北京市海淀区2010届高三上学期期中考试(文科数学)


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海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学(文科)
2009.11

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 9 页, 共 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题共 40 分) 注意事项 : 1.答卷前将学校、班级、姓名填写清楚. 2.选择题的每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项.

1 1.已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6} 集合 A ? ? , 3, 4,6?, B ? ?2, 4, 5,6?,则 Aa U B 等于( ?

)

1 A. ? , 3?
2.函数 f ( x) ? A. [?1,3)

B. ?2, 5?

C. ?4? ) C. (?1,3) )

D. ?

? x 2 ? 2 x ? 3 的定义域是(
B. [?1,3]

D. (??, ?1] ? [3, ??)

3. 下列函数中,在 (0,??) 上为减函数的是( A. y ? 3
x

B. y ? ?

1 x

C. y ?

x


D. y ? log1 x
2

2 4. 命题“ ?x ? 0 ,都有 x ? x ? 0 ”的否定是( 2 A. ?x ? 0 ,使得 x ? x ? 0 2 C. ?x ? 0 ,都有 x ? x ? 0

2 B. ?x ? 0 ,使得 x ? x ? 0 2 D. ?x ? 0 ,都有 x ? x ? 0

? 5.已知向量 a ? (1, k ) b ? ( 2 ,1) , ,若 a 与 b 的夹角大小为 90 ,则实数 k 的值为

A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?2

D. 2 )

6.函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 +cos2x 的最小正周期为 (
本卷第 1 页(共 10 页)

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A. 4?

B.

3?

C. 2?

D. )

?

7.函数 f ( x ) ? ( ) ? sin x 在区间 [0, 2? ] 上的零点个数为(
x

1 2

A. 1

B.2

C. 3

D. 4

8.已知可导函数 f ? x ? 的导函数 f ' ( x) 的部分图象如右图所示,则函数

f ( x ? 1) 的部分图象可能是(

)

第 II 卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.若点 (2, 2) 在幂函数 y ? f (x) 的图象上,则 f ( x) ? 10. 已知 tan( ? ? ? ) ? 11. 若 a ? log2 3 ? 1, .

3 且 ? 是第四象限角,则 sin ? ? ____. 4

b ? log2 14 ? 1,则 a, b 的大小为_______.

12.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a4 ? ?6, a8 ? 2 ,则当 n ? ___ 时, Sn 取最小值. 13. 把函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位,所得到的图象对应的函数为
.

奇函数,则 ? 的最小值是

14. 已知可导函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ) ,函数 y ? f ( x) 的图象在点(1, f (1) )处 的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则 f (1) ?
'

,函数 y ? f ( x) 的图象在点 (?3, f (?3)) 处

的切线方程为

.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本题满分 13 分)

本卷第 2 页(共 10 页)

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已知函数 f ( x) ? 2x , ( x ? 0) ,图象如图所示.函数 g ( x) ? ? x2 ? 2 x ? a , ( x ? 0) , 其图象经过点 A(?1, 2) .
y

( I )求实数 a 的值,并在所给直角坐标系 xOy 内做出函数 g ( x) 的图象;

8 7 6 5 4 3 2 1

? f ( x), ( II )设 h( x) ? ? ? g ( x),

x ? 0, ,根据 h( x) 的图象写出其单调区间. x ? 0,

-3

-2

-1 O -1

1

2

3

x

16. (本题满分 13 分) 在假期社会实践活动中,小明参观了某博物馆,博物馆的正厅有一幅壁画.刚进入大厅时, 他在点 A 处发现看壁画顶端点 C 的仰角大小为 45 ,往正前方走 4 米后,在点 B 处发现看壁 画顶端点 C 的仰角大小为 75 . ( I ) 求 BC 的长; ( II ) 若小明身高为 1.70 米,求这幅壁画顶端点 C 离地面的高度(精确到 0.01 米,其中 3 ? 1.732 ).
? ?

本卷第 3 页(共 10 页)

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17. (本题满分 14 分) 已知等差数列 {an} 满足 a3 ? 5, 且 a5 ? 2a2 ? 3 . 又数列 {bn} 中, b1 ? 3 且 3bn ? bn ?1 ? 0 (n=1,2,3,…). ( I ) 求数列 {an} , {bn} 的通项公式; ( II )若 ai ? b j ,则称 ai (或 bj )是 {an} , {bn} 的公共项. ① 求出数列 {an} , {bn} 的前 4 个公共项; ② 从数列 {an } 的前 100 项中将数列 {an} 与 {bn} 的公共项去掉后,求剩下所有项的和.

18. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x ? ax ? b .
3 2

( I )当 a ? ?1 时,求函数 f (x) 的单调区间; ( II )若函数 f (x) 的图象与直线 y ? ax 只有一个公共点,求实数 b 的取值范围.

本卷第 4 页(共 10 页)

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19. (本题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且满足 Sn ? 2an ? n , (n ? 1, 2,3,.....) ( I ) 求 a1, a2 , a3 的值; (II) 求证:数列 {an ? 1 是等比数列; } ( III ) 若 bn ? nan , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本题满分 14 分) 设集合 M 是满足下列条件的函数 f (x) 的集合: ① f (x) 的定义域为 R; ② 存在 a<b,使 f (x) 在 ? ??,a ? , ?b, ??? 上分别单调递增,在 ? a, b ? 上单调递减. ( I )设 f1 ? x ? ? x ? x ? 2 , f2 ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x , 判断 f1 ( x), f 2 ( x) 是否在集合 M 中,并说明 理由; ( II )求证:对任意的实数 t , f ( x) ?

?x ? t 都在集合 M 中; x2 ? 1

(Ⅲ )是否存在可导函数 f ? x ? ,使得 f ? x ? 与 g ? x ? ? f ? ? x ? ? x 都在集合 M 中,并且有相同 的单调区间 ?请说明理由.

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海淀区高三第一学期期中练习 数 学 (文科)

参考答案及评分标准
一、 题号 答案 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1) A (2) B (3) D (4) B (5) C (6) D (7) B (8) A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) (9)

x

(10) ?

3 5

(11) a ? b

(12) 6 或 7 (少一个扣 2 分)

(13)

? 12

(14) 2, y ? ?2 x ? 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (共 13 分) 解:( I )因为 g (x) 的图象经过点 A (?1,2) ,代入解得 a ? 1 图象(略) ( II ) 函数 h( x) 的单调增区间为 (??,?1) , (0, ??) 函数 h( x) 的单调减区间为 (?1,0) 16. (共 13 分) 解: ( I )在 ?ABC 中, ?CAB ? 45? , 又?DBC ? 75? , 则 ?ACB ? 75 ? 45 ? 30
? ? ?

………3 分 ………7 分 ………9 分 ………13 分

………2 分 ………4 分 ………6 分

由正弦定理得到,

BC AB ? , ? sin 45 sin 30 ?

将 AB=4 代入上式, 得到 BC ? 4 2 (米) ( II ) 在 ?CBD 中, ?CDB ? 90 , BC ? 4 2 ,
?

所以 DC ? 4 2 sin 75
? ?

?

………8 分
? ? ? ? ?

因为 sin 75 ? sin(45 ? 30 ) ? sin 45 cos30 ? cos45 sin 30 ,
本卷第 6 页(共 10 页)

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得到 sin 75 ?
?

6? 2 , 4

………10 分

则 DC ? 2 ? 2 3 , 所以 DE ? 3.70 ? 2 3 ? 3.70 ? 3.464 ? 7.16 (米)

………11 分 ………12 分 …. …13 分

答:BC 的长为 4 2 米;壁画顶端点 C 离地面的高度为 7.16 米 17. (共 14 分) 解: (I)设 ?an ? 的公差为 d ,则有

?a1 ? 2d ? 5 ? ?a1 ? 4d ? 2(a1 ? d ) ? 3
解得 ?

………2 分

?a1 ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1 ?d ? 2

………4 分

又因为 3bn ? bn ?1 ? 0 ,所以 3bn ? bn ?1 , 因为 b1 ? 3, 所以 bn ? 0, 所以

bn ?1 ? 3, bn
………6

所以 {bn } 是首项为 3, 公比为 3 的等比数列, 所以 bn ? 3 ? 3n ?1 ? 3n 分 (II)计算可得前 4 个公共项为 3,9,27,81 (III)因为 a100 ? 199 ,而 81 ? a100 ? 243, 所以 {an } 前 100 项中包含 4 个公共项, 又 {an } 的前 n 项和为 Sn , S100 ? 1 ? 3 ? ... ? 199 ? 10000

………8 分

………10 分 ……12 分

则数列 {an } 的前 100 项中,将数列 {an} 与 {bn} 的公共项去掉后,剩下所有项的和为

10000 ? 120 ? 9880
18. (共 13 分) 解: (I) f '( x) ? 3x ? 2 x ?1 ? (3x ?1)( x ? 1)
2

………14 分

……2 分

令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ?

1 或x ? ?1 3
本卷第 7 页(共 10 页)

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令 f ' ( x) ? 0 ,解得 ? 1 ? x ?

1 3 1 3

……4 分

所以 f (x ) 的单调递增区间为 (?? ,?1), ( ,?? ) ,

1 f (x) 的单调递减区间为 (?1, ) 3
(II)因为函数 f (x) 的图象与直线 y ? ax 只有一个公共点, 所以方程 x ? x ? ax ? b ? ax ? 0 只有一个解 ,
3 2

……6 分

即 x ? x ? b ? 0 只有一个解
3 2

……7 分

令 g ( x) ? x3 ? x2 ? b ,则其图象和 x 轴只有一个交点,

g ' ( x ) 32 ? ? x

,令 g '( x) ? 3x2 ? 2x ? 0 , 2x

所以 x1 ? 0, x2 ? ? 可列表:

2 , 3

……8 分

x
g ' ( x)

2 (??, ? ) 3


?

2 3

2 (? ,0) 3


0

(0, ??)


0
极大值

0

g ( x)

?

4 ?b 27

?

极小值 b

?

所以, g (x) 在 x1 ? 0 处取得极小值 b ,在 x2 ? ?

2 4 ? b ,……10 分 取得极大值 3 27

要使 g ( x) ? x3 ? x2 ? b 的其图象和 x 轴只有一个交点,

?b ? 0 ?b ? 0 ? ? 只要 ? 4 或? 4 , ?b ?0 ? ?b?0 ? 27 ? ? 27
解得 b ? 0 或 b ? ? 19. (共 13 分) 解: (I)因为 Sn ? 2an ? n ,令 n ? 1 , 解得 a1 ? 1,

……12 分

4 27

……13 分

……1 分

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再分别令 n ? 2, n ? 3 ,解得 a2 ? 3, a3 ? 7 (II)因为 Sn ? 2an ? n , 所以 Sn ?1 ? 2an ?1 ? (n ? 1) ,

……3 分

(n ? 1, n ? N )
……5 分

两个代数式相减得到 an ? 2an ?1 ? 1 所以 an ? 1 ? 2 an ?1 ? 1 , (n ? 1, n ? N ) ( )

又因为 a1 ? 1 ? 2 ,所以 {an ? 1 构成首项为 2, 公比为 2 的等比数列………7 分 } (III)因为 {an ? 1 构成首项为 2, 公比为 2 的等比数列 } 所以 an ? 1 ? 2n ,所以 an ? 2n ? 1 因为 bn ? nan ,所以 bn ? n ? 2n ? n 所以 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ......? (n ? 1)2n ?1 ? n ? 2n ? (1 ? 2 ? ... ? n) 令
1 Hn ? 1? 2 ? 2 2? ? 3 32 ?. .n ? ( ? 2 ? . n? 1 1)n ? ?2 n

……8 分

2
1

(1) 2 (2)

2 ? Hn ? 1 2 ? ? 32 ? 3 4? ? . n.? ( n ?1)? 2n? ? 2 2 ? 2 . n
(1) ? (2)得: H n ? 21 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ? n ? 2n ?1 ? ?
因此 Hn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n ?1 所以 20. (共 14 分) 解:( I ) f1 ? x ? ? x ? x ? 2 在集合 M 中.

2 1 ? 2n ) ( ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n) ? 2n ?1 ? 2 1? 2
……11 分 ……13 分

Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n ?1 ?

n(n ? 1) . 2

……1 分

? x 2 ? 2 x, x ? 2 ? 因为 f1 ? x ? ? ? 2 ,其定义域为 R, ?? x ? 2 x, x ? 2 ?
且由函数 f1 ( x) 图象知: 函数 f1 ( x) 在 (??,1),(2, ??) 上分别单调递增,在 (1, 2) 上单调递 减,故 f1 ? x ? ? x ? x ? 2 在集合 M 中 ……2 分 ……3 分

f 2 ( x) 不在集合 M 中.

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因为 f2 ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ,

f2 '( x) ? 3x2 ? 6x ? 3 ? 3( x2 ? 2x ?1) ? 3( x ?1)2 ? 0
……4 分

所以 f 2 ( x) 在 R 上是增函数,故 f 2 ( x ) 不在集合 M 中. ( II ) 因为 f ( x) ?

?x ? t 的定义域为 R, x2 ? 1
……6 分

?( x 2 ? 1) ? (? x ? t ) ? 2 x x 2 ? 2tx ? 1 所以 f '( x) ? ? ( x 2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2
因为 ( x 2 ? 1)2 ? 0 ,所以:

当 x2 ? 2tx ? 1 ? 0, 即 x ? (??, t ? t 2 ? 1) ? (t ? t 2 ? 1, ??) 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x2 ? 2tx ? 1 ? 0, 即 x ? (t ? t 2 ? 1, t ? t 2 ? 1) 时, f ' ( x) ? 0 , 因此 f (x) 在 (??, t ? t 2 ? 1),(t ? t 2 ? 1, ??) 上单调递增, 在 (t ? t 2 ? 1, t ? t 2 ? 1) 上单调递减 . 可知 f ( x) ? M . ……9 分

(Ⅲ 不存在可导函数 f ? x ? ,使得 f ? x ? 与 g ? x ? ? f ? ? x ? ? x 都在集合 M 中 ) . ……10 分 假设函数 f ? x ? 满足条件,则由题意可得 x

? ??,a?
↗ +

a

? a, b ?


b

?b, ???


f ? x?

f ? ? x?

0

?

0

+

那么 g ? a ?1? ? g ? a ? ? f ? ? a ?1? ? ? a ?1? ? f ? ? a ? ? a ? f ? ? a ?1? ? 1 ? 0 这与 g ? x ? ? f ? ? x ? ? x 在 ? ??,a ? 上单调递增矛盾. 说明:其它正确解法按相应步骤给分. ……14 分

天 · 星 o

T 天 · 星 o e

m 权

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