2019版高中全程复习方略配套课件:71空间几何体的结构及其三视图和直观图人教A版·数学理浙江专用 共71页_图文


第一节 空间几何体的结构及其三视图 和直观图

三年25考 高考指数:★★★★ 1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征,理解柱、 锥、台、球的结构特征. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的 简易组合)的三视图,会用斜二测画法画出它们的直观图.

3.会用平行投影与中心投影这两种方法画出简单空间图形的三 视图或直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.能识别三视图所表示的空间几何体;理解三视图和直观图的 联系,并能进行转化.

1.三视图是高考的热点,几乎年年考,主要考查简单几何体的 三视图,同时考查空间想象能力和对空间几何体的认识; 2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容 的重点,也是难点; 3.对本节内容的考查常以选择题、填空题的形式出现,常将三 视图、直观图同几何体的表面积和体积综合在一起考查,难度 不大,属低中档题.

1.空间几何体的结构特征

棱 柱

棱柱的侧棱都_平__行__且_相__等__,上下底面是_平__行_且_全_等__的多边形.

多 面 体

棱 锥

棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个_公__共__顶__点__的三角形.

棱 棱台可由_平__行__于__棱_锥__底__面__的平面截棱锥得到,其上下底面是

台 _平_行__且_相__似_的多边形.

圆 柱

圆柱可由_矩__形__绕其任意一边旋转得到.

旋 转

圆锥

体圆



圆锥可以由直角三角形绕其_直__角__边_旋转得到.
圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连 线旋转得到,也可由_平__行__于圆锥底面的平面截圆锥得到.



球可以由半圆或圆绕_直__径__旋转得到.

【即时应用】 (1)思考:有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几 何体是棱柱吗? 提示:不一定.尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平 行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行.

(2)对于下图所给出的四个几何体,判断下列说法是否正 确.(在括号内填“√”或“×”)

①图A中的几何体是棱柱

()

②图B中的几何体是棱柱

()

③图C中的几何体是圆台

()

④图D中的几何体是棱锥

()

【解析】根据各几何体的结构特征进行判断可得①④正确,②

③错误.

答案:①√ ②× ③× ④√

(3)如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥 轴截面中两条母线的夹角)的度数是___________. 【解析】设圆锥的底面圆半径为r,母线长为l. 由侧面展开图为半圆,得 2πr=πl, ∴l=2r. ∴圆锥的轴截面中两条母线与底面圆直径构成的三角形为等边 三角形. ∴顶角为60°. 答案:60°

2.三视图

正视图 侧视图 俯视图

正前 正左 正上
右 下

【即时应用】 (1)思考:如何画简单组合体的三视图? 提示:先分清该组合体是由哪些简单几何体组成的,然后画出 其三视图.

(2)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是 下列几何体中的_________(填入所有可能的几何体的编号). ①三棱锥; ②四棱锥; ③三棱柱; ④四棱柱; ⑤圆锥; ⑥圆柱 【解析】逐一将这些几何体看正视图可知四棱柱和圆柱的正视 图不可能是三角形. 答案:①②③⑤

3.直观图与投影

直观图 投影

空间几何体的直观图常用_斜__二__测__画法来画,其规则 是: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中, x′轴、y′轴的夹角为__4_5_°__(_或__1_3_5_°__),z′轴与x′ 轴和y′轴所在平面_垂__直___. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中_仍__平__行__ 于__坐__标__轴___,平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中 _长_度__不__变___,平行于y轴的线段长度在直观图中_长__度__ _为__原__来__的__一__半___.
1.平行投影:平行投影的投影线_平__行___, 2.中心投影:中心投影的投影线__相__交__于__一__点___.

【即时应用】 (1)思考:空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影 效果上有什么区别? 提示:从观察角度看,三视图是从三个不同的位置观察几何体 而画出的图形;直观图是从某一点观察几何体而画出的图形.从 效果看,三视图是正投影下的平面图形;直观图是在平行投影 下画出的空间图形.

(2)判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)

①相等的角,在直观图中仍相等

()

②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等

()

③若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也垂直 ( )

④若两条线段平行,则在直观图中对应的线段也平行 ( )

【解析】以正方体与其直观图为例,可说明①、②、③不成立.

由直观图画法知④成立.

答案:①× ②× ③× ④√

【方法点睛】

空间几何体的结构特征

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧

(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地

去分析,多观察实物,提高空间想象能力.

(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特 征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型 中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定. (3)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错 误的,只要举出一个反例即可.

【例1】下列结论中正确的是( ) (A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥 (B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成 的曲面所围成的几何体叫圆锥 (C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是 六棱锥 (D)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 【解题指南】根据常见几何体的结构特征,借助于常见的几何 模型进行判断.

【规范解答】选D.当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底 面两侧的两个三棱锥构成时,尽管各面都是三角形,但它不是 三棱锥,故A错误;若三角形不是直角三角形或是直角三角形 但旋转轴不是直角边所在直线,所得几何体就不是圆锥,B错 误;若六棱锥的所有棱都相等,则底面多边形是正六边形,由 几何图形知,若以正六边形为底面,则棱长必然要大于底面边 长,故C错误.

【反思·感悟】要明确柱体、锥体、台体和球的结构特征,认识 和把握几何体的结构特征是认识空间几何体的基础和关键;对 于几何体的结构特征要从其反映的几何体的本质去把握,有利 于从中找到解题的突破点.

【方法点睛】

空间几何体的三视图

1.三视图的特点

俯视图在正视图的下方,且长度相等,侧视图在正视图的正右

方,且高度相等;侧视图与俯视图的宽度相等.

2.三视图的常见题型及求解策略 (1)由实物图画三视图或判断选择三视图,此时需要注意 “长对正、高平齐、宽相等”的原则; (2)由三视图还原实物图,这一题型综合性较强,解题时首 先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是由 这些简单的几何体组合而成的;其次,要明确三视图的形成原 理,并能结合空间想象将三视图还原为实物图.

【提醒】1.画三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出, 被遮挡住的部分的轮廓线用虚线表示. 2.严格按排列规律放置三视图,并标出长、宽、高的关系,对 准确把握几何体很有利.

【例2】(1)(2019·日照模拟)一个长方体去掉一个小长方体, 所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯 视图为( )

(2)(2019·绍兴模拟)某几何体的正视图与侧视图如图所
示,若该几何体的体积为 1 ,则该几何体的俯视图可以是
3
()

(3)如图的三个图中,上面是一个长方体截去一个角后所得 多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面已画出(单位: cm).在正视图下面的矩形框内,按照画三视图的要求画出该 多面体的俯视图.

【解题指南】(1)先由部分三视图判断出几何体的形状,然 后再确定俯视图. (2)由已知条件计算推理可求. (3)根据三视图之间的关系画出俯视图即可.

【规范解答】(1)选C.由正视图和侧视图知,该长方体上面
去掉的小长方体,从正前方看在观察者左侧,从左侧看在观察
者右侧,故俯视图为C. (2)选D.由已知可得该几何体的高为1,体积为 1 ,故不可能
3
为A、B、C,只有D即底面是边长为1的正方形时满足题意.

(3)如图所示:

【反思·感悟】画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的正 前方、正左方和正上方,观察它是由哪些基本几何体组成,它 的轮廓线是实线还是虚线,然后再去画图.

空间几何体的直观图 【方法点睛】
用斜二测画法画几何体直观图的关键点 要注意原图形与直观图之间的“三变、三不变”:
坐标轴的夹角改变, “三变” 与y轴平行的线段的长度变为原来的一半,
图形改变.

平行性不改变, “三不变” 与x、z轴平行的线段的长度不改变,
相对位置不改变.

【例3】(1)如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它 的直观图.

(2)如图所示,△A′B′C′是△ABC的直观图,且△A′B′C′ 是边长为a的正三角形,求△ABC的面积.

【解题指南】(1)先由三视图确定几何体的结构,然后画出直观 图. (2)根据斜二测画法规则建立适当的坐标系,将△A′B′C′还原, 并利用平面几何的知识求出相应的线段、角.求解时要注意线段 和角的变化规律.

【规范解答】(1)该几何体类似棱台,先画底面矩形,中心轴, 然后画上底面矩形,连线即成. 画法:如图,先画轴,依次画x′、y′、z′轴,三轴相交于点O′, 使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°.在z′轴上取O′O″=8 cm,再画 x″、y″轴. 在坐标系x′O′y′中作直观图ABCD,使得AD=20 cm,AB= 8 cm;在坐标系x″O″y″中作直观图A1B1C1D1,使得A1D1= 12 cm,A1B1=4 cm.

连接AA1、BB1、CC1、DD1,即得到所求直观图.

z' y''

B1

C1 y'

A1 B

O''

x''

D1

C

O'

x'

A

D

(2)如图所示,△A′B′C′是边长为a的 正三角形,作C′D′∥A′B′交y′轴于 点D′,则C′、D′到x′轴的距离为
3 ,a
2
∵∠D′A′B′=45°,∴A′D′= , 6 a
2

由斜二测画法的法则知,

在△ABC中,AB=A′B′=a,AB边上的高是A′D′的二倍,即为

6,a ∴S△ABC=

1a 2

6a ? 6 a2. 2

【反思·感悟】直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关 键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度,然后 运用“水平长不变,垂直长减半”的方法确定出点,最后连线 即得直观图.注意被遮挡的部分画成虚线.

【易错误区】解答三视图问题的易错点 【典例】(2019·新课标全国卷)在一个几何体的三视图中,正 视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )

【解题指南】先根据正视图和俯视图得到几何体的形状,然后

再得到该几何体的侧视图.

【规范解答】选D.由正视图和俯视图可以推测

S

几何体为半圆锥和三棱锥的组合体(如图所示),

且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心,可

知侧视图为等腰三角形,且轮廓线为实线,故 A

C

选D.

B

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下误区警示和备考建议:

1.(2019·浙江高考)若某几何体的三视图如图所示,则这个几 何体的直观图可以是( )

【解析】选B.A中正、俯视图不相符;B中三视图都相符;C中 正、俯视图不相符;D中侧视图不相符.故选B.

2.(2019·山东高考)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定

下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、

俯视图如图;②存在四棱柱,其正(主)视图、

俯视图如图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯

视图如图.其中真命题的个数是( )

(A)3

(B)2

(C)1

(D)0

【解析】选A.只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱,让其 直角三角形直角边对应的一个侧面平卧;②正四棱柱平躺;③ 圆柱平躺即可使得三个命题为真.

3.(2019·焦作模拟)已知正三棱柱的侧棱长与底面边长都是2, 以下给出a,b,c,d四种不同的三视图,其中可以正确表示这个 正三棱柱的三视图的个数有( )

(A)1个

(B)2个

(C)3个

(D)4个

【解析】选D.把三视图还原成几何体,a、b、c、d都是表示

该正三棱柱的三视图.

4.(2019·杭州模拟)如图,P为正方体ABCD—A1B1C1D1的中心, 则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( )

(A)(1)(2)(3)(4)

(B)(1)(3)

(C)(1)(4)

(D)(2)(4)

【解析】选C.在上下底面的射影都是(1);在四个侧面的射

影都是(4),故(1)(4)正确.


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