切割线定理又一推论及应用


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?2 4?   重 庆 

《 数学 教学 通 讯 ]  ̄ 2 0 0 1年 第 3期 ( 总第 J 3 6期 )  

切 割线定 理 叉一 推 论及 应 用  
( 云 南省 广 南 县 第 一 中学  6 6 3 3 0 0 )   王  九 年制 义 务 教 育 教材 《 几 何 》第 三 册 P  
介 绍 了切 割 线 定 理 及 推 论 , 本人 对 推论进 行探  究 可得如 下的一 个重要 推论.   推论: 如图 1 , 已 知 00 的 半 径 为 ' R, 过 00  

瑜 

( c)  

2.  

( D )—  .  

( 1   9 9 9年 河 北 省 初 中 数 学 竞 赛 试 题 )   解 :以 点 P 为 圆 心 , PB 的 长 为 半 径作 0 P  
交 PD 于 F.  

外 一 点 作 割 线 PAB, 则 PA ? PB = PO  一 R  
(* )  

由( *) 式得: PD 一 PB  = CD ? DB  


证明: 延 长 PO交 0 0于 E, 则 PE— P O + 
R. P F — P 0 一 R 

c D z 一 2 C D z , 所 以 ( 器  3  
=  

由切割线定 理 的推论 。 得:  
P  ? P B — PF ?PE 一 ( P0 一 R ) ( P0 +  
R 、 = P 0  一 R 

所 以 PD 面

可( 负值舍 去 )  

B 

( *)式 是 切 割 线 定 理 的 幂 的 形 式 , 更 具 有 


般性 , 在很 多情 况 下 , 使用 ( *)式 比 使 用 切 
幽 3   图4  

割 线 定 理 的 推 论 更 简捷 . 更 明快 . 下 面 举 例 说 
明.  

例 3   在以 0 为 圆心的两 个 同心 圆中 , A、   B 为 大 圆 上 的 任意 两 点 , 过  、 B作 小 圆 的 剖线 
AXY 和 B PQ , 求证 :  X ? AY — BP ? BQ.  

( 《 几 何 》第 三 册 第 1 2 7页 第 二 题 )  
证明 : 连 结 OA、 OB, 则 OA — OB.  
圈 1   2  

由( *) 式得:   X ? AY — OA  一 r 2 ( r 是 小 圆半径 )  
BP ?BQ = 0 B 一 一 

倒 1   如图2 , 两个 同心 圆 , 点  在 大 圆上 ,  

AB C为小 圆的割线 , 若 AB ? AC 一 8 , 则 圆 环 的 
面积 为(   )  
( B)8 r e .   ( C) l 2  .   ( D )1 6  .   ( A)4 n " .  

所 以 4X ?   Y= B P ? BQ  

例 4   如图 5 , 00 的 弦 AB 的 延 长 线 和 切 
线 EP 相 交 于 点 P , E为切点 ,   APE 的 平 分 线 

( 1 9 9 5年 河 北 省 中 考 试 题 )  

解 :连 结 OA, 设小 圆的半径 为 r , 则 
S目   — S^ 一 S   一  ̄ r ( OA  一 一 )  

和 A E、 BE 分 别相 交 于点 c、 D. 求证 : PC ? PD 


P E  一 CE 

由( *) 式得 : AB ? ^C = OA  一 r   所 以 OA  一 一 一 8.故 S日  一 8  
例 2


证明: 因 为 EP 为 0 0 的 切 线 .   所 以  A 一  3 .   P C 平 分   APE , 所 以  1= Z 2 .   叉 因 为  E DC 一  l +  3 .  
ECD —  A +  2,  

已知 , 如图 3 , AB — BC — CD — PB 

Pc, 那 么P   D 的值 为 (   万

)  

( A ) 卑 .  

( B )  

所 以  EDC —  ECD , 即 C E — DE.  

以 E 为 圆心 , 以 CE 的 长 为 半 径 作 0E. 由  

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《 数学 教 学 通 讯 2 ∞ 1年 第 3期 ( 总第 1 3 6期 )  

重庆

?2 5?  



个 问 题 的 再 探 究 
( 浙 江 省 永 康 第 一 中 学  3 2 1   3 0 0 )   李 康 海 

本刊 2 0 0 0年 第 3期 《 争 鸣》 、 第 9期 《 . . 争  鸣” 在 续 》两 文 所 讨 论 的 是 如 下 问 题 :   确定 2   +2   +2 ‘ ( d ,  , r∈ Z  ) 为 完 全 平 方  数的充 要条件 .   经探 讨 , 笔 者 找 到 了 充 要 条 件  但 形 式较 复  杂, 本文 只给 出较简 明的充分 条件.   不 妨 设 d> 6 > “则 2   +2   +2   一2   ( 2 一  + 2   + 1 ) . 易知 2   因此 , 只需 讨论 2  + 2   + 1为 完 全 平 方 数 的 条 件 .   结论 : ( 1 )Ⅲ = d .   一 3时 , 2  + 2  + 1为  完全 平 方 数 .   ( 2 )   一 5或 9 . ^= 4时 , 2  + 2  + 1为 完  全 平方数 ( 即分 别为 7  和 2 3   ) .  
( 3 )   一2 k一 2 (   >  ≥ 3 )时 , 2  十 2  + 

十 1),  

由 ”一 1 O 0= 3 , 得 ,  一 1 0 3 , 由 "一 1 0 0=  5或 9 , 得 N= 1 0 5   一 1 0 9 .  
由 N~ 1 0 0 = 2 × 4~ 2 , 得 N= 1 0 6 .  

若 n< 1 0 0 , 则 厂( H)一 2   ( 2  
1) .  

+2  一  + 

由 1 0 4一  一 2( 1 ? ) 0一  )~ 2, 得 "= 9 4,   此时 2  。+ 2  ‘+ 2   一 2   × 1 0 8 9= ( 2   × 
33 )  .  

由 1 0 0一 N一 3或 1 0 0一  = 4 , 均无 解 .   故 N一 9 4或 1 0 3或 1 0 5或 1 0 6或 1 O 9 .   侧2   是否 存在 ”∈ z  , 使, ( N )一 2   。 +  2 ”  + 2  是 一 个 完 全 平 方 数 ?  
解 : f( n)一 2 ¨ 。 ( { :  。+ 2 一 。+ 1 )   由 9 5 0: 2 ( ”~ 1 0 0 )一 2, 得 n一 5 7 6 .   由 N一 1 0 0— 2 : 《9 5 0~ 2, 得 H一 1 9 9 8 .  

1= ( 2  

+ 1 )  为 完 全 平 方 数 .  

结 论较 易证 明 , 本文 从略. 下 面 用 此 结 论 试 
解上 述两文 中的问题 .  

故 ”一 5 7 6或 1 9   9 8 .  

倒 1 是 否存 在 I 1 ∈z  , 使 f ( n )一 2   。 + 
2   ‘ + 2  是 完 全 平 方 数 ?  

编者 按 : 此 类 问趣 的 讨 论 就 此 结 束 , 感 谢 广 

解: 若  > 】 O O , 则  ( N )   2   。 ( 2  + 2  n 。  
( * )式 得 : Pc -, J , ] = PE  一 C E  

大 作者 和读 者 对本 刊 的厚爱 , 若 对 此 问 题 仍 有  兴趣 的读者 , 请 与本 : 乏作 者 联 系 .  
v v v V V 、 ,v v v  v  

从 而  M AF = ;   AM F ,   即 有 AF = FM — C M ,  

设 C D一 7 2 , 则 CM 一 、  = r干  ,  
AC 一  一 十 Z 5 , 由( *) 式得 :  
^ F —A C — A M   一 CM   .  

干1
图s   图6  

?、  

一 ( 5— 1 )  

( 、   了 1)   .  

例 5

在 △ ABC 中 , AB: AC, B C上 的 高 

AD 一 5 , M 在 AD 上 一 点 , MD — l , 且   BM C   = 3   BA C。 试 求 △ ABC 的 周 长 ( 1 9 9 5年 四 J I 『   省联 赛试题 )  

解之 得 :   = 导  丁 ( 负根 舍去) .  
所  A C一 、   F西 一  /再 。  

解 :以 M 为 圆 心 . 以 M C为 半 径 作 0M 交  AC 于 F, 交 AD 于 E. 连结 MI ,   , 由  DMC = 
3   DAC , 目 CM = FM 知  
M C F =  M Fc : z   D Ac .  

所 以 C△ ^   月* 一 2 ( CD + AC)一 

2 ( 喜  

+  
( 2  

) 一  
+ 1)  


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