关键

18. 在

中,

,① __________;②若

,则

_______.

【答案】 (1).

(2).

【解析】①由

,得

,整理得



所以



②由①得



所以



答案: ① ②

【答案】 (1).

(2).

【解析】∵角 与角 的终边关于 轴对称,











,且







答案:(1). (2).

20. 若函数

在 上递增,则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】本题考查导数及函数的单调性







函数

在 上递增,令

在 上恒成立,即

在在 上恒成立.



,则



恒成立,所以有



解得

21. 已知函数 的定义域为 , , ,若此函数同时满足:

①当

时,有

;②当

时,有

,则称函数 为 函数.在

下列函数中:



;②

;③

是 函数的为__________.(填出所有符合要

求的函数序号)

【答案】①②

【解析】对于①,函数

所以

。又

,故

为奇函数,当

,即

时,有

,所以为增函数,因此当

,即

。因此函数

函数.

对于②,函数

为奇函数,当

,即

时,有

。又

,所以为增函数,因此当

,即

, 时,有
,所以 时,有

,故

。因此函数

函数.

对于③,函数

为奇函数,当

,即

时,有

,所以

。又函数在定义域 上没有单调性,因此不能由

,得到

。因

此函数不是 函数.

综上①②是 函数

答案:①②

点睛:

本题为新概念问题,在给出了“ 函数”概念的基础上考查学生的理解、运用能力。解答此

类问题的关键是对所给概念的理解,并从中抽取出解题的方法及要求,然后通过对所给问题

的分析,达到求解的目的。对于本题中给出的“ 函数”,实际上就是在定义域上单调递增

的奇函数,解题时要注意这一点。

22. 已知函数



(Ⅰ)当 时,满足不等式

的 的取值范围为__________.

(Ⅱ)若函数 的图象与 轴没有交点,则实数的取值范围为__________.

【答案】 (1).

(2).

【解析】(i)当 时,不等式为

。等价于





解得 或 ,

∴ 的取值范围为



(ii)∵函数 的图象与 轴没有交点,

∴函数

与函数

的图象没有公共点。

①当 时,画出

与函数

的图象如图:

可得两函数的图象恒有交点,不合题意。

②当

时,画出

与函数

的图象如图:

结合图象可得,要使两个图象无交点,则斜率满足:



解得 ,故



③当 时,画出

与函数

的图象如图:

可得两函数的图象恒有交点,不和题意。

综上得



答案:(i)

(ii)

点睛:

(1)解绝对值不等式的方法

①基本性质法:对 ,

或。

②平方法:两边平方去掉绝对值符号.

③零点分区间法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值

符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.

④几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.

(2)对于判断两函数图象公共点个数的问题,可在直角坐标系中作出两个函数的图象,利

用数形结合的方法求解.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

23. 已知函数



( )求 的值. ( )求函数 的最小正周期和单调递增区间. ( )求 在区间 上的最大值和最小值.

【答案】( )

( )最小正周期为 单调递增区间为



() 在

上最大值为 ,最小值为

【解析】试题分析:

(1)将所给的函数通过变换得

,代入可求 .(2)根据周期公式可求得

最小正周期,将 看作一个整体代入正弦函数的增区间可得函数的单调递增区间。(2)

由 的范围得到 试题解析: ( )∵

,结合图象求得

的范围可得最值。







( )最小正周期





,,



,。

∴ 单调递增区间为

,.

( )∵















∴在

上最大值为 ,最小值为 .

24. 在

中,角 , , 的对边分别是, ,,





( )求边的值.

( )若

,求

的面积.

【答案】( ) ( )

【解析】试题分析:(I)由正弦定理将

得 b,用三角形的面积公式可得解。

试题解析:

(I)由

及正弦定理得

,



(II)在

中,由余弦定理得

所以

整理得 解得 或

, (舍去)

因为



角化边即可得结论;(2)由余弦定理求 ,

所以



所以

面积



25. 已知函数

的极值点为 .

( )求实数的值.

( )求函数 的极值.

( )求函数 在区间 上的最值.

【答案】( ) ( ) 极小值

( ) 最大值

最小值

【解析】试题分析:

(1)根据

求得

,即为所求。(2)由(1)可得

,通过导函数

的符号得到函数的单调性,进而求得极值。(3)根据单调性求解即可。 试题解析: ( )∵





又函数 的极值点为 。





解得



经验证得

符合题意。





( )由(1)得









时,

单调递减,

当 时,

单调递增。

∴当 时, 有极小值,且极小值为



( )由(2)得 在 当单调递减,在 上单调递增,















点睛:

在本题中根据

求得

后要进行验证,看所得是否符合题意。原因在于“



是“ 为函数极值点”的必要不充分条件,而不是充要条件,因此通过导函数的函数值求

得参数值后要进行验证,否则可能会出现错误。

26. 已知函数



( )若曲线

与直线 相切于点 ,求点 的坐标.

( )令

,当 时,求 的单调区间.

( )当 ,证明:当





【答案】( )

( )单调增区间为

单调减区间为 ( )见解析

【解析】试题分析:

(1)设点

,根据

可解得 ,从而可得点 的坐标.(2)由题意得

,又 , ,故

.从而根据 的符号可得函数的单

调区间。(3)结合(2),令

时,

.从而可得

试题解析:

( )设点



,分① 和②

两种情况都可证得当

,即不等式成立。



,得



由题意得

,解得 ,





∴点 的坐标为 .

( )由题意得







∵,,







,解得 ,



,解得

.

∴函数 的单调减区间为 ,单调增区间为



( )由(2)得



,则



由 ,得 ,

①当 时,





∴在

单调递增,





②当

时,



,得





时,

, 单调递减,

时,

, 单调递增。





综上当

时,



∴ 在 单调递减,在

单调递增.

∴当

极小值,也为最小值,且







成立.

点睛:

本题(3)中,要证当



成立,只需证明

,故需要结合函数的单

调性求出函数的最值,由于导函数中 的符号不易确定,因此通过用构造函数

的方法以确定其符号,由于

,而当 时 ,故将 分为



两种情况处理。体现了分类讨论在函数问题中的作用,这也是解决导数与函

数综合题中常用的方法,分类时要做到不重不漏、合理分类。

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