四川省宜宾市一中2017-2018学年高中数学上学期第10周 直线与方程教学设计


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直线与方程
[最新考纲] 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关
系.

2.对直线的方程的认识 (4)经过点 P(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示.(×) (5)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(√) (6)直线 l 过点 P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等,则直线 l 的方程为 x+y-3=0.(×) [感悟·提升] 1.直线的倾斜角与斜率的关系 斜率 k 是一个实数,当倾斜角 α ≠90°时,k=tan α .直线都有斜倾角,但并不是每 条直线都存在斜率,倾斜角为 90°的直线无斜率,如(1).

1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角

知识梳理

2.三个防范 一是根据斜率求倾斜角,要注意倾斜角的范围,如(2); 二是求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以讨论,如(4); 三是在用截距式时,应先判断截距是否为 0,若不确定,则需分类讨论,如(6).

①定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾

斜角;②规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0;③范围:直线的倾斜角 α 的取值范围是[0,π ). (2)直线的斜率

①定义:当直线 l 的倾斜角 α ≠π2 时,其倾斜角 α 的正切值 tan α 叫做这条斜线的斜率,斜率通常用小写字母 k 表

示,即 k=tan_α ;②斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=yx22- -yx11.

2.直线方程的五种形式

名称

几何条件

方程

适用条件

斜截式 点斜式

纵截距、斜率 过一点、斜率

y=kx+b y-y0=k(x-x0)

与 x 轴不垂直的直线

考点一 直线的倾斜角和斜率

【例 1】 (1)直线 xsin α +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( ).

A.[0,π )

B.???0,π4 ???∪???3π4 ,π ???

C.???0,π4 ???

D.???0,π4 ???∪???π2 ,π ???

(2)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线 l 的斜率为

( ).

A.13

B.-13

两点式

过两点

yy2--yy11=xx2--xx11

与两坐标轴均不垂直的直线

3 C.-2

2 D.3

截距式

纵、横截距

xy a+b=1

不过原点且与两坐标轴均不垂直的解直析线 (1)设直线的倾斜角为 θ ,则有 tan θ =-sin α ,其中 sin α ∈[-1,1],又 θ ∈[0,π ),所以 0≤θ ≤π4 或

一般式 3.线段的中点坐标公式

Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)

??x=x1+2 x2, ??? 若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y),则 y=y1+2 y2,

P1P2 的中点坐标公式. 辨析感悟
1.对直线的倾斜角与斜率的理解 (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(×) (2)过点 M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是 45°.(×) (3)(教材习题改编)若三点 A(2,3),B(a,1),C(0,2)共线,则 a 的值为-2.(√)

所有直线 此公式为线段

3π 4

≤θ



.故选 B.

(2)依题意,设点 P(a,1),Q(7,b),则有?????ab++71==-2,2, 13.

解得

a=-5,b=-3,从而可知直线

l

-3-1 的斜率为 7+5 =-

答案 (1)B (2)B 规律方法 直线倾斜角的范围是[0,π ),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分

???0,π2 ???与???π2 ,π ???两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当 α ∈???0,π2 ???时,斜率 k∈[0,+∞);当 α =π2 时,斜

率不存在;当 α ∈???π2 ,π ???时,斜率 k∈(-∞,0). 【训练 1】 经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,求直线 l 的倾斜角 α 的
范围.

1

解 法一

如图所示,

kPA=-2-1-- 0 =-1,

kPB=1-2--0 =1,

由图可观察出:直线 l 倾斜角 α 的范围是???34π ,π ???∪???0,π4 ???. 法二 由题意知,直线 l 存在斜率.设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y+1=kx,即 kx-y-1=0.

∵A,B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上.

∴(k+2-1)(2k-1-1)≤0,即 2(k+1)(k-1)≤0.

∴-1≤k≤1.

∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是???34π ,π ???∪???0,π4 ???.

考点二 求直线的方程

【例 2】 求适合下列条件的直线方程:

(1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;

(2)过点

A(-1,-3),斜率是直线

y=3x

1 的斜率的-4.

(3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点,且

|AB|=5.

解 (1)法一 设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a,若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2),

∴l 的方程为 y=23x,即 2x-3y=0.



a≠0,则设

l

xy 的方程为a+a=1,

∵l 过点(3,2),∴3a+2a=1,

∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0,

综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.

法二 由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0,

设直线方程为 y-2=k(x-3),

令 y=0,得 x=3-2k,令 x=0,得 y=2-3k,

由已知 3-2k=2-3k,

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解得 k=-1 或 k=23, ∴直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2=23(x-3), 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. (2)设所求直线的斜率为 k,依题意 k=-14×3=-34. 又直线经过点 A(-1,-3), 因此所求直线方程为 y+3=-34(x+1), 即 3x+4y+15=0. (3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1. 解方程组?????x2=x+1,y-6=0, 求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|=5, 即 x=1 为所求. 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1), 解方程组?????2yx++1y=-k6=x0-, ,
??x=kk++72,
得两直线交点为
???y=4kk+-22.
(k≠-2,否则与已知直线平行) 则 B 点坐标为???kk++72,4kk+-22???. 由已知???kk++72-1???2+???4kk+-22+1???2=52, 解得 k=-34,∴y+1=-34(x-1),即 3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0. 规律方法 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直 线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解 题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况. 【训练 2】 △ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程.
2

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解 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点,由两点式得 BC 的方程为y3- -11=-x- 2-22,即 x+2y-4=0.

(2)设 BC 中点 D 的坐标为(x,y),

则 x=2-2 2=0,y=1+2 3=2.

BC

边的中线

AD



A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得

AD

xy 所在直线方程为-3+2=1,即

2x-3y+6=0.

(3)BC 的斜率 k1=-12,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2,由点斜式得直线 DE 的方程为 y-2=2(x-0),即 2x-y+

2=0.

考点三 直线方程的综合应用

当且仅当

k=-

6 3 时,等号成立.

∴k=- 36时,l 在两轴上截距之和最小,

此时 l 的方程为 6x+3y-3 6-6=0.

1.求斜率可用 k=tan α (α ≠90°),其中 α 为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:“斜率变 化分两段,90°是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方法叫待定系数 法.

【例 3】 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,如右图所示,求△ABO 的面积的最小

值及此时直线 l 的方程.

审题路线 根据截距式设所求直线 l 的方程? 把点 P 代入,找出截距的关系式? 运用基本不等式求 S△ABO? 运用取等号的

条件求出截距? 得出直线 l 的方程.





A(a,0),B(0,b),(a>0,b>0),则直线

l

xy 的方程为a+b=1,

∵l 过点 P(3,2),∴3a+2b=1.

32 ∴1=a+b≥2

6 ab,即

ab≥24.

∴S△ABO=12ab≥12.当且仅当3a=2b,即 a=6,b=4. △ABO 的面积最小,最小值为 12. 此时直线 l 的方程为:x6+y4=1. 即 2x+3y-12=0. 规律方法 (1)与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用直线方程中的 x,y 的关系,将问题转化为关于 x(或 y) 的某函数,借助函数的性质解决; (2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题,不等式的性 质、基本不等式等)来解决. 【训练 3】 在例 3 的条件下,求直线 l 在两轴上的截距之和最小时直线 l 的方程. 解 设 l 的斜率为 k(k<0),则 l 的方程为 y=k(x-3)+2,令 x=0,得 B(0,2-3k),令 y=0,得 A???3-2k,0???, ∴l 在两轴上的截距之和为 2-3k+3-2k=5+??? -3k +???-k2??????≥5+2 6,

思想方法 9——分类讨论思想在求直线方程中的应用

【典例】 在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标

原点重合.将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上.若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在直线的方程.

解 (1)当 k=0 时,此时 A 点与 D 点重合,折痕所在的直线方程为 y=12.

(2)当 k≠0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1).所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称,

有 kAG·k=-1,1ak=-1? a=-k.

故 G 点坐标为 G(-k,1),从而折痕所在的直线与 AG 的交点坐标(线段 AG 的中点)为 M???-k2,12???. 折痕所在的直线方程为 y-12=k???x+k2???, 即 y=kx+k22+12.

∴k=0 时,y=12;k≠0 时,y=kx+k22+12.

[反思感悟] (1)求直线方程时,要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论.

(2)本题需对斜率 k 为 0 和不为 0 进行分类讨论,易错点是忽略斜率不存在的情况.

【自主体验】

1.若直线过点 P???-3,-32???且被圆 x2+y2=25 截得的弦长是 8,则

该直线的方程为

3

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( ). A.3x+4y+15=0 B.x=-3 或 y=-32 C.x=-3 D.x=-3 或 3x+4y+15=0 解析 若直线的斜率不存在,则该直线的方程为 x=-3,代入圆的方程解得 y=±4,故该直线被圆截得的弦长为 8, 满足条件;若直线的斜率存在,不妨设直线的方程为 y+32=k(x+3),即 kx-y+3k-32=0,因为该直线被圆截得的弦
长为 8,故半弦长为 4.又圆的半径为 5,则圆心(0,0)到直线的距离为 52-42=???3kk- 2+321???,解得 k=-34,此时该直线的 方程为 3x+4y+15=0.
答案 D 2.已知两点 A(-1,2),B(m,3),则直线 AB 的方程为________. 解析 当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1, 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2=m+1 1(x+1),即 y=m+1 1x+m+1 1+2. 答案 x=-1 或 y=m+1 1x+m+1 1+2
基础巩固题组

解析 由点斜式,得 y-5=-34(x+2),

即 3x+4y-14=0.

答案 A

3.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 在 x 轴上的截距为 1,则实数 m 是( ).

1

1

A.1 B.2 C.-2 D.2 或-2

解析

由题意可知

2m2+m-3≠0,即

m≠1



m≠-32,在

x

4m-1 轴上截距为2m2+m-3=1,即

2m2-3m-2=0,解得

m=2



-12.

答案 D

4.(2014·佛山调研)直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足( ).

A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0

C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0

解析 由题意,令 x=0,y=-cb>0;令 y=0,x=-ca>0.即 bc<0,ac<0,从而 ab>0.

答案 A

5.(2014·成都检测)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( ).

A.???-1,51??? B.???-∞,12???∪(1,+∞)

C.(-∞,1)∪???15,+∞??? D.(-∞,-1)∪???12,+∞???

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( ).

A.30° B.60° C.150° D.120°

解析 直线的斜率为 k=tan α = 3,又因为 α ∈[0,π ),所以 α =60°.

答案 B

2.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为-34.则直线 l 的方程为(

).

A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0

C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0

解析 设直线的斜率为 k,如图,过定点 A 的直线经过点 B 时,直线 l 在 x 轴上的截距为 3,此时 k=-1;过定点 A 的 直线经过点 C 时,直线 l 在 x 轴的截距为-3,此时 k=12,满足条件的直线 l 的斜率范围是(-∞,-1)∪???12,+∞???. 答案 D 二、填空题 6.(2014·长春模拟)若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为________. 解析 ∵kAC=56--34=1,kAB=a5--34=a-3. 由于 A,B,C 三点共线,所以 a-3=1,即 a=4. 答案 4 7.(2014·温江月考)直线 3x-4y+k=0 在两坐标轴上的截距之和为 2,则实数 k=________. 解析 令 x=0,得 y=k4;令 y=0,得 x=-k3.
4

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则有k4-k3=2,所以 k=-24. 答案 -24 8.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直线的方程为________.
xy 解析 设所求直线的方程为a+b=1, ∵A(-2,2)在直线上, ∴-2a+2b=1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1, ∴12|a|·|b|=1.② 由①②可得(1)?????aab-=b= 2 1, 或(2)?????aab-=b-=2-.1, 由(1)解得?????ab==21, 或?????ab= =- -12, , 方程组(2)无解. 故所求的直线方程为x2+y1=1 或-x1+-y2=1, 即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 为所求直线的方程. 答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 三、解答题 9.(2014·临沂月考)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 0,当然相等.∴a=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不过原点时,由截距存在且均不为 0, 得aa- +21=a-2,即 a+1=1, ∴a=0,方程即为 x+y+2=0. 综上,l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴?????-a-2a≤+0 >0, 或?????a--2≤a+0. =0, ∴a≤-1. 综上可知 a 的取值范围是(-∞,-1]. 10.已知直线 l 过点 M(2,1),且分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A,B 两点,O 为原点,是否存在使△ABO 面积最小的直 线 l?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解 存在.理由如下: 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0),则 A???2-1k,0???,B(0,1-2k),△AOB 的面积 S=12(1-2k)???2-1k???=12

???4+ -4k +???-1k??????≥12(4+4)=4.当且仅当-4k=-1k,即 k=-12时,等号成立,故直线 l 的方程为 y-1=-12(x- 2),即 x+2y-4=0.
能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题

1.(2014·北京海淀一模)已知点 A(-1,0),B(cos α ,sin α ),且|AB|= 3,则直线 AB 的方程为( ). A.y= 3x+ 3或 y=- 3x- 3

B.y=

33x+

33或

y=-

33x-

3 3

C.y=x+1 或 y=-x-1

D.y= 2x+ 2或 y=- 2x- 2

解析 |AB|=

α + 2+sin2α = 2+2cos α = 3,所以 cos α =12,sin α =± 23,所以 kAB=± 33,即直

线

AB

的方程为

y=±

33(x+1),所以直线

AB

的方程为

y=

33x+

3 3或

y=-

33x-

3 3.

答案 B

2.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( ).

A.???π6 ,π3 ??? B.???π6 ,π2 ??? C.???π3 ,π2 ??? D.???π6 ,π2 ???
解析

如图,直线 l:y=kx- 3,过定点 P(0,- 3),又 A(3,0),∴kPA= 33,则直线 PA 的倾斜角为π6 ,满足条件的直线 l 的倾斜角的范围是???π6 ,π2 ???. 答案 B 二、填空题 3.已知直线 x+2y=2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A,B 两点,若动点 P(a,b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值为________. 解析 直线方程可化为x2+y=1,故直线与 x 轴的交点为 A(2,0),与 y 轴的交点为 B(0,1),由动点 P(a,b)在线段 AB

5

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上,可知 0≤b≤1,且 a+2b=2,从而 a=2-2b,故 ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2???b-12???2+12,由于 0≤b≤1,

故当

b=12时,ab

1 取得最大值2.

答案

1 2

三、解答题

4.

如图,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA,OB 于 A,B 两点,当 AB 的 中点 C 恰好落在直线 y=12x 上时,求直线 AB 的方程. 解 由题意可得 kOA=tan 45°=1,kOB=tan(180°-30°)=- 33,所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 33x,设 A(m,m), B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C???m-2 3n,m+2 n???, 由点 C 在 y=12x 上,且 A,P,B 三点共线得

??m+2 n=12·m-2 3n,

?m-0 n-0

??m-1=-

, 3n-1

解得 m= 3,所以 A( 3, 3).

又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3-3 1=3+2 3, 所以 lAB:y=3+2 3(x-1), 即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0.

第 2 讲 两条直线的位置关系 [最新考纲] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

知识梳理

1.两直线平行与垂直

(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,则有 l1∥l2?k1=k2.特别地,当直线 l1,l2 的斜率都不存在时, l1 与 l2 的关系为平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1,l2 的斜率存在,设为 k1,k2,则 l1⊥l2?k1k2=-1,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时, 两条直线垂直.

2.两直线的交点

直线

l1:A1x+B1y+C1=0



l2:A2x+B2y+C2=0

的公共点的坐标与方程组???A1x+B1y+C1=0, ??A2x+B2y+C2=0

的解一一对应.

相交?方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行?方程组无解; 重合?方程组有无数个解. 3.距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|= 特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|= x2+y2.

x2-x1 2+ y2-y1 2.

(2)点到直线的距离公式 平面上任意一点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)的距离为 d=|Ax0+A2B+y0B+2 C|.

可以验证,当 A=0 或 B=0 时,上式仍成立.

(3)两条平行线间的距离公式

一般地,两条平行直线

l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(其中

A,B

不同时为

0,且

C1≠C2)间的距离

d=|C1-C2|. A2+B2

辨析感悟

1.对两条直线平行与垂直的理解

(1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时,一定有 k1=k2? l1∥l2.(×) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(×) (3)(2013·天津卷改编)已知过点 P(2,2)斜率为-12的直线且与直线 ax-y+1=0 垂直,则 a=2.

(√)

2.对距离公式的理解

(4)点

P(x0,y0)到直线

y=kx+b

的距离为|kx0+b|. 1+k2

(×)

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(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(√) (6)(教材习题改编)两平行直线 2x-y+1=0,4x-2y+1=0 间的距离是 0.(×) [感悟·提升] 三个防范 一是在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率,可根据判定定理 判断,若直线无斜率时,要单独考虑.如(2)中忽视了斜率不存在的情况; 二是求点到直线的距离时,若给出的直线不是一般式,则应化为一般式,如(4); 三是求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式,且 x,y 的系数对应相同,如(6).
考点一 两条直线平行与垂直

由???-a2???·1-1 a=-1? a=23. 法二 由 A1A2+B1B2=0 得 a+2(a-1)=0? a=23.
规律方法 (1)当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情 况.同时还要注意 x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 【训练 1】 (2014·成都检测)已知过点 A(-2,m)和点 B(m,4)的直线为 l1,直线 2x+y-1=0 为 l2,直线 x+ny+1=0 为 l3.若 l1∥l2,l2⊥l3,则实数 m+n 的值为( ).

【例 1】 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值. 解 (1)法一 当 a=1 时, l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1 不平行于 l2; 当 a=0 时,l1:y=-3, l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=-a2x-3,l2:y=1-1 ax-(a+1),

l1∥l2????-2a=1-1 a, ??-3≠- a+ ,

解得 a=-1,

综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. 法二 由 A1B2-A2B1=0,得 a(a-1)-1×2=0,由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a2-1)-1×6≠0,

∴l1∥l2??????aa

a- a2-

-1×2=0, -1×6≠0,

??a2-a-2=0, ????a a2-

? a=-1,

故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直,故 a=1 不成立; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不垂直于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时,

l1:y=-a2x-3,l2:y=1-1 ax-(a+1),

A.-10 B.-2 C.0 D.8 解析 ∵l1∥l2,∴kAB=4m-+m2=-2,
解得 m=-8,又∵l2⊥l3,∴???-1n???×(-2)=-1, 解得 n=-2,∴m+n=-10.
答案 A 考点二 两条直线的交点问题
【例 2】 求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l3:3x-5y+6=0 的直线 l 的方程. 解 法一 先解方程组?????35xx++22yy-+11==00,, 得 l1,l2 的交点坐标为(-1,2), 再由 l3 的斜率35求出 l 的斜率为-53, 于是由直线的点斜式方程求出 l: y-2=-53(x+1),即 5x+3y-1=0. 法二 由于 l⊥l3,故 l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一条,而 l 过 l1,l2 的交点(-1,2), 故 5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0. 法三 由于 l 过 l1,l2 的交点,故 l 是直线系 3x+2y-1+λ (5x+2y+1)=0 中的一条, 将其整理,得(3+5λ )x+(2+2λ )y+(-1+λ )=0. 其斜率-23++25λλ =-53,解得 λ =15, 代入直线系方程即得 l 的方程为 5x+3y-1=0. 规律方法 运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直线系方程有: (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m≠C);

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(2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0; (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(其中 λ ∈R,此直线系不包括 l2). 【训练 2】 直线 l 被两条直线 l1:4x+y+3=0 和 l2:3x-5y-5=0 截得的线段的中点为 P(-1,2),求直线 l 的方程. 解 法一 设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0,y0),由已知条件,得直线 l 与 l2 的交点为 B(-2-x0,4-y0),并且满足

??4x0+y0+3=0,

? ??

-2-x0 -

-y0 -5=0,

即???4x0+y0+3=0, ??3x0-5y0+31=0,

解得???x0=-2, ??y0=5,

因此直线

l

的方程为y5- -22=-x- 2-

- -



即 3x+y+1=0. 法二 设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1), 即 kx-y+k+2=0.

由?????k4xx- +yy+ +k3+ =20= ,0, 得 x=-k+k-45.

由?????k3xx- -y5+y-k+ 5=2= 0,0, 得 x=-55kk--315. 则-k+k-45+-55kk--315=-2,解得 k=-3.

因此直线 l 的方程为 y-2=-3(x+1),即 3x+y+1=0. 考点三 距离公式的应用
【例 3】 已知三条直线:l1:2x-y+a=0(a>0);l2:-4x+2y+

1=0;l3:x+y-1=0,且 l1

与 l2 间的距离是7105.

(1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件: ①点 P 在第一象限; ②点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的12;

③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能,求点 P 的坐标;若不能,说明理由.



(1)直线 l2:2x-y-12=0,所以两条平行线 l1 与 l2 间的距离为 d=

???a-???-12??????
22+ -

75 2= 10 ,

所以???a+512???=7105,即???a+12???=72,又 a>0,解得 a=3.

(2)假设存在点

P,设点

P(x0,y0),若

P

点满足条件②,则

P

点在与

l1,l2

平行的直线

l′:2x-y+c=0

上,且|c-3| 5

=12???c+512???,即 c=123或161,

所以 2x0-y0+123=0 或 2x0-y0+161=0;

若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式,

有|2x0-y0+3|= 2|x0+y0-1|,

5

5

2

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, 所以 x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0; 由于 P 在第一象限,

所以 3x0+2=0 不可能. 联立方程 2x0-y0+123=0 和 x0-2y0+4=0,

??x0=-3, 解得???y0=12; 舍去 联立方程 2x0-y0+161=0 和 x0-2y0+4=0,

??x0=19,
解得
???y0=1387.

所以存在 P???19,1387???同时满足三个条件.

规律方法 (1)在应用两条平行直线间的距离公式时.要注意两直线方程中 x,y 的系数必须对应相同.

(2)第(2)问是开放探索性问题,要注意解决此类问题的一般策略. 【训练 3】 (1)已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线 l 的方程为( ). A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0

D.2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0

(2)已知两条平行直线,l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1=0 间的距离为 5,则直线 l1 的方程为________.

解析 (1)由题意可知所求直线斜率存在,故设所求直线方程为 y-4=k(x-3),即 kx-y+4-3k=0,

|-2k-2+4-3k| |4k+2+4-3k|

由已知,得

1+k2



1+k2



∴k=2 或-23.

∴所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0.

(2)∵l1∥l2,∴m2=8m≠-n1,∴?????mn=≠4-,2 或?????mn=≠-2.4,

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①当 m=4 时,直线 l1 的方程为 4x+8y+n=0,把 l2 的方程写成 4x+8y-2=0, ∴ |n+2| = 5,解得 n=-22 或 18.
16+64

故所求直线的方程为 2x+4y-11=0 或 2x+4y+9=0.

②当 m=-4 时,直线 l1 的方程为 4x-8y-n=0,l2 的方程为 4x-8y-2=0,

|-n+2|





5,解得 n=-18 或 22.

16+64

故所求直线的方程为 2x-4y+9=0 或 2x-4y-11=0.

答案 (1)D (2)2x±4y+9=0 或 2x±4y-11=0

两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1,l2,l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1·k2 =-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率一定要特别注 意.
思想方法 10——对称变换思想的应用
【典例】 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程.
??y+2 2 x+1·3=-1, 解 (1)设 A′(x,y),再由已知
???2×x-2 1-3×y-2 2+1=0.

解得 M′???163,1330???. 设 m 与 l 的交点为 N,则由?????23xx--32yy+-16==00,, 得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线方程为 9x-46y+102=0. (3)设 P(x,y)为 l′上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y), ∵P′在直线 l 上, ∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0. [反思感悟] (1)解决点关于直线对称问题要把握两点:点 M 与点 N 关于直线 l 对称,则线段 MN 的中点在直线 l 上,直 线 l 与直线 MN 垂直.
(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题,则只需运用中点公式就可解决问题. (3)若直线 l1,l2 关于直线 l 对称,则有如下性质:①若直线 l1 与 l2 相交,则交点在直线 l 上;②若点 B 在直线 l1 上, 则其关于直线 l 的对称点 B′在直线 l2 上. 【自主体验】 (2013·湖南卷)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 上异于 A,B 的一点.光线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P(如图).若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等于( ).

??x=-3133, 解得???y=143.
∴A′???-3133,143???. (2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m′上. 设对称点为 M′(a,b),
??2×???a+2 2???-3×???b+2 0???+1=0, ? 则 b-0 2
??a-2×3=-1.

A.2

B.1

C.83

D.43

解析 以 AB、AC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(4,0),C(0,4),得△ABC 的重心 D???43,43???,

设 AP=x,从而 P(x,0),x∈(0,4),由光的几何性质可知点 P 关于直线 BC、AC 的对称点 P1(4,4-x),P2(-x,0)与△ABC

的重心

D???43,43???共线,所以43+43 x=43-

-x 43-4

,求得 x=43.

答案 D

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基础巩固题组
(建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( ).

A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0

解析

由题意知,直线

l

3 的斜率是-2,因此直线

l

的方程为

y-2=-32(x+1),即

3x+2y-1=0.

答案 A 2.(2014·济南模拟)已知两条直线 l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0 平行,则 a=( ). A.-1 B.2

C.0 或-2 D.-1 或 2

解析 若 a=0,两直线方程分别为-x+2y+1=0 和 x=-3,此时两直线相交,不平行,所以 a≠0;当 a≠0 时,两直

a-1 2 1 线若平行,则有 1 =a≠3,解得

a=-1



2.

答案 D

3.已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0,则直线 l1 与 l2 的距离为( ). A.85 B.32 C.4 D.8

解析 ∵直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0,即 3x+4y+12=0,∴直线 l1 与 l2 的距离为

???123+2+74???2=32.

答案 B

4.(2014·绵阳月考)当 0<k<12时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交点在(

).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析 解方程组?????kkxy--yx==k2-k 1, 得两直线的交点坐标为???k-k 1,2kk--11???,因为 0<k<12,所以k-k 1<0,2kk--11>0,故交点

在第二象限.

答案 B

5.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 经过定点( ). A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) 解析 直线 l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点 (2,1)对称,故直线 l2 经过定点(0,2). 答案 B 二、填空题 6.若三条直线 y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0 相交于同一点,则 m 的值为________.

解析 由?????yx=+2yx=,3 得?????xy==12,.

∴点(1,2)满足方程 mx+2y+5=0,即 m×1+2×2+5=0,

∴m=-9.

答案 -9

7.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsin A+ay+c=0 与 bx-ysin B+sin C=0 的位

置关系是________.

解析

a 由sin

b A=sin

B,得 bsin

A-asin

B=0.

∴两直线垂直. 答案 垂直

8.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是:

①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°.

其中正确答案的序号是________.

解析

很明显直线

l1∥l2,直线

l1,l2

间的距离为

d=|1-3|= 2

2,设直线 m 与直线 l1,l2 分别相交于点 B,A,则|AB|

=2 2,过点 A 作直线 l 垂直于直线 l1,垂足为 C,则|AC|=d= 2,则在 Rt△ABC 中,sin ∠ABC=||AACB||=2 22=12,

所以∠ABC=30°,又直线 l1 的倾斜角为 45°,所以直线 m 的倾斜角为 45°+30°=75°或 45°-30°=15°. 答案 ①⑤ 三、解答题 9.已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求 m 的值,使得: (1)l1 与 l2 相交;(2)l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2 重合. 解 (1)由已知 1×3≠m(m-2),即 m2-2m-3≠0, 解得 m≠-1 且 m≠3. 故当 m≠-1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交. (2)当 1·(m-2)+m·3=0,即 m=12时,l1⊥l2.

(3)当 1×3=m(m-2)且 1×2m≠6×(m-2)或 m×2m≠3×6,即 m=-1 时,l1∥l2. (4)当 1×3=m(m-2)且 1×2m=6×(m-2),即 m=3 时,l1 与 l2 重合. 10.求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0,4)的距离为 2 的直线方程.

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解 由?????x2-x+2y3+y-3=8=0,0, 解得?????xy= =12, ,

∴l1,l2 的交点为(1,2), 设所求直线方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y+2-k=0,

∵P(0,4)到直线的距离为

|-2-k| 2,∴2= 1+k2 ,

解得 k=0 或43.∴直线方程为 y=2 或 4x-3y+2=0.

能力提升题组

(建议用时:25 分钟)

一、选择题

1.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0,已知 a,b 是关于 x 的方程 x2+x+c=0 的两个实数根,且 0≤c≤18,

则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( ).

A. 42,12

B.

2,

2 2

C. 2,12

D. 22,12

解析

∵d=|a-b|,a+b=-1,ab=c,又|a-b|= 2

1-4c∈??? 22,1???,从而 dmax= 22,dmin=12.

答案 D

2.(2014·南充期中)已知 A,B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x-y=0 与 x+ay=0 上,且 AB 线段的中点为 P???0,1a0???, 则线段 AB 的长为( ).

A.11 B.10 C.9 D.8

解析 由两直线垂直,得-1a·2=-1,解得 a=2.所以中点 P 的坐标为(0,5).则 OP=5,在直角三角形中斜边的长度

AB=2OP=2×5=10,所以线段 AB 的长为 10.

答案 B

二、填空题 3.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k2y-4k2-4=0 与两坐标轴围成一个四边形,则使得这 个四边形面积最小的 k 值为________.

答案

1 8

三、解答题

4.(1)在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大;

(2)在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 Q,使得 Q 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小.

图1



(1)如图

1,设点

B

关于

l

的对称点

B′的坐标为(a,b),直线

l

的斜率为

k1,则

k1·kBB′=-1.即

b-4 3· a =-1.

∴a+3b-12=0.①

又由于线段 BB′的中点坐标为???a2,b+2 4???,且在直线 l 上,

∴3×a2-b+2 4-1=0.即 3a-b-6=0.②

解①②得 a=3,b=3,∴B′(3,3).

于是 AB′的方程为y3--11=x3--44,即 2x+y-9=0.

解?????32xx-+yy--19==00,, 得?????xy==25,, 即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5).

图2
(2)如图 2,设 C 关于 l 的对称点为 C′,求出 C′的坐标为???35,254???. ∴AC′所在直线的方程为 19x+17y-93=0,AC′和 l 交点坐标为???171,276???,故 Q 点坐标为???171,276???.

解析 由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 4-k,直线 l2 的横截距为 2k2+2,如图,所以四边形 的面积 S=2k2×2+(4-k+4)×2×12=4k2-k+8,故面积最小时,k=18.
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