吉林省延边州汪清六中2016-2017学年高二下学期第二次月考数学试卷理科 含解析 精品


2016-2017 学年吉林省延边州汪清六中高二(下)第二次月考数 学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合要求的. ) 1.i 是虚数单位,若集合 S={﹣1,0,1},则( A.i∈S B.i2∈S C.i3∈S D. ) )

2.n∈N 且 n<55,则乘积(55﹣n) (56﹣n)…(69﹣n)等于( A. B. C. D. )

3.已知函数 y=xne﹣x,则其导数 y'=( A.nxn﹣1e﹣x B.xne﹣x C.2xne﹣x

D. (n﹣x)xn﹣1e﹣x

4.当 x 在(﹣∞,+∞)上变化时,导函数 f′(x)的符号变化如下表: x (﹣ ∞.1) f′(x) ﹣ 0 + ) 0 ﹣ 1 (1,4) 4 (4, +∞)

则函数 f(x)的图象的大致形状为(

A.

B.

C



D.

5.抛物线 y=x2 的焦点坐标为( A. 6.方程 B. = C. 的解为( )

) D.

A.4 或 9 B.9 7. A. C.

C.4

D.5 ) dx

|x|dx 等于( xdx B.

(﹣x)dx+

xdx D.

xdx+

(﹣x)dx )

8.函数 y=x3+x2﹣x+1 在区间[﹣2,1]上的最小值为( A. B.2 C.﹣1 D.﹣4

9. 4) F 是抛物线 y2=8x 的焦点, M 是抛物线上的动点, 已知点 A (3, , 当|MA|+|MF| 最小时,M 点坐标是( A. (0,0) B. (3,2 ) ) C. (2,4) D. (3,﹣2 ) )

10. =kx﹣lnx 在区间 若函数 f (x) (1, +∞) 单调递增, 则 k 的取值范围是 ( A. (﹣∞,﹣2] B. (﹣∞,﹣1] C.[2,+∞) D.[1,+∞)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线 上. ) 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y) ,则点 M 取自阴影部分部 分的概率为 .

12.与椭圆

焦点相同的等轴双曲线的标准方程为

. 个,

13.用 1,2,3,4,5 这 5 个数字组成没有重复数字的三位数,共有 其中偶数有 个(结果用数字回答) . dx= .

14.由定积分的几何意义可知

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. )

15.某校高中部,高一有 6 个班,高二有 7 个班,高三有 8 个班,学校利用星期 六组织学生到某厂进行社会实践活动. (1)任选 1 个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法? (2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法? (3)选 2 个班的学生参加社会实践,要求这 2 个班不同年级,有多少种不同的 选法? 16.三个女生和四个男生排成一排 (Ⅰ)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (Ⅱ)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (Ⅲ)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法? 17. OB, OC 两两垂直, OB=OC=2, 如图, 已知三棱锥 O﹣ABC 的侧棱 OA, 且 OA=1, E 是 OC 的中点. (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值.

18.已知函数 f(x)=ax3+bx2﹣3x 在 x=±1 处取得极值. (Ⅰ)讨论 f(1)和 f(﹣1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (Ⅱ)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程. 19.已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,求△AOB(O 为原点)面 积的最大值. 的离心率为 ,且经过点 .

2016-2017 学年吉林省延边州汪清六中高二(下)第二次 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合要求的. ) 1.i 是虚数单位,若集合 S={﹣1,0,1},则( A.i∈S B.i2∈S C.i3∈S D. ,再根据集合 )

【分析】根据虚数单位 i 及其性质,我们分别计算出 i2,i3,

元素与集合的关系,逐一判断它们与集合 S 的关系,即可得到答案. 【解答】解:∵S={﹣1.0.1}, ∴i?S,故 A 错误; i2=﹣1∈S,故 B 正确; i3=﹣i?S,故 C 错误; ?S,故 D 错误; 故选 B 【点评】本题考查的知识点是虚数单位 i 及其性质,元素与集合的关系,其中利 用虚数单位 i 及其性质,计算出 i2,i3, ,是解答本题的关键.

2.n∈N 且 n<55,则乘积(55﹣n) (56﹣n)…(69﹣n)等于( A. B. C. D.



【分析】由于要求的式子是 15 个连续自然数的乘积,最大的为 69﹣n,根据排 列数公式得出结论. 【解答】解:∵n∈N 且 n<55,则乘积(55﹣n) (56﹣n)…(69﹣n)是 15 个 连续自然数的乘积,最大的为 69﹣n, 故(55﹣n) (56﹣n)…(69﹣n)= ,

故选:B. 【点评】本题主要考查排列数公式,属于基础题.

3.已知函数 y=xne﹣x,则其导数 y'=( A.nxn﹣1e﹣x B.xne﹣x C.2xne﹣x



D. (n﹣x)xn﹣1e﹣x

【分析】利用导数乘法法则进行计算,其中(e﹣x)′=﹣e﹣x, 【解答】解:y′=nxn﹣1e﹣x﹣xne﹣x=(n﹣x)xn﹣1e﹣x, 故选:D. 【点评】本题考查学生对导数乘法法则的运算能力,利用直接法求解.

4.当 x 在(﹣∞,+∞)上变化时,导函数 f′(x)的符号变化如下表: x (﹣ ∞.1) f′(x) ﹣ 0 + ) 0 ﹣ 1 (1,4) 4 (4, +∞)

则函数 f(x)的图象的大致形状为(

A.

B.

C



D.

【分析】f′(x)在(﹣∞,1)上小于 0,在(1,4)上大于 0,故 f(0)是函数 的极小值,同理可得 f(4)是函数的极大值,由此得出结论. 【解答】解:由图表可得函数 f′(x)在(﹣∞,1)上小于 0,在(1,4)上大 于 0, 即函数 f(x)在(﹣∞,1)上是减函数,在(1,4)上是增函数,故 f(0)是 函数的极小值.

同理,由图表可得函数 f′(x)在(1,4)上大于 0,在(1,4)上小于 0, 即函数 f(x)在(1,4)上是增函数,在(4,+∞)上是增函数,可得 f(4)是 函数的极大值, 故选 C. 【点评】本题考查函数零点的定义和判定定理,属于基础题.

5.抛物线 y=x2 的焦点坐标为( A. B. C.

) D. = ,

【分析】该抛物线的方程是 x2=2py(p>0)的形式,由此不难得到 2p=1, 所以抛物线的焦点坐标为: (0 , ) . 【解答】解:∵抛物线 y=x2 的标准形式是 x2=y, ∴抛物线焦点在 y 轴上,开口向上,可得 2p=1, 因此,抛物线的焦点坐标为: (0 , ) 故选 D =

【点评】本题给出抛物线的标准方程,求它的焦点坐标,着重考查了抛物线的标 准方程与简单性质,属于基础题.

6.方程

=

的解为( C.4

) D.5

A.4 或 9 B.9

【分析】利用组合数的性质,列出方程求解即可. 【解答】解:方程 解得 x=4 或 x=9. 故选:A. 【点评】本题考查组合数的性质的应用,考查计算能力. = ,可得 x=3x﹣8,或 x+3x﹣8=28,

7. A.

|x|dx 等于( xdx B.

) dx

C.

(﹣x)dx+

xdx D.

xdx+ |x|dx= ,则

(﹣x)dx (﹣x)dx+ xdx. xdx,

【分析】根据绝对值的意义,则 【解答】解:|x|= 故选 C.

|x|dx=

(﹣x)dx+

【点评】本题考查定积分的运算,考查分类讨论思想,属于基础题.

8.函数 y=x3+x2﹣x+1 在区间[﹣2,1]上的最小值为( A. B.2 C.﹣1 D.﹣4



【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而 求出函数的极值,比较端点值求出函数的最小值即可. 【解答】解:y′=3x2+2x﹣1=(3x﹣1) (x+1) , 令 y′>0,解得:x> 或 x<﹣1, 令 y′<0,解得:﹣1<x< , ∴函数在[﹣2,﹣1)递增,在(﹣1, )递减,在( ,1]递增, ∴x=﹣1 时,取极大值,极大值是 2, x= 时,函数取极小值,极小值是 而 x=﹣2 时,y=﹣1,x=1 时,y=2, 故函数的最小值是﹣1, 故选:C. 【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用,是一道 基础题. ,

9. 4) F 是抛物线 y2=8x 的焦点, M 是抛物线上的动点, 已知点 A (3, , 当|MA|+|MF| 最小时,M 点坐标是( A. (0,0) B. (3,2 ) ) C. (2,4) D. (3,﹣2 )

【分析】设抛物线的准线为 l,过 M 作 MB⊥l 于 B,过 A 作 AC⊥l 于 C,利用抛 物线的定义,可得结论.

【解答】解:设抛物线的准线为 l,过 M 作 MB⊥l 于 B,过 A 作 AC⊥l 于 C, 由抛物线定义知|MF|=|MB|? |MA|+|MF|=|MA|+|MB|≥|AC|(折线段大于垂 线段) ,当且仅当 A,M,C 三点共线取等号,即|MA|+|MF|最小. 此时 M 的纵坐标为 4,横坐标为 2 所以 M(2,4) 故选 C.

【点评】本题考查抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.

10. =kx﹣lnx 在区间 若函数 f (x) (1, +∞) 单调递增, 则 k 的取值范围是 ( A. (﹣∞,﹣2] B. (﹣∞,﹣1] C.[2,+∞) D.[1,+∞)



【分析】f′(x)=k﹣ ,由于函数 f(x)=kx﹣lnx 在区间(1,+∞)单调递增, 可得 f′(x)≥0 在区间(1,+∞)上恒成立.解出即可. 【解答】解:f′(x)=k﹣ , ∵函数 f(x)=kx﹣lnx 在区间(1,+∞)单调递增, ∴f′(x)≥0 在区间(1,+∞)上恒成立. ∴ ,

而 y= 在区间(1,+∞)上单调递减, ∴k≥1. ∴k 的取值范围是[1,+∞) . 故选:D. 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法, 属于基础题.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线

上. ) 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y) ,则点 M 取自阴影部分部 分的概率为 .

【分析】本题利用几何概型概率.先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积, 再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可. 【解答】解:长方形区域的面积为 3, 阴影部分部分的面积为 =x3| =1,

所以点 M 取自阴影部分部分的概率为 . 故答案为: . 【点评】 本题考查的定积分的简单应用,解决本题的关键是熟练掌握定积分的几 何意义及运算公式. 简单地说, 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何 概型.

12.与椭圆

焦点相同的等轴双曲线的标准方程为



【分析】根据椭圆方程算出椭圆焦点坐标为(±4,0) ,再由等轴双曲线与椭圆 共焦点,列式即可解出该双曲线的方程. 【解答】解:∵椭圆方程为 ∴c= = =16,可得焦点坐标为(±4,0) (a>0)

由于双曲线是等轴双曲线,可设双曲线方程为

∵双曲线与椭圆 ∴a2+a2=42=16,可得 a=2 因此,该双曲线方程为

焦点相同,

故答案为: 【点评】本题给出椭圆与等轴双曲线有相同的焦点,求双曲线的标准方程.着重 考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.

13.用 1,2,3,4,5 这 5 个数字组成没有重复数字的三位数,共有 其中偶数有 24 个(结果用数字回答) .

60

个,

【分析】用 1,2,3,4,5 这 5 个数字组成没有重复数字的三位数,就是求从 5 个元素中抽取 3 个的所有排列; 要使所得三位数为偶数, 则必须使得个位数为 2, 4,再分别求当个位数为 2,4 时,没有重复数字的三位数的个数. 【解答】解:用 1,2,3,4,5 这 5 个数字组成没有重复数字的三位数,就是求 从 5 个元素中抽取 3 个的所有排列,故有 A53=60 个 要使所得三位数为偶数,则必须使得个位数为 2,4 当个位数为 2 时,共有没有重复数字的三位数 A42=12 个 当个位数为 4 时,共有没有重复数字的三位数 A42=12 个 故三位数为偶数的共有 24 个 故答案为 60,24. 【点评】本题的考点是排列、组合及简单计数原理,主要考查排列的计算,考查 分类计数原理,求三位数为偶数的关键是判断出必须使得个位数为 2,4

14.由定积分的几何意义可知

dx=

2π . 与 x

【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分,即求被积函数 y= 轴所围成的图形的面积即可. 【解答】解:根据定积分的几何意义,则

dx 表示圆心在原点,半径

为 2 的圆的上半圆的面积, 故 dx= ×π×22=2π.

故答案为:2π.

【点评】本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识,考 查考查数形结合思想.属于基础题.

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. ) 15.某校高中部,高一有 6 个班,高二有 7 个班,高三有 8 个班,学校利用星期 六组织学生到某厂进行社会实践活动. (1)任选 1 个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法? (2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法? (3)选 2 个班的学生参加社会实践,要求这 2 个班不同年级,有多少种不同的 选法? 【分析】 (1)分三类情况讨论:第一类从高一年级选 1 个班,第二类从高二年级 选一个班,第三类从高三年级选 1 个班,有 8 种不同方法.由分类加法计数原理 计算可得答案; (2)分三步分析:第一步从高一年级选一个班,第二步从高二年级选 1 个班, 第三步从高三年级选 1 个班, 有 8 种不同方法,由分步乘法计数原理计算可得答 案; (3)分三类情况讨论:第一类从高一、高二两个年级各选一个班,第二类从高 一、高三两个年级各选 1 个班,第三类从高二、高三年级各选一个班,由分步乘

法计数原理计算可得答案. 【解答】解: (1)根据题意,分三类情况讨论:第一类从高一年级选 1 个班,有 6 种不同方法; 第二类从高二年级选一个班,有 7 种不同的方法; 第三类从高三年级选 1 个班,有 8 种不同方法. 由分类加法计数原理,共有 6+7+8=21 种不同的选法; (2)分三步分析:第一步从高一年级选一个班,有 6 种不同方法; 第二步从高二年级选 1 个班,有 7 种不同方法; 第三步从高三年级选 1 个班,有 8 种不同方法. 由分步乘法计数原理,共有 6×7×8=336 种不同的选法; (3)分三类情况讨论, 第一类从高一、高二两个年级各选一个班,有 6×7 种不同方法; 第二类从高一、高三两个年级各选 1 个班,有 6×8 种不同方法; 第三类从高二、高三年级各选一个班,有 7×8 种不同的方法, 故共有 6×7+6×8+7×8=146 种不同选法. 【点评】本题考查分步、分类计数原理的应用,注意分析题意,明确分步分析还 是分类讨论.

16.三个女生和四个男生排成一排 (Ⅰ)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (Ⅱ)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (Ⅲ)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法? 【分析】 (Ⅰ)用捆绑法,分两步进行,先 3 名女生看为一个整体,再将其与 4 名男生进行全排列,分别求出其情况数目,进而由分步计数原理计算可得答案; (Ⅱ)用插空法,分两步进行,先将 4 名男生全排列,有 5 个空位,在 5 个空位 中任选 3 个,安排 3 名女生,分别求出其情况数目,进而由分步计数原理计算可 得答案; (Ⅲ)用排除法,首先计算 7 人进行全排列的情况数目,再计算两端都站女生即 先在 3 名女生中任取 2 人,再将剩余的 5 人安排在其他 5 个位置,的情况数目,

用排除法即可得答案 【解答】解: (Ⅰ)根据题意,用捆绑法,3 名女生看为一个整体,考虑其顺序 有 A33 种情况, 再将其与 4 名男生进行全排列,有 A55 种情况, 则共有 A55×A33=720 种排法; (Ⅱ)用插空法,先将 4 名男生全排列,有 A44 种情况, 排好后,有 5 个空位,在其中任选 3 个,安排 3 名女生,有 A53 种情况, 则共有 A44A53=1440 种排法; (Ⅲ)用排除法,7 人进行全排列,有 A77 种排法, 两端都站女生, 即先在 3 名女生中任取 2 人, 再将剩余的 5 人安排在其他 5 个位 置,有 A32?A55 种站法, 则共有 A77﹣A32?A55=4320 种排法. 【点评】本题考查排列、组合的运用,注意优先分析特殊位置、特殊元素;其次 要掌握不相邻问题采用插空法,相邻问题采用捆绑法等常见问题的处理方法.

17. OB, OC 两两垂直, OB=OC=2, 如图, 已知三棱锥 O﹣ABC 的侧棱 OA, 且 OA=1, E 是 OC 的中点. (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值.

【分析】根据题中的条件可建立以 O 为原点,OB、OC、OA 分别为 X、Y、Z 轴的 空间直角坐标系然后利用空间向量进行求解: ( 1 )根据建立的空间直角坐标系求出 cos = 求出 cos< 然后再利用向量的夹角公式 >然后根据 cos< >≥0 则异面

直线 BE 与 AC 所成角即为< AC 所成角即为 π﹣< (2)由(1)求出 cos =

>,若 cos<

><0 则异面直线 BE 与

>进而可求出异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值. 和平面 ABC 的一个法向量 求出 cos< ﹣< , , , 然后再利用向量的夹角公式 , >≥0 则直线

>再根据若 cos< >,若 cos< ,

BE 和平面 ABC 的所成角为 和平面 ABC 的所成角为<

><0 则直线 BE , >

>﹣

然后再根据诱导公式和 cos<

的值即可求出直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值. 【解答】解: (1)以 O 为原点,OB、OC、OA 分别为 X、Y、Z 轴建立空间直角坐 标系. 则有 A(0,0,1) 、B(2,0,0) 、C(0,2,0) 、E(0,1,0)… ∴ ∴COS< , >= =﹣ …

所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为 … (2)设平面 ABC 的法向量为 知 知 则 取 … … ,… 则

故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为

【点评】 本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角,属立 体几何中的常考题型, 较难. 解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后

可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法 求线面角关键是正确求解平面的一个法向量!

18.已知函数 f(x)=ax3+bx2﹣3x 在 x=±1 处取得极值. (Ⅰ)讨论 f(1)和 f(﹣1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (Ⅱ)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求出 f'(x) ,因为函数在 x=±1 处取得极值,即得到 f'(1)=f'(﹣ 1)=0,代入求出 a 与 b 得到函数解析式,然后讨论利用 x 的取值范围讨论函数 的增减性,得到 f(1)和 f(﹣1)分别是函数 f(x)的极小值和极大值; (Ⅱ)先判断点 A(0,16)不在曲线上,设切点为 M(x0,y0) ,分别代入导函 数和函数中写出切线方程,因为 A 点在切线上,把 A 坐标代入求出切点坐标即 可求出切线方程. 【解答】 (Ⅰ)解:f'(x)=3ax2+2bx﹣3,依 题意,f'(1)=f'(﹣1)=0, 即 解得 a=1,b=0. ∴f(x)=x3﹣3x,f'(x)=3x2﹣3=3(x+1) (x﹣1) . 令 f'(x)=0,得 x=﹣1,x=1. 若 x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , 则 f'(x)>0, 故 f(x)在(﹣∞,﹣1)上是增函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数. 若 x∈(﹣1,1) , 则 f'(x)<0,故 f(x)在(﹣1,1)上是减函数. 所以,f(﹣1)=2 是极大值;f(1)=﹣2 是极小值. (Ⅱ)解:曲线方程为 y=x3﹣3x,点 A(0,16)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0) , 则点 M 的坐标满足 y0=x03﹣3x0. 因 f'(x0)=3(x02﹣1) , 故切线的方程为 y﹣y0=3(x02﹣1) (x﹣x0)

注意到点 A(0,16)在切线上,有 16﹣(x03﹣3x0)=3(x02﹣1) (0﹣x0) 化简得 x03=﹣8, 解得 x0=﹣2. 所以,切点为 M(﹣2,﹣2) ,切线方程为 9x﹣y+16=0. 【点评】 考查学生利用导数研究函数极值的能力,以及利用导数研究曲线上某点 的切线方程的能力.

19.已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

的离心率为

,且经过点



(Ⅱ)过点 P(0,2)的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,求△AOB(O 为原点)面 积的最大值. 【分析】 (Ⅰ)由 能求出椭圆 C 的方程. (Ⅱ)设直线方程为 y=kx+2.将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去 y 得 (1+3k2)x2+12kx+9=0.再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大 值. 【解答】 (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由 得 . ①… ,得 . . … … . ②… , ,得 .再由椭圆 C 经过点 ,

由椭圆 C 经过点 联立①②,解得 b=1, 所以椭圆 C 的方程是

(Ⅱ)解:易知直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=kx+2. 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立, 消去 y 得 (1+3k2)x2+12kx+9=0.…

令△=144k2﹣36(1+3k2)>0,得 k2>1. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 所以 因为 设 k2﹣1=t(t>0) , 则 当且仅当 ,即 时等号成立, .… . … , . … . … ,

此时△AOB 面积取得最大值

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形最大面积的计算.考查运算推理 能力和计算求解能力,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理 地进行等价转化.

2017 年 7 月 12 日
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