高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4课件北师大版必修2


【课标要求】 1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会用方程组解的个数判定两直线的位置关系. 3.会用求交点坐标的方法解决直线过定点、三线共点等问题. 自主学习 |新知预习| 基础认识 两条直线的交点 (1)前提 两条不重合、不平行的直线方程分别为 l1:A1x+B1y+C1=0; l2:A2x+B2y+C2=0 (2)探究一 已知条件 结论 两条直线相交 交点同时在这两条直线上 ? ?A1x+B1y+C1=0, 交点坐标是方程组? 的唯一解 ? ?A2x+B2y+C2=0, (3)探究二 已知条件 ? ?A1x+B1y+C1=0, 方程组? ? ?A2x+B2y+C2=0, 只有一个解 以这个解为坐标的点,必是直线l1和l2的交点 结论 (4)结论 求两条直线的交点,就是求这两个直线方程的公共解. |自我尝试| 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点坐标就 ? ?A1x+B1y+C1=0 是方程组? 的实数解.( √ ) ? ?A2x+B2y+C2=0 ? ?A1x+B1y+C1=0 (2)若方程组 ? ? ?A2x+B2y+C2=0 无解,则两直线没有交点,两 直线平行.( √ ) (3)直线x=2与y=3没有交点.( × ) (4)直线y=b与x=a的公共点为(a,b).( √ ) 2.两条直线l1:2x-y-1=0与l2:x+3y-11=0的交点坐标 为( ) A.(3,2) B.(2,3) C.(-2,-3) D.(-3,-2) ? ?2x-y-1=0, 解析:解方程组? ? ?x+3y-11=0, ? ?x=2, 得? ? ?y=3, 故两条直线的交点坐标为(2,3). 答案:B 3.下列直线与直线x+y=0相交的是( 1 A.y=-x+3 B.-x-y+2=0 C.x-y+2=0 D.2x+2y-5=0 ) 解析:A,B,D选项中的直线均与x+y=0平行,只有C选项 中的直线与x+y=0相交. 答案:C 4.若(-1,-2)为直线ax+3y+8=0与x-by=0的交点,则 a,b的值分别为( ) 1 1 A.2,2 B.2,2 1 1 C.-2,-2 D.-2,2 解析:∵(-1,-2)为两条直线的交点, ? ?-a-6+8=0, ∴? ? ?-1+2b=0, ? ?a=2, 得? 1 b=2. ? ? 答案:A 5.已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若l1 与l2相交,则实数a满足的条件是________. 解析:由题意得6a-12≠0,即a≠2. 答案:a≠2 课堂探究 互动讲练 类型一两条直线的交点问题 [例1] 求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点 P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程. 【解】 法一:(直接法)解方程组 ? ?x-2y+4=0, ? 得P(0,2). ? x + y - 2 = 0 , ? 3 4 因为l3的斜率为4,所以直线l的斜率为-3. 4 所以l的方程为y=-3x+2,即4x+3y-6=0. 法二:(待定系数法)设直线l的方程为4x+3y+m=0. ? ?x-2y+4=0, 解方程组? 得P(0,2), ? x + y - 2 = 0 , ? 因为直线l过点P(0,2),所以4×0+3×2+m=0,m=-6. 所以直线l的方程为4x+3y-6=0. 法三:(待定系数法)设直线l的方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2) =0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0, 由题意,知3×(1+λ)+(-4)(λ-2)=0, 解得λ=11,即直线l的方程为4x+3y-6=0. 方法归纳 过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再 结合其他条件写出直线方程. (2)特殊解法(直线系法):先设出过两直线交点的直线方程,再 结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程. 跟踪训练 1 (1)过原点和直线l1:x-3y+4=0与l2:2x+y+5 =0的交点的直线方程为( C ) A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.3x+19y=0 D.19x-3y=0 (2)直线y=ax+1与y=x+b交于点(1,1),则a=________ ,b= 0 0 ________ ; (3)若直线5x+4y-2m-1=0与2x+3y-m=0的交点在第四象 限,求m的取值范围. 解析:(1)设所求直线方程为(x-3y+4)+λ(2x+y+5)=0,将 4 (0,0)代入得4+5λ=0,解得λ=- 5 .故所求直线方程为(x-3y+4)- 4 5(2x+y+5)=0,即3x+19y=0,故选C. (2)因为直线y=ax+1与y=x+b的交点为(1,1), ? a= 0 ?1=a+1 所以? ? ? 1 = 1 + b b=0. ? 故填0和0. ? ?5x+4y-2m-1=0 (3)由方程组? ? ? 2x+3y-m=0, ? 2m+3 ?x= 7 解得? ?y=m-2. 7 ? ?2m+3 m-2? ?. 所以两条直线的交点坐标为? , 7 ? ? 7 ?2m+3 ? 7 >0 因为此交点在第四象限,所以? ?m-2<0, ? 7 ? 3 ? ? 故所求m的取值范围是 -2,2?. ? ? 3 解得-2<m<2. 类型二直线过定点问题 [例2] 已知m∈R,试求方程(m+2)x+(m-3)y+4=0所表示 的直线恒过的定点P. 【解析】 法一:当m=-2时,方程变为-5y+4=0; 当m=3时,方程变为5x+4=0, ?x=-4 ? ? 5 ?-5y+4=0 解方程组? 得? ? ?5x+4=0, ?y=4, ? 5 ? 4 4? 因此直线所经过的定点

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