【步步高】2016高考数学大一轮复习 2.1函数及其表示试题 理 苏教版


第二章

函数与基本初等函数Ⅰ

第 1 讲 函数及其表示
一、填空题 1.设 f(2 -1)=2x-1,则 f(x)的定义域是________. 解析 ∵x∈R,∴2 >0,∴2 -1>-1,∴f(x)的定义域是(-1,+∞). 答案 (-1,+∞) 2.设集合 A={x|-3≤2x-1≤3},集合 B 为函数 y=lg(x-1)的定义域, 则 A∩B=________. 解析 利用集合的运算求解. 由题意知:B={x|x-1>0}={x|x>1}, 又∵A={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2}. 答案 {x|1<x≤2}
? ?-x,x≤0, 3.设函数 f(x)=? 2 ?x ,x>0. ?
2

x

x

x

若 f(a)=4,则实数 a=________.

解析 当 a>0 时,有 a =4,∴a=2;当 a≤0 时,有-a=4,∴a=-4,因此 a=-4 或 2. 答案 -4 或 2 |x-1|-2,|x|≤1, ? ? 4.设 f(x)=? 1 2,|x|>1, ? ?1+x

? ?1?? 则 f?f? ??等于________. ? ?2??

3 ?1? 1 ? ?1?? 解析 因为 f? ?= -2=- ,所以 f?f? ??= 2 ?2? 2 ? ?2??

f?- ?= 2

? 3? ? ?

4 = . 3 13 ? ?2 1+?- ? ? 2?

1

答案

4 13
2

5 .设函数 f(x) = -x -2x+15,集合 A = {x|y = f(x)} , B = {y|y = f(x)} ,则 A∩B= ________. 解析 由-x -2x+15≥0,得 x +2x-15≤0,解得-5≤x≤3,所以 A=[-5,3].又由
2 2

y=-x2-2x+15=-(x+1)2+16≤16,得 0≤f(x)≤4,所以 B=[0,4],所以 A∩B=
[0,3]. 答案 [0,3]

1

? ? x,x≥0, 6.设函数 f(x)=??1?x ? ? ,x<0, ? ??2?

则 f(f(-4))=________.

??1?-4? 解析 “分段”求值.f(f(-4))=f?? ? ?=f(16)=4. ??2? ?
答案 4 7.函数 y= 1- 解析

x+

的定义域为________.
? ?x+2≤10, ?x+2>0, ?

由题意可知 1-lg(x+2)≥0,整理得 lg(x+2)≤1,∴?

解得-

2<x≤8,故函数 y= 1- 答案 (-2,8]
?2,x>0, ? 8.若函数 f(x)=? 2 ?x ,x≤0, ?

x+

的定义域为(-2,8].

则满足 f(a)=1 的实数 a 的值为

________. 解析 依题意,满足 f(a)=1 的实数 a 必不超过零,于是有? 1. 答案 -1 9.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=?
? ?a,a-b≤1, ?b,a-b>1. ? ? ?a≤0, ?a =1, ?
2

由此解得 a=-

设函数 f(x)=(x -2)?(x-1),

2

x ∈ R. 若函数 y = f(x) - c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是
________. 解析

当(x -2)-(x-1)≤1 时,-1≤x≤2,所以 f(x)=? 图象如图所示.

2

?x -2,-1≤x≤2, ? ? ?x-1,x<-1或x>2,

2

f(x)的

y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,即方程 f(x)=c 恰有两个解,由图象可知当 c∈(-2,-1]∪(1,2]时满足条件.
答案 (-2,-1]∪(1,2]
2

10.若一系列函数的解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”, 那么函数解析式为 y=2x +1,值域为{3,19}的“孪生函数”共有________个. 解析 若 y=3,则由 2x +1=3,得 x=±1; 若 y=19,则由 2x +1=19,得 x=±3. 所以函数 f(x)定义域可以是{1,-3},{1,3},{-1,3},{-1,-3},{-1,1,3},{- 1,1,-3},{-3,1,3},{-3,-1,3},{-1,-3,1,3},共有 9 个孪生函数. 答案 9 二、解答题
? ?x +bx+c 11.设函数 f(x)=? ? x ?
2 2 2 2

x

,若 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,求关于 x 的

方程 f(x)=x 的解. 解 当 x≤0 时,f(x)=x +bx+c,因为 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,
? ? ∴? ? ?
2

- -

2

-2b+c=c -b+c=-3 ,

2



解得?

?b=2, ? ? ?c=-2
2

? ?x +2x- ∴f(x)=? ? x ?

x

当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x +2x-2=x,得 x=-2 或 x=1.由 x=1>0,所以舍去. 当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2, 所以方程 f(x)=x 的解为-2、2. 1 ? ?lnx,x>0, 12.已知 f(x)=? 1 ?x,x<0, ?

2

解不等式 f(x)>-1.

1 解 当 x>0 时,ln >-1,即 ln x<1,故 0<x<e;

x

1 当 x<0 时, >-1,即 x<-1,故不等式的解集是

x

(-∞,-1)∪(0,e). 13. 据气象中心观察和预测: 发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动, 其移动速度 v(km/h) 与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km).

3

(1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城, 如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由. 解 (1)由图象可知;当 t=4 时,v=3×4=12, 1 所以 s= ×4×12=24. 2 1 3 2 (2)当 0≤t≤10 时,s= ·t·3t= t ; 2 2 1 当 10<t≤20 时,s= ×10×30+30(t-10)=30t-150; 2 1 1 当 20<t≤35 时, s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- ×(t-20)×2(t-20)=-t2 2 2 +70t-550. 3 ? ?2t ,t∈[0,10], 综上可知 s=? 30t-150,t∈ ,20], ? ?-t +70t-550,t∈ ,35].
2 2

3 2 (3)当 t∈[0,10]时,smax= ×10 =150<650. 2 当 t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650. 当 t∈(20,35]时,令-t +70t-550=650. 解得 t1=30,t2=40,20<t≤35,故 t=30, 所以沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城. 2a+1 1 8.已知函数 f(x)= - 2 ,常数 a>0.
2

a

ax

(1)设 m·n>0,证明:函数 f(x)在[m,n]上单调递增; (2)设 0<m<n 且 f(x)的定义域和值域都是[m,n],求常数 a 的取值范围. (1)证明 任取 x1,x2∈[m,n],且 x1<x2,则 1 x1-x2 f(x1)-f(x2)= 2· . a x1x2 因为 x1<x2,x1,x2∈[m,n],所以 x1x2>0,
4

即 f(x1)<f(x2),故 f(x)在[m,n]上单调递增. (2)解 因为 f(x)在[m,n]上单调递增,

f(x)的定义域、值域都是[m,n]?f(m)=m,f(n)=n,
2a+1 1 即 m,n 是方程 - 2 =x 的两个不等的正根

a

ax

?a x -(2a +a)x+1=0 有两个不等的正根. 2a +a 1 2 2 2 所以 Δ =(2a +a) -4a >0, 2 >0? a> . a 2
2

2 2

2

?1 ? 即常数 a 的取值范围是? ,+∞?. ?2 ?

5


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