高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课件新人教A版选修2_图文


2.2.1 综合法和分析法 预习课本 P85~89,思考并完成下列问题 (1)综合法的定义是什么?有什么特点? (2)综合法的推证过程是什么? (3)分析法的定义是什么?有什么特点? (4)分析法与综合法有什么区别和联系? [新知初探] 1.综合法 定义 利用 已知条件 和某些数 推证过程 P?Q1 → Q1?Q2 特点 公理 、定理 等, 学 定义 、 顺推证 → Q2?Q3 →…→ Qn?Q 经过一系列的 推理论证, 法或由 (P 表示已知条件 , 已有的 最后推导出所要证明的结 因导果 定义 _____、公理 、 定理 等, 论成立,这种证明方法叫 法 Q 表示 所要证明的结论 ). 做综合法 2.分析法 定义 从要证明的 结论出发 , 逐 步寻求使它成立的 充分条 逆推 Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →…→ 得到一个明显 证法 或执 成立的条件 果索 因法 框图表示 特点 件 __,直至最后,把要证明的 结论归结为判定一个明显 成 立 的 条 件 ( 已 知 条 公理等) 件、 定理 、 定义、 为止. 这种证明方法叫做分 析法 3.综合法、分析法的区别 综合法 推理方向 解题思路 顺推,由因导果 探路较难,易生 分析法 倒溯,执果索因 容易探路,利于思考 枝节 形式简洁,条理 清晰 侧重于已知条件 提供的信息 表述形式 思考的 侧重点 叙述繁琐,易出错 侧重于结论提供的信息 [点睛] 一般来说,分析法解题方向明确,利于寻求解 题思路;而综合法解题条理清晰,宜于表述.因此在解决问 题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理 地表述解题过程. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法. (2)分析法就是从结论推向已知. (3)所有证明的题目均可使用分析法证明. ( × ) ( ×) ( ×) 2.若 a>b>0,则下列不等式中不正确的是 A.a2>ab 1 1 C.a>b B.ab>b2 D.a2>b2 ( ) 答案:C 3.欲证 2- 3< 6- 7成立,只需证 A.( 2- 3)2<( 6- 7)2 B.( 2- 6)2<( 3- 7)2 C.( 2+ 7)2<( 3+ 6)2 D.( 2- 3- 6)2<(- 7)2 ( ) 答案:C 4.如果 a a>b b,则实数 a,b 应满足的条件是________. 答案: a>b>0 综合法的应用 在△ABC 中,三边 a,b,c 成等比数列. 3 2 C 2 A 求证:acos +ccos ≥ b. 2 2 2 [证明] ∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. a(1+cos C) c(1+cos A) 1 1 ∵左边= + = (a+c)+ (acos C+ccos A) 2 2 2 2 2 2 2 b2+c2-a2? 1 1? ? a +b -c ? = (a+c)+ ?a· + c· 2 2? 2ab 2bc ? ? 1 1 b b 3 = (a+c)+ b≥ ac+ =b+ = b=右边, 2 2 2 2 2 3 2C 2 A ∴acos +ccos ≥ b. 当且仅当 a=c 时等号成立. 2 2 2 [典例] 综合法的解题步骤 [活学活用] 1.已知 a,b,c,d∈R,求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 证明:∵左边=a2c2+2abcd+b2d2 ≤a2c2+(a2d2+b2c2)+b2d2 =(a2+b2)(c2+d2)=右边, ∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 1 1 2.设数列{an}满足 a1=0, - =1. 1-an+1 1-an (1)求{an}的通项公式; 1- an+1 (2)设 bn= ,Sn=b1+b2+…+bn,证明:Sn<1. n 1 1 解:(1)∵ - =1, 1-an+1 1-an ? ? 1 ? ? ? ∴ 1-a ?是公差为 ? n? ? ? 1 的等差数列. 1 1 1 又∵ =1,∴ =n,an=1-n. 1-a1 1-an (2)证明:由(1)得 1- an+1 n+1- n 1 1 bn= = = - , n n n+1· n n+1 1 1 1 ∴Sn=b1+b2+…+bn=1- + - +…+ 2 2 3 1 1 1 - =1- <1. n n+1 n+1 ∴Sn<1. 分析法的应用 [典例] [证明] 设 a,b 为实数,求证: 2 a +b ≥ (a+b). 2 2 2 当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0, 2 2 2 ∴ a +b ≥ (a+b)成立. 2 当 a+b>0 时, 用分析法证明如下: 要证 只需证( a +b ) 2 2 2 2 2 2 a +b ≥ (a+b), 2 2 2 1 2 即证 a +b ≥ (a +b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. 2 ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, 2 2 2 ∴ a +b ≥ (a+b)成立.综上所述,不等式得证. 2 ? ≥? ? ? ? 2 ? (a+b)?2. 2 ? 分析法证明不等式的依据、方法与技巧 (1)解题依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本 性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论; (2)适用范围:对于一些条件复杂,结构简单的不等式的 证明,经常用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不 等式的证明,常用分析法; (3)思路方法:分析法证明不等式的思路是从要证的不等 式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条 件是已知(或已证)的不等式; (4)应用技巧:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地 用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语. [活学活用] 已知 a,b,c 都为正实数,求证: 证明:要证 a2+b2+c2 a+b+c ≥ , 3 3 a2

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