2017-2018学年人教版高中数学必修一 第二章 2.1 2.1.2 第一课时 指数函数及其性质_图文


2.1.2 第一课时 指数函数及其性质 指数函数及其性质 指数函数的定义 [提出问题] 观察下列从数集A到数集B的对应: ①A=R,B=R,f:x→y=2x; ?1? ②A=R,B=(0,+∞),f:x→y=?2?x. ? ? 问题1:这两个对应能构成函数吗? 提示:能. 问题2:这两个函数有什么特点? 提示:底数是常数,指数是自变量. [导入新知] 指数函数的定义 x y = a (a>0且a≠1) 叫做指数函数,其中x是自变量,函 函数 数的定义域为R. [化解疑难] 指数函数的概念中规定“a>0,且a≠1”的原因 (1)若a=0,则当x>0时,ax=0;当x≤0时,ax无意义. (2)若a<0,则对于x的某些数值,可使ax无意义.如(-2)x, 1 1 这时对于x= ,x= ,?,在实数范围内函数值不存在. 4 2 (3)若a=1,则对于任何x∈R,ax=1,是一个常量,没有研 究的必要. 为了避免上述各种情况的发生,所以规定a>0,且a≠1.在 规定以后,对于任何x∈R,ax都有意义,且ax>0. 指数函数的图象与性质 [提出问题] 问题 1:试作出函数 y=2 (x∈R)和 x ?1? y=?2?x(x∈R)的图象. ? ? 提示:如图所示: 问题2:两函数图象有无交点? 提示:有交点,其坐标为(0,1). 问题3:两函数的定义域是什么?值域是什么?单调性如何? 提示:定义域都是R;值域都是(0,+∞);函数y=2x是增函 ?1? 数,函数y=?2?x是减函数. ? ? [导入新知] 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域 值域 过定点 单调性 R ___ (0 ,+∞) _________ 1 过点 (0,1) ,即x= 0 时,y=__ 增函数 减函数 是R上的_______ 是R上的_______ [化解疑难] 透析指数函数的图象与性质 (1)当底数a大小不确定时,必须分a>1和0<a<1两种情况 讨论函数的图象和性质. (2)当a>1时,x的值越小,函数的图象越接近x轴;当 0<a<1时,x的值越大,函数的图象越接近x轴. (3)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二 象限. 指数函数的概念 [例1] (1)下列函数: + ①y=2· 3x;②y=3x 1;③y=3x;④y=x3. 其中,指数函数的个数是 A.0 C.2 B.1 D.3 ( ) ( ) (2)若函数y=(a-2)2ax是指数函数,则 A.a=1或a=3 C.a=3 B.a=1 D.a>0,且a≠1 [解析] (1)①中,3x的系数是2,故①不是指数函数; ②中,y=3x+1的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数 函数; ③中,y=3x,3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一 项,故③是指数函数; ④中,y=x3中底数为自变量,指数为常数,故④不是指数 函数.所以只有③是指数函数. 2 ? ??a-2? =1, (2)由指数函数定义知? ? ?a>0,且a≠1, 所以解得a=3. [答案] (1)B (2)C [类题通法] 判断一个函数是否为指数函数的方法 判断一个函数是不是指数函数,其关键是分析该函数是否具 备指数函数三大特征: (1)底数a>0,且a≠1; (2)ax的系数为1; (3)y=ax中a是常数,x为自变量,自变量在指数位置上. [活学活用] 下列函数中是指数函数的是________(填序号). ①y=2· ( 2) ;②y=2 ④y=xx;⑤y=3 - 1 x x x-1 ?π? ;③y=?2 ?x; ? ? 1 3 ;⑥y=x . 解析:①中指数式( 2)x的系数不为1,故不是指数函数;②中 y= 2 x-1 1 x = · 2 ,指数式2x的系数不为1,故不是指数函数;④ 2 中底数为x,不满足底数是唯一确定的值,故不是指数函数; ⑤中指数不是x,故不是指数函数;⑥中指数为常数且底数不 是唯一确定的值,故不是指数函数. 答案:③ 指数函数的图象问题 [例2] (1)如图是指数函数①y=ax,②y= bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与 1的大小关系为 A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c (2)函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点________. ( ) [解析] (1)由图象可知③④的底数必大于 1,①②的底数必小于1. 过点(1,0)作直线x=1,如图所示,在第一 象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底 数,则1<d<c,b<a<1,从而可知a,b,c,d与1的大小关系为 b<a<1<d<c. (2)法一:因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点 (0,1),所以在函数y=ax 3+3中,令x=3,得y=1+3=4,即函 - 数的图象过定点(3,4). 法二:将原函数变形,得y-3=ax-3,然后把y-3看作是(x -3)的指数函数,所以当x-3=0时,y-3=1,即x=3,y=4, 所以原函数的图象过定点(3,4). [答案] (1)B (2)(3,4) [类题通法] 底数a对函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”: 当a>1时,指数函数的图象“上升”;当0<a<1时,指数函数的 图象“下降”. (2)底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是a>1, 还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越靠近y轴. 当a>b>1时, ①若x>0,则ax>bx>1; ②若x<0,则1>bx>ax>0. 当1>a>b>0时, ①若x>0,则1>ax>bx>0; ②若x<0,则bx>ax>1. [活学活用] 函数f(x)=ax与g(x)=-x+a的图象大致是 ( ) 解析:当a

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