江西省于都县第三中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 文


于都三中高二月考数学试卷

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1、复数

5i =( 1 ? 2i

) C. ? 2 ? i D. ?1 ? 2i

A. 2 ? i 2、当 x=( A.1

B. 1 ? 2i

)时,复数 z= x 2+x-2 ? x 2 ? 3x+2 i (x∈R)是纯虚数 B.1 或-2
a b

?

? ?

?

C.-1

D.-2

3.已知实数 a , b ,则“ 2 ? 2 ”是“ log2 a ? log2 b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4 函数 y ? f ( x) 在点 (x0, y0) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 则 lim A.-4 B.-2 C.2 5.已知 x、y 的取值如下表所示: D.4

?x?0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) 等于( ?x

)

6. 某几何体的三视图如图所示,它的体积为(

)

A.72π

B.48π

C.30π

D.24π

7.取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1 m 的概 率是( A.
1 2

). B.
1 3

C.

1 4

D.不确定

8.对同一目标进行三次射击,第一、二、三次射击命中目标的概率分别为 0.4,0.5 和 0.7, 则三次射击中恰有二次命中目标的概率是 ( )
-1-

A.0.41 9. 已知双曲线 x ?
2

B.0.64

C.0.74

D.0.63

y2 ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 M 在双曲线上,且 MF1 ? MF2 ? 0 ,则点 M 2


到 x 轴的距离为( A.

4 3
2

B.

5 3

C. 3

D.

2 3 3

10.2x -5x-3<0 的一个必要不充分条件是(

) D.-1<x<6

1 A.- 2 <x<3

1 B.- 2 <x<0

1 C.-3<x< 2

11.由半椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1( x ≥0)与半椭圆

y2 x2 ? ? 1( x ≤0)合成的曲线称作“果圆”, b2 c2
x2 a2 ? y2 b2 ? 1( x ? 0 )的焦点 F0 和左

2 2 2 如图所示,其中 a ? b ? c , a ? b ? c ? 0 .由右椭圆

椭圆

y2 x2 ? ? 1 ( x ? 0 )的焦点 F1 , F2 确定的 ?F0 F1 F2 叫做果圆的焦 b2 c2
x2 a2
3 ) 3

点三角形,若果圆的焦点三角形为锐角三角形,则右椭圆 ( x ? 0 )的离心率的取值范围为(
1 A. ( ,1) 3

?

y2 b2

?1


3 ,1) 3

B. (

2 ,1) 3

C. (

D. (0,

1 ?1 ? 1 , 12.定义一种运算 “? ” : 对于自然数 n 满足以下运算性质: (1) (2) (n ? 1) ?1 ? n ?1 ? 1 ,
则 n ?1 等于( A. n ) C. n ? 1 D. n
2

B. n ? 1

二、填空题(每空 5 分,共 20 分) 2 2 2 2. 13 经过圆 x +y =r 上一点 M(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r 类比上述性质,可以得到椭

x2 y2 圆 2 ? 2 ? 1 类似的性质为_______ a b
2

__. .

14. 、 设抛物线 y =16x 上一点 P 到 x 轴的距离为 12, 则点 P 与焦点 F 的距离|PF|= 15.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是______ ____.

开始

n ? 1, S ? 0

S ? S ? cos

n? 3

n ? 2014



输出

结束


n ? n ?1

-2-

? 16. 已 知 f ( x)? a l n x

1 2

2

x (? a

0 ,) 若 对 任 意 两 个 不 等 的 正 实 数 x1、x2 都 有
.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立,则 a 的取值范围是 x1 ? x2
三、解答题

17.(10 分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查, 调查结果如下表所示: 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 (1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习 惯方面有差异”; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名 学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. n(n11n22-n12n21)2 2 附:χ = ,

n1+n2+n+1n+2 P(χ 2≥k) k

0.90 2.706

0.95 3.841

0.99 6.635

18.(12 分)已知集合 Z={(x,y)|x∈[0,2],y∈[-1,1]} (1)若 x,y∈Z,求 x+y≥0 的概率; (2)若 x,y∈R,求 x+y≥0 的概率.

19. .(12 分) 正三棱锥的高为 1, 底面边长为 2 6, 内有一个球与它的四个面都相切(如图). 求: (1)这个正三棱锥的表面积; (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.

-3-

x2 y2 6 20.(12 分).已知椭圆 G: 2 ? 2 =1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为( 2 2 ,0).斜率 a b 3
为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰 三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

21..(12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)当 a ? 1 的值时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O ,半径为 a 2 ? b2 的圆是 2 a b 椭圆 C 的“准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2 , 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为
22.(12 分). 给定椭圆 C :

3.
(1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (2)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点,过点 P 作椭圆的切线 l1 , l2 交“准圆”于点 M ,N .

l2 的 (ⅰ)当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l1 ,
方程并证明 l1 ? l2 ; (ⅱ)求证:线段 MN 的长为定值并求该定值.

参考答案
-4-

CABDB CBA DD 13. 经过椭圆

CA

xx yy x2 y2 ? 2 ? 1 上一点 M(x0,y0)的切线方程为 20 ? 20 ? 1 2 a b a b
3 2
16. ?1, ?? ? 1

14.13

15 ?

1 3 17.解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为 × ×2 6= 2, 3 2 则正棱锥侧面的斜高为 1 +( 2) = 3. 1 ∴S 侧=3× ×2 6× 3=9 2. 2 1 3 2 ∴S 表=S 侧+S 底=9 2+ × ×( 2 6) 2 2 =9 2+6 3. (2)设正三棱锥 PABC 的内切球球心为 O,连接 OP,OA,OB,OC,而 O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r. ∴VPABC=VOPAB+VOPBC+VOPAC+VOABC 1 1 1 = S 侧·r+ S△ABC·r= S 表·r 3 3 3 =(3 2+2 3)r. 1 1 3 2 又 VPABC= × × ×(2 6) ×1=2 3, 3 2 2 ∴(3 2+2 3)r=2 3, 2 3 2 3(3 2-2 3) 得 r= = = 6-2. 18-12 3 2+2 3 ∴S 内切球=4π ( 6-2) =(40-16 6)π .
2 2 2

V 内切球= π ( 6-2)3= (9 6-22)π .

4 3

8 3

18. 解:(1)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 n(n11n22-n12n21)2 100×(60×10-20×10)2 100 2 χ = = = ≈4.762. n1+n2+n+1n+2 70×30×80×20 21 由于 4.762>3.841,所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习 惯方面有差异”. (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间 Ω ={(a1,a2, b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2 ,b3),(a2,b1,b2), (a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}, 其中 ai 表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj 表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3. Ω 由 10 个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则 A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),
-5-

(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}. 7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= . 10 19. (1)设“x+y≥0,x,y∈Z”为事件 A,x,y∈Z,x∈[0,2],即 x=0,1,2;y∈[-1,1], 即 y=-1,0,1. 则基本事件有:(0 ,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1) 共 9 个.其中满足“x+y≥0”的基本事件有 8 个,∴P(A)= . 故 x,y∈Z,x+y≥0 的概率为 . (2)设“x+y≥0,x,y∈R”为事件 B,∵x∈[0,2],y∈[-1,1]则 基本事件为如图四边形 ABCD 区域,事件 B 包括的区域为其中的阴影部分.

∴P(B)= 率为 .





= ,故 x,y∈R,x+y≥0 的概

20. 解:由已知得, c =2 2 ,

c 6 .解得 a =2 3 . = a 3

x2 y2 ? =1 . 又 b =a -c =4,所以椭圆 G 的方程为 12 4
2 2 2

? y =x ? m, ? 2 2 设直线 l 的方程为 y=x+m. 由 ? x 2 y 2 得 4x +6mx+3m -12=0.① ? ? =1 ?12 4
设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), 则 x0 =

x1 ? x2 3m m =? ,y0=x0+m= . 4 2 4

因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB.

m 4 = ? 1 .解得 m=2. 所以 PE 的斜率 k = 3m ?3 ? 4 2?
此时方程①为 4 x +12x=0.解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2.所以|AB|= 3 2 .此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离为
2

-6-

d=

1 9 | ?3 ? 2 ? 2 | 3 2 ,所以△PAB 的面积 S= |AB|·d= . = 2 2 2 2
21. 解:(Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? 1 ?

a a ,得 f ? ? x ? ? 1 ? x . x e e

又曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线平行于 x 轴, 得 f ? ?1? ? 0 ,即 1 ? (Ⅱ) f ? ? x ? ? 1 ?

?

?

a ? 0 ,解得 a ? e . e

a , ex

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为 ? ??, ?? ? 上的增函数,所以函数 f ? x ? 无极值. ②当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 e x ? a , x ? ln a .

x ? ? ??, ln a ? , f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? ln a, ?? ? , f ? ? x ? ? 0 .
所以 f ? x ? 在 ? ??, ln a ? 上单调递减,在 ? ln a, ?? ? 上单调递增 , 故 f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值,且极小值 为 f ? ln a ? ? ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 无极小值; 当 a ? 0 , f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值 ln a ,无极大值. (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?

1 ex 1 , ex

令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ?

则直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. 假设 k ? 1 ,此时 g ? 0 ? ? 1 ? 0 , g ?

1 ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 , ? k ?1 ? e k ?1

又函数 g ? x ? 的图象连续不断 , 由零点存在定理 , 可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解 , 与 “方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k ? 1 .

? 椭圆方程为 22. 解: (1) ?c ? 2 , a ? 3, ?b ? 1 ,
2 2

x2 准圆方程为 x2 ? y 2 ? 4 . ? y 2 ? 1, 3

2) , (2) (ⅰ)因为准圆 x ? y ? 4 与 y 轴正半轴的交点为 P (0,
-7-

2) 且与椭圆相切的直线为 y ? kx ? 2 , 设过点 P (0,

? y ? kx ? 2, ? 2 ?x 2 ? ? y ? 1, (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 9 ? 0 3 ? 所以由 得 .
因为直线 y ? kx ? 2 与椭圆相切,所以 ? ? 144k ? 4 ? 9(1 ? 3k ) ? 0 ,解得 k ? ?1 ,
2 2

所以

l1 , l2 方程为 y ? x ? 2, y ? ?x ? 2 .

? kl1 ? kl2 ? ?1 ?l1 ? l2 , .
(ⅱ)①当直线

l1 , l2 中有一条斜率不存在时,不妨设直线 l1 斜率不存在,
1) ( 3, ?1) , 3 时, l1 与准圆交于点 ( 3,,

l l 则 1 : x ? ? 3 ,当 1 : x ? l

此时 2 为 y ? 1 (或 y ? ?1 ) ,显然直线

l1 , l2 垂直;

l l, l 同理可证当 1 : x ? ? 3 时,直线 1 2 垂直.
②当
2 2 l1 , l2 斜率存在时,设点 P( x0 , y0 ) ,其中 x0 ? y0 ?4.

? y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , ? 2 ?x 2 ? ? y ? 1, P ( x , y ) y ? t ( x ? x ) ? y 0 0 与椭圆相切的直线为 0 0 ,所以由 ? 3 设经过点


(1 ? 3t 2 ) x2 ? 6t ( y0 ? tx0 ) x ? 3( y0 ? tx0 )2 ? 3 ? 0 .
2 2 2

(3 ? x0 )t ? 2x0 y0t ?1 ? y0 ? 0 , 由 ? ? 0 化简整理得
因为 设
2 2 2 2 2 x0 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )t ? 2x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 .

l1 , l2 的斜率分别为 t1 , t2 ,因为 l1 , l2 与椭圆相切,
2 2 2 t1 , t2 满足上述方程 (3 ? x0 l2 垂直. )t ? 2x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 , 所以 t1 ? t2 ? ?1 ,即 l1 ,

所以

综合①②知:因为

l1 , l2 经过点 P( x0 , y0 ) ,又分别交其准圆于点 M , l2 垂直. N ,且 l1 ,
2 2

所以线段 MN 为准圆 x ? y ? 4 的直径, | MN | =4 , 所以线段 MN 的长为定值.

-8-


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