2018-2019学年高中数学(人教B版)必修1课件:2.1 2.1.3 函数的单调性_图文


2.1.3 函数的单调性 预习课本 P44~46,思考并完成以下问题 增函数、减函数的概念是什么? [新知初探] 函数的单调性 设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 M?A,如果取区间 Δx=x2-x1>0 ,则当 任意 两个值 x1,x2,改变量______________ M 中的_____ Δy=f(x2)-f(x1)>0 时, ___________________ 就称函数 y=f(x)在区间 M 上是增 Δy=f(x2)-f(x1)<0 时,就称函数 y=f(x) 函数,如图(1);当_________________ 在区间 M 上是减函数,如图(2). 如果函数 y=f(x)在某个区间 M 上是增函数或是减函 数, 就说 y=f(x)在这个区间 M 上具有_______ 单调性 (区间 M 称 为单调区间). [点睛] (1)函数单调性定义的理解 ①任意性,即“任意取 x1, x2”, 不能取两个特殊 值;② x1, x2 有大小 ,通常规定 Δx= x2- x1>0;③ x1, x2 同属于定义域的某个子区间. (2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,即 单调区间是定义域的子集. [小试身手] 1.判断.(正确的打“√”,错误的打“×” ) (1)函数 y= x2 在 R 上是增函数. (2)所有的函数在其定义域上都具有单调性. ( × ) ( × ) (3)在增函数与减函数的定义中, 可以把“任意两个自变量” 改为“存在两个自变量”. ( × ) 2.函数 y=f(x)的图象如图所示,其增区间是 A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 答案:C ( ) 3. 下列函数 f(x)中, 满足对任意 x1, x2∈ (0, +∞), 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)的是 A. f(x)= x 2 ( 1 B. f(x)= x D. f(x)= 2x+ 1 ) C. f(x)= |x| 答案:B 2 4.函数 f(x)= ,x∈[ 2,4],则 f(x)的最大值为______;最 x 小值为________. 1 答案:1 2 函数单调性的判定与证明 x+1 [典例] 证明函数 f(x)= ,x∈[3,5]为增函数. 2-x [证明] 设 x1, x2 是区间[3,5]上的任意两个实数且 x1 < x2,则 Δx=x2-x1>0, Δy= f(x2)-f(x1) x2+ 1 x1+1 3? x2- x1? = - = , 2-x2 2- x1 ? 2- x2?? 2- x1? ∵ 3≤x1<x2≤ 5, ∴ x2- x1>0,2- x1< 0,2- x2< 0. ∴ Δy>0, ∴函数 f(x)在[3,5]上为增函数. 用定义法证明函数单调性的步骤 [活学活用] 4 证明:函数 f(x)=x+ 在(2,+∞)上是增函数. x 证明: 任取 x1, x2∈(2,+∞), 且 x1<x2,则 Δx= x2- x1>0, 4 4 Δy= f(x2)- f(x1)= x2+ - x1- x2 x1 4? x1- x2? = (x2- x1)+ x1x2 x1x2- 4 = (x2- x1)· . x1x2 ∵ 2<x1<x2,∴ x2- x1>0, x1x2>4, x1x2- 4>0, 4 ∴ Δy>0,∴函数 f(x)= x+ 在(2,+∞)上是增函数 . x 求函数的单调区间 [典例] 单调区间. [解] 画出函数 y=-x2+2|x|+1 的图象并写出函数的 2 ? ?- x + 2x+ 1, x≥ 0, y=? 2 ? - x -2x+1,x<0, ? ?-? x- 1?2+ 2, x≥ 0, ? 即y=? 2 ? - ? x + 1 ? +2,x<0. ? 函数的大致图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1], [0,1],单调减区间为(-1,0),(1,+∞). 求函数单调区间的2种方法 (1)定义法.即先求出定义域,再利用定义法进行判 断求解. (2)图象法.即先画出图象,根据图象求单调区间. [活学活用] 1.如图所示为函数 y=f(x),x∈[-4,7]的图象,则函数 f(x) 的单调递增区间是 ________. 解析:由图象知单调递增区间为[-1.5,3]和[5,6]. 答案:[-1.5,3]和[ 5,6] 1 2.求函数f(x)= 的单调减区间. x-1 1 解:函数f(x)= 的定义域为(-∞, 1)∪ (1,+∞ ), x- 1 设 x1, x2∈ (-∞, 1),且 x1<x2,则 Δx= x2- x1>0, x1- x2 1 1 Δy= f(x2)- f(x1)= - = . x2- 1 x1- 1 ? x1- 1?? x2- 1? 因为 x1<x2<1,所以 x1- x2< 0, x1- 1<0, x2- 1<0, 所以 Δy=f(x2)- f(x1)< 0, 所以函数f(x)在(- ∞, 1)上单调递减,同理函数f(x)在 (1,+∞ )上单调递减. 综上,函数f(x)的单调递减区间是(-∞, 1),(1,+∞ ). 函数单调性的应用 题点一:利用单调性比较大小 1.若函数f(x)在区间(-∞,+∞ )上是减函数,则下列关系 式一定成立的是 A.f(a)>f(2a) C.f(a2+a)<f(a) B. f(a2)<f(a) D. f(a2+1)<f(a2) ( ) 解析:选D 因为f(x)是区间(-∞,+∞)上的减函数, 且a2+1>a2,所以f(a2+1)<f(a2).故选D. 题点二:利用单调性求最值 1 2.函数y=- ,x∈[-3,-1]的最大值与最小值的差是 x ________. 1 解析: 易证函数y=- 在[- 3,- 1]上为增函数,所以 x 1 ymin= , ymax= 1,

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