福建省晋江市(安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校)高二数学下学期期末联考试题理


福建省晋江市 (安溪一中、 养正中学、 惠安一中、 泉州实验中学四校) 2017-2018 学年高二数学下学期期末联考试题 理
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分) 1.已知复数 z 满足 i(2 ? z) ? 3 ? i, 则 z ? (



A. 5

B.5

C. 10

D.10
) D. 即不充分也不必要条件

2.“ x ? 3 且 y ? 3 ”是“ x ? y ? 6 ”成立的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

3.将两颗骰子各掷一次,设事件 A 为“两次点数之和为 6 点”,事件 B 为“两次点数相 同”,则概率 P( B / A) 的值为( )

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

4.盒子里共有 7 个除了颜色外完全相同的球,其中有 4 个红球 3 个白球,从盒子中任取 3 个 球,则恰好取到 2 个红球 1 个白球的概率为( A. ) . D.

24 35

B.

18 35

C.

12 35

6 35

5. 某校在高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试, 其数学考试成绩近似服从正态分布, 即,试卷满分分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于 90 分)的人数占总人数的,则 此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的人数约为( A. 400 6.函数 y ? B. 500 C. 600 ) D. 800

2x 的图象大致为( ) ln x

7. 设随机变量 X , Y 满足: Y ? 3 X ? 1 , X ? B ? 2, p ? , 若 P ? X ? 1? ? ( A. 4 ) B. 5 C. 6 D. 7

5 , 则 D ?Y ? ? 9

1

8.高考结束后 6 名同学游览我市包括日月湖在内的 6 个景区,每名同学任选一个景区游览, 则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有(
2 4 A.A6 ? A5 种 2 B.A6 ? 54 种 2 4 C.C6 A5 种


2 D.C6 ? 54 种

x2 y 2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线 a b
的一个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的离心率为( )

A.

5

B.

3
x

C.
?x

2 3 3

D. 2

10.设 a ? R ,函数 f ? x ? ? e ? a ? e 的导函数 f ' ? x ? 是奇函数,若曲线 y ? f ? x ? 的一条 切线的斜率是 A. ?

3 ,则切点的横坐标为( 2
B. ? ln2 C.

)

ln2 2

ln 2 2

D. ln 2

11. 已 知 双 曲 线 C 1:

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 一 条 渐 近 线 恰 好 是 曲 线 a 2 b2

C2 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 2 y ? 0 在原点处的切线,且双曲线的顶点到渐近线的距离为
则曲线的方程为( )

2 6 , 3

A.

x2 y2 ? ?1 12 8

B.

x2 y 2 ? ?1 16 8

C.

x2 y 2 ? ?1 16 12

D.

x2 y 2 ? ?1 8 4

2 12 .设函数 f ? x ? 在 R 上存在导函数 f ? ? x ? ,对任意 x ? R ,都有 f ? x ? ? f ? ?x ? ? x 且

f (0) ? 0 x ? ? 0, ??? 时, f ? ? x ? ? x ,若 f ? 2 ? a ? ? f ? a? ? 2 ? 2a 则实数 a 的取值范围
为( ) B.

A. 1, ?? ?

?

? ??,1?

C.

? ??,0? ? ?1, ???

D.

? 0,1?

二、填空题: (本大题共 4 个小题,每个小题 5 分,共 20 分) 13.

?

0

?1

1 ? x 2 dx ? ______.

2

1 ? ? 14.二项式 ? x6 ? ? 展开式中的常数项是__________. x x? ?
15. 在 直 角 坐 标 系 x o y 中 , 直 线 l 过 点 M ? 3, 4 ? , 其 倾 斜 角 为 45? , 圆 C 的 方 程 为

5

x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 圆 C 与直线 l 交于 A、B,则 MA ? MB 的值为_______
2

71828? ? ? 是自然对数的底 16 .已知对任意 x ? ? ,e 2 ? 不等式 e a ? x 恒成立 (其中 e ? 2.
2

?1 ?e

? ?

x

数) ,则实数 a 的取值范围是__________________

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分) 17. (本小题 12 分) 2017 年 9 月, 国务院发布了 《关于深化考试招生制度改革的实施意见》 . 某地作为高考改革试点地区,从当年秋季新入学的高一学生开始实施,高考不再分文理科. 每个考生,英语、语文、数学三科为必考科目,并从物理、化学、生物、政治、历史、地理 六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目,政治、历史、地理 为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等. (1)求他所选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率; (2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目,两个科目属于自然科学 科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是 0.8,所选的自然科学科目 考试的成绩获等的概率都是 0.75, 且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表 示他所选的三个科目中考试成绩获等的科目数,求的分布列和数学期望.

3

18. (本小题 12 分)如图,在 Rt ?ABC 中, AB ? BC ? 3 ,点 E 、F 分别在线段 AB 、 AC 上,且 EF // BC ,将 ?AEF 沿 EF 折起到 ?PEF 的位置,使得二面角 P ? EF ? B 的大小 为.(1)求证: EF ? PB ; (2) 当点 E 为线段 AB 的靠近 B 点的三等分点时, 求 PC 与平面 PEF 所成角 ? 的正弦值.

19. (本小题 12 分) 华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性
4

别有关,从高一年级抽取名同学(男同学名,女同学名) ,给所有同学物理题和数学题各一 题,让每位同学自由选择一题进行解答。选题情况如下表: (单位:人) 物理题 男同学 女同学 总计 数学题 总计

(1) 在犯错误的概率不超过的条件下, 能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关? (2)现从选择做物理题的名女生中任意选取两人,对她们的解答情况进行全程研究,记甲、 乙两女生被抽到的人数为,求的分布列和数学期望. 附表及公式

5

20. (本小题 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 经过点 P ? 0,1? ,离心率 e ? . 2 a b 2

(1)求 C 的方程; (2)设直线 l 经过点 Q ? 2, ?1? 且与 C 相交于 A, B 两点(异于点 P ) ,记 直线 PA 的斜率为 k1 ,直线 PB 的斜率为 k2 ,证明: k1 ? k2 为定值.

6

21.(本小题 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2lnx ? 2mx ? x (m ? 0)
2

(1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)当 m ?

3 2 时,若函数 f ? x ? 的导函数 f ' ? x ? 的图象与 x 轴交于 A, B 两点,其横坐 2

标 分 别 为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 线 段 AB 的 中 点 的 横 坐 标 为 x0 , 且 x1 , x2 恰 为 函 数

h ? x ? ? lnx ? cx2 ? bx 的零点,求证: ? x1 ? x2 ? h ' ? x0 ? ? ? ? ln2


2 3

7

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 4; (2) ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 2a ?1, 求a 的取值范围.

8

23.( 本 小 题 10 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为

? x?t (t为参数,m ? R) 以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的 ? ?y ? m ? t
极坐标方程为 ? ?
2

3 ( ? ? 0, ? ? [0, ? ]) . 1 ? 2 sin 2 ?

(1)求曲线 C1 、 C2 的直角坐标方程. (2)若 P, Q 分别为 C1 、 C2 上的动点,且 P, Q 间距离的最小值为 2 2 ,求实数 m 的值.

2017-2018 学年高二下学期期末联考数学(理)答案

9

一、选择题: (本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分)

1.已知复数满足,则( A. B. C. D.



1.C 详解:∵i(2﹣z)=3+i,∴z=2﹣=1+3i,∴|z|=.故选:C. 2.“ x ? 3 且 y ? 3 ”是“ x ? y ? 6 ”成立的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ) D. 即不充分也不必要条件

C. 充要条件

2.A 解析若“ x ? 3 且 y ? 3 ”成立,则“ x ? y ? 6 ”一定成立.反之,若“ x ? y ? 6 ”成 立时,但“ x ? 3 且 y ? 3 ”不一定成立.故“ x ? 3 且 y ? 3 ”是“ x ? y ? 6 ”成立的充分 不必要条件.选 A. 3. 将两颗骰子各掷一次, 设事件 A 为“两次点数之和为 6 点”, 事件 B 为“两次点数相同”, 则概率的值为( A. B. C. ) D.

3.D 解:根据条件概率的含义,其含义为在 A 发生的情况下,B 发生的概率, 即在“两次点数之和为 6 点”的情况下,“两次点数相同”的概率, “两次点数之和为 6 点”的情况,共 5 种, “两次点数相同”则只有一个,故=.故选:D. 4.盒子里共有 7 个除了颜色外完全相同的球,其中有 4 个红球 3 个白球,从盒子中任取 3 个 球,则恰好取到 2 个红球 1 个白球的概率为( A. ) .

24 35

B.

18 35

C.

12 35

D.

6 35

4.B 【解析】由题意得所求概率为 P ?
1 C2 6 ? 3 18 4 ? C3 ? ? .选 B . 3 C7 35 35

5. 某校在高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试, 其数学考试成绩近似服从正态分布, 即,试卷满分分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于 90 分)的人数占总人数的,则 此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的人数约为( A. 400 B. 500 C. 600 D. 800 )

10

5.A【解析】 , .故选 A.

6.函数 y ?

2x 的图象大致为( ) ln x

6.【答案】B 【解析】试题分析:采用排除法,函数定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? ,排除 A,当 x ? 1 时,

ln x ? 0, y ?

2x 2x ? 0 ,排除 D,当 x ? ?1 时, ln x ? 0, y ? ? 0 ,排除 C,故选 B. ln x ln x
5 , 则 D ?Y ? ? 9

7. 设随机变量 X , Y 满足: Y ? 3 X ? 1 , X ? B ? 2, p ? , 若 P ? X ? 1? ? ( A. 4 ) B. 5 C. 6 D. 7

0 7.A【解析】由题意可得: P ? X ? 1? ? 1 ? P ? X ? 0 ? ? 1 ? C2 ?1 ? p ? ? 2

5 , 9

解得: p ? 择 A 选项.

1 1 2 4 2 ,则: D ? X ? ? np ?1 ? p ? ? 2 ? ? ? , D ?Y ? ? 3 D ? X ? ? 4 。本题选 3 3 3 9

8.高考结束后 6 名同学游览我市包括日月湖在内的 6 个景区,每名同学任选一个景区游览, 则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有( A. 答案 D 9.已知双曲线 种 B. 种 C. 种 ) D. 种

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线 2 a b

11

的一个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的离心率为(



A.

5

B.

3

C.

2 3 3

D. 2

9.【答案】D 【解析】∵抛物线 y 2 ? 8x 的焦点坐标 F ? 2,0? , p ? 4 ,∵抛物线的焦点和双曲线的焦点 相同,∴ p ? 2c , c ? 2 ,∵设 P ? m, n ? ,由抛物线定义知: PF ? m ?

p ? m ? 2 ? 5, 2

a 2 ? b2 ? 4 a2 ? 1 ∴ m ? 3 ,∴ P 点的坐标为 3, 2 6 ,∴ { 9 24 ,解得: { 2 , c ? 2 ,则 b ? 3 ? ? 1 a 2 b2

?

?

双曲线的离心率为 2,故选 D.

10.设 a ? R ,函数 f ? x ? ? e ? a ? e 的导函数 f ' ? x ? 是奇函数,若曲线 y ? f ? x ? 的一条
x ?x

切线的斜率是 A. ?

ln2 2

3 ,则切点的横坐标为( 2 ln 2 B. ? ln2 C. 2

) D. ln2

11.已知双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线,且双曲线的顶点到渐近线的距离 为,则曲线的方程为( A. B. C. ) D.

11.解 D:曲线化为标准形式: 圆心坐标为,∴, 又双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线, ∴,∵双曲线的顶点到渐近线的距离为,∴,即,又 ∴∴曲线的方程为故选:D

12.设函数 f ? x ? 在 R 上存在导函数 f ? ? x ? ,对任意 x ? R ,都有 f ? x ? ? f ? ?x ? ? x 且 f
2

12

(0)=0 x ? ? 0, ??? 时, f ? ? x ? ? x ,若 f ? 2 ? a ? ? f ?a ? ? 2? 2a 则实数 a 的取值范围为 ( )

A. 1, ?? ? 12B

?

B.

? ??,1?
1 2 x , 2

C.

? ??,0? ? ?1, ???

D.

? 0,1?

f ? x ? ? f ? ? x ? ? x 2 ,? f ? x ? ?

令 g ? x? ? f ? x? ? ∴ 函 数

1 2 1 x ? f ? ?x ? ? x2 ? 0 , 2 2 1 1 g ? ? x ? ? g ? x ? ? f ? ?x ? ? x2 ? f ? x ? ? x2 ? 0 , 2 2

g(x) 为 奇 函 数 .

x ? ? 0, ??? 时 ,

f ' ? x ? ? x . ? x ? ? 0, ??? 时 ,

g ' ? x ? ? f ' ? x ? ? x ? 0 ,故函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数,故函数 g ? x ? 在 ? ??,0 ? 上也
是增函数,由 f ? 0 ? ? 0 ,可得 g ? x ? 在 R 上是增函数.

f ? 2 ? a ? ? f ? a ?… 2 ? 2a ,等价于 f ? 2 ? a ?

?2 ? a? ?
2

2

… f ?a? ?

a2 , 2

即 g (2 ? a) ? g (a),2 ? a ? a, a ? 1 本题选择 B 选项. 二、填空题: (本大题共 4 个小题,每个小题 5 分,共 20 分) 13._______. 详解:由,可得.表示圆心为(0,0),半径为 1 的上半圆. 即为该圆位于第二象限部分的面积,即个圆. 所以. 故答案为:. 14.二项式 ? x ?
6

? ?

1 ? ? 展开式中的常数项是__________. x x?

5

【答案】5
3 15 30 ? k 5? k ? ? ? 1 ? ? 6 k 6 k 2 2 T ? C x ? x ? C ? x 13【解析】二项式 ? x ? 展开式的通项为 , ? ? ? ? k ?1 5 5 ? x x? ? ? ?

5

k

15 1 ? ? 6 4 令 30 ? k ? 0 ,得 k ? 4 ,即二项式 ? x ? 展开式中的常数项是 C5 ?5. ? 2 x x? ?

5

15. 在 直 角 坐 标 系 x o y 中 , 直 线 l 过 点 M ? 3, 4 ? , 其 倾 斜 角 为 45? , 圆 C 的 方 程 为

13

x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 圆 C 与直线 l 交于 A、B,则 MA ? MB 的值为_______
2

15.











2 t 2 { 2 y ? 4? t 2 x ? 3?













? 2 ? ? 2 ? 3 ? t ? 2 ? t? ? 4 ? t 2 ? 5 2t ? 9 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?

2

2

t1t2 ? 9 ? MA ? MB ? t1t2 ? 9

71828? ? ? 是自然对数的底 16 .已知对任意 x ? ? ,e 2 ? 不等式 e a ? x 恒成立 (其中 e ? 2.
2

?1 ?e

? ?

x

数) ,则实数 a 的取值范围是__________________ 16【解析】由 e a ? x 得
2 x

x 1 2 ln x 1 ? ?1 ? ? 2 ln x 在 x ? ? 在 x ? ? ,e 2 ? ,e 2 ? 上恒成立,即 ? ? a a x ?e ? ?e ?

上恒成立. 令 f ? x? ?

2? 1? l n x? 2 ln x ?1 ? ?1 ? ,x ? ? ,e 2 ? , 则 f ?? x? ? , ∴当 x ? ? ,e ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 2 x x ?e ? ?e ?

f ? x ? 单调递增,
2 当 x?? ? e,e ? ? 时 , f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单 调 递 减 . ∴ f ? x ?max ? f ? e ? ?

2 ,∴ e

1 2 ? f ?e? ? , a e

14

∴0 ? a ?

e ? e? .故实数 a 的取值范围是 ? 0, ? 2 ? 2?

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分) 17. (本小题 12 分) 2017 年 9 月, 国务院发布了 《关于深化考试招生制度改革的实施意见》 . 某地作为高考改革试点地区,从当年秋季新入学的高一学生开始实施,高考不再分文理科. 每个考生,英语、语文、数学三科为必考科目,并从物理、化学、生物、政治、历史、地理 六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目,政治、历史、地理 为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等. (1)求他所选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率; (2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目,两个科目属于自然科学 科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是 0.8,所选的自然科学科目 考试的成绩获等的概率都是 0.75, 且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表 示他所选的三个科目中考试成绩获等的科目数,求的分布列和数学期望. 试题解析: (1)记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件, 则, 所以该位考生选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率 为.......................4 分 ( 2 ) 随 机 变 量 的 所 有 可 能 取 值 有 0, 1 , 2 ,

3.................................................................5 分 因 为 ,............................................................................ .......................6 分 , ............................................................................. ......7 分 , ............................................................................. ....8 分 , .............................................................................
15

............................9 分

所以的分布列为

............................. .......10 分 所以............................................................12 分

18.(本小题 12 分)如图,在 Rt 中, ,点、分别在线段、上,且,将沿折起到的位置,使 得二面角的大小为.(1)求证: ; (2)当点为线段的靠近 点的三等分点时,求与平面 所成角的正弦值.

试题解析: (1) ,翻折后垂直关系没变,仍有,................................................1 分 , ............................................................................. .....................................2 分

AE ? BE ? E .................................................................

16

........................................3 分 , PB ? 面PBE . .......................................................................... ...............................4 分 (2) , 二面角的平面角,............5 分 ,又,由余弦定理得, ,,两两垂直......................6 分 以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图直角坐标系.



...........................................................7 分 ..................................................................8 分

设平面的法向量 由 可 得 .....................................................................10 分 . ...............................................12 分 .

故 PC 与平面 PEF 所成的角的正弦值为

19. (本小题 12 分) 华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性 别有关,从高一年级抽取名同学(男同学名,女同学名) ,给所有同学物理题和数学题各一 题,让每位同学自由选择一题进行解答。选题情况如下表: (单位:人) 物理题 男同学 数学题 总计

17

女同学 总计

(1) 在犯错误的概率不超过的条件下, 能否判断高一学生对物理和数学的选择与性别有关? (2)现从选择做物理题的名女生中任意选取两人,对她们的解答情况进行全程研究,记甲、 乙两女生被抽到的人数为,求的分布列和数学期望. 附表及公式

19.(1)由表中数据得的观测值...................................3 分 在犯错误的概率不超过的前提下,不能判断高一学生对物理题和数学题的选择与性别有 关................4 分 (2)由题可知在选择做物理题的名女生中任意抽取两人,抽取方法有种,其中甲、乙两人 没有一个人被抽到有种;恰有一人被抽到有 12 种;两人都被抽到有种

1, 2 ............................................5 分 ∴可能值为 0,

P( x ? 0) ?

15 12 3 1 , P( x ? 1) ? ? , P( x ? 2) ? ..........................8 分 28 28 7 28

的分布列为:

............................................................................... ...............................................10 分 ∴.........................................................................12 分

18

x2 y 2 3 20. (本小题 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 经过点 P ? 0,1? ,离心率 e ? . a b 2
(1)求 C 的方程; (2) 设直线 l 经过点 Q ? 2, ?1? 且与 C 相交于 A, B 两点 (异于点 P ) , 记直线 PA 的斜率为 k1 , 直线 PB 的斜率为 k2 ,证明: k1 ? k2 为定值.

x2 y 2 (1)因为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,经过点 P ? 0,1? ,所以 b ? 1 . a b
又e ? 故

3 c 3 ,所以 ? ,解得 a ? 2 . a 2 2
而 可 得 椭 圆 的 标 准 方 程 为 :

x2 ? y 2 ? 1 ..............................................4 分 4
( 2 ) 若 直 线

AB

的 斜 率 不 存 在 , 则 直 线 l

的 方 程 为

x ? 2 ,..................................5 分
此时直线与椭圆相切,不符合题意. 设 直 线

AB









y ? 1 ? k ? x ? 2?





y ? kx ? 2k ? 1 ,................................6 分

y ? kx ? 2k ? 1
联 立

{ x2 ? y2 ? 1 4





?1 ?

k2

?

?

4

? x2 ?

2 8....................7 k ? 2k 分 ? .

1 x

?

1

8k (2k ? 1) ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 4k 2 ........................................................... ? 2 k ? x1 x2 ? 16k ? 16 2 ? 1 ? 4k ?
......8 分 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则

k1 ? k2 ?

x ? kx ? 2k ? 2? ? x1 ? kx2 ? 2k ? 2? y1 ? 1 y2 ? 1 ? ? 2 1 x1 x2 x1 x2
19

?

2kx1 x2 ? ? 2k ? 2 ?? x1 ? x2 ? x1 x2

? 2k ?

? 2k ? 2?? x1 ? x2 ?
x1 x2

? 2k ?


? 2k ? 2? ? 8k ? 2k ? 1? ? 16k ? k ? 1?


2k ? ? 2k ? 1? ? ?1
定 值 , 且 定 值 为

k1 ? k2



-1...................................................12 分

21. (本小题 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2lnx ? 2mx ? x (m ? 0)
2

(1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)当 m ?

3 2 时,若函数 f ? x ? 的导函数 f ' ? x ? 的图象与 x 轴交于 A, B 两点,其横坐 2

标 分 别 为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 线 段 AB 的 中 点 的 横 坐 标 为 x0 , 且 x1 , x2 恰 为 函 数

h ? x ? ? lnx ? cx2 ? bx 的零点,求证: ? x1 ? x2 ? h ' ? x0 ? ? ? ? ln2

2 3

解: (1)由于 f ? x ? ? 2lnx ? 2mx ? x 的定义域为 ? 0, ?? ? ,
2



f '? x? ?
1分

2 x 2 ? mx ? 1 x

?

? .........................................................

2 2 2 对 于 方 程 x ? mx ? 1 ? 0 , 其 判 别 式 ? ? m ?4 . 当 m ? 4 ? 0 , 即 0 ? m ? 2 时 ,

f ' ? x? ? 0











f ? x?



? 0, ?? ?









增...............................................................2 分
2 2 当 m ? 4 ? 0 , 即 m ? 2 , 方 程 x ? mx ? 1 ? 0 恰 有 两 个 不 相 等 是 实

x?

m ? m2 ? 4 ,............3 分 2

m ? m2 ? 4 m ? m2 ? 4 令 f ' ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 或x? , 2 2
20

此时 f ? x ? 单调递增;令 f ' ? x ? ? 0 ,得 调递减............4 分 综上所述,当 0 ? m ? 2 时,

m ? m2 ? 4 m ? m2 ? 4 ,此时 f ? x ? 单 ?x? 2 2

f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 内 单 调 递 增 ; 当 m ? 2 时 , f ? x ? 在
? m ? m2 ? 4 ? , ?? ? ? ? ? 2 ? ?

? m ? m2 ? 4 m ? m2 ? 4 ? ? m ? m2 ? 4 ? , ? ? 内单调递减,在 ? 0, ?, ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ?
内单调递增..................................5 分

(2)由(1)知,

f '? x? ?

2 x 2 ? mx ? 1 x

?

? , 所 以 f '? x? 的 两 根 x

1

, x2 即 为 方 程

x 2 ? mx ? 1 ? 0 的两根.
因 为

m?

3 2 2







? ? m2 ? 4 ? 0



x1 ? x2 ? m



x1x2 ? 1 ......................................6 分
又因为 x1 , x2 为 h ? x ? ? lnx ? cx ? bx 的零点,
2





l x1n?
1

2

c1x ?
1

1

b?, 0x
x?

2 lnx2 ? c2 ? bx2 ? 0













l

x1 n ?c? x2

x ? ??2 x

x ? ??

2

?

b1 ? 0 x

2

?x





x1 x2 b? ? c ? x1 ? x2 ? ......................................................... x1 ? x2 ln
................8 分 而 h '? x? ? 所

1 ? 2cx ? b , x


? ? x1 ? ? ' ? ?x2

h

0

? xx 1 ? x2 ? ?

?1 ? ? 2cx0 ? b ? ? ? x0 ?
x1 ? x2

x ? ? ln 1 ? 2 ? x2 ? c ? x1 ? x2 ? ? ? c ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ?

?

2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2

? ln

21

x1 ?1 x2 x 2? ? ln 1 .........................................................10 分 x1 x2 ?1 x2


x1 2 2 ? t (0 ? t ? 1) ,由 ? x1 ? x2 ? ? m 2 得 x12 ? x2 ? 2x1x2 ? m2 ,因为 x1x2 ? 1 ,两边同时 x2
1 t 1 5 1 3 2 ,故 t ? ? ,解得 0 ? t ? 或 t ? 2 ,所以 t 2 2 2
2

2 除以 x1 x2 ,得 t ? ? 2 ? m ,因为 m ?

? ? t ? 1? 1 t ?1 ? 1? 0 ? t ? .设 G ? t ? ? 2 ? ? lnt ,所以 G ' ? t ? ? ? 0 ,则 y ? G ? t ? 在 ? 0, ? 上 2 2 t ?1 ? 2? t ? t ? 1?
是减函数,所以 G ? t ?min ? G ?

2 ?1? ? ? ? ? ln2 , 3 ?2?
2 ? ln2 . 3


即 y ? ? x1 ? x2 ? h ' ? x0 ? 的最小值为 ? 所

? x1 ? ? ' ? ?
.........12 分

2 3

......................................................x2

?

l

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数. (1)当时,解不等式; (2) ,求的取值范围. 详 解 :( 1 ) 当 时 ,, 即 或 或 解 得 或 或 , 故 此 不 等 式 的 解 集 为 ............................................................................. .............................................5 分 (2) 因为, 因为, 有成立, 所以只需, 化简得, 解得或, 所以的取值范围为.................10
22

分 23. (本小题 10 分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数, )以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(). (1)求曲线、的直角坐标方程. (2)若、分别为、上的动点,且、间距离的最小值为,求实数的值. 详 解 : ( 1 ) 消 去 参 数 可 得 的 直 角 坐 标 方 程

为,.............................................2 分 的方程即: ,即,.............................................................4 分 则 直 角 坐 标 方 程

为:........................................................................... .............5 分(没写 y ? 0 扣 1 分) (2)设, , 则到的距离 ,..........................................7 分 由、间距离的最小值为知: 当 时 ,

得;........................................................................... .............8 分 当 时 , ,

得........................................................................9 分 综 上 : 或

者 ............................................................................. ....................10 分

23


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