2019届高三数学上学期第一次月考试题 理 (新版)新人教版(新版)新人教 版


2019 学年度第一学期高三第一次月考

理科数学
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.

1.已知集合 M ? {x | (x ? 3)(x ?1) ? 0}, N ? {x | log2 x ? 1} ,则 M N ? ( )

A.[?3, 2]

B.[?3, 2]

C.[1, 2]

D. (0, 2]

2.已知 f (x) ? ( 1)x , 命题 p : ?x ?[0, ??), f (x) ?1 ,则( ) 2
A. p 是假命题, ? p : ?x0 ?[0, ??), f (x0) ? 1 B. p 是假命题, ? p : ?x ?[0, ??), f (x) ? 1 C. p 是真命题, ? p : ?x0 ?[0, ??), f (x0) ? 1 D. p 是真命题, ? p : ?x ?[0, ??), f (x) ? 1
3.值域是(0,+∞)的函数是( )

1
A.y= 5 2?x

B.y=( 1 )1-x 3

C.y= 1 ? 2x

4.方程 log3 x ? x ? 3 的解所在的区间是 ( )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

? ? 5.幂函数 y ? f (x) 的图象经过点 3, 3 3 ,则 f (x) 是(

D.y= ( 1 ) x ? 1 2
D.(3,+ ? )


A.偶函数,且在

上是增函数

B.偶函数,且在

上是减函数

C.奇函数,且在

上是增函数

D.非奇非偶函数,且在

上是增函数

6.已知直线 m 和平面?, ? ,则下列四个命题正确的是( )

A. 若? ? ? , m ? ? ,则 m ? ?

B.若? / /? , m / /? ,则 m / /?

C. 若? / /? , m ? ? ,则 m ? ?

D.若 m / /? , m / /? ,则? / /?

7.设 f ? x? 为可导函数,且满足 lim f ?1? ? f ?1? x? ? ?1 ,则曲线 y ? f ? x? 在点?1, f ?1??

x?0

2x

处的切线的斜率是(

)

A. 2

B. ?1

C. 1 2

D. ?2

8.已知抛物线 y2=4x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离|MF|=4,则点 M 的横坐标 x=

(

)

-1-

A. 0

B. 3

C. 2

D. 4

9.存在实数 x ,使| x ?1| ? | x ? 3 |? a 成立的一个必要不充分条件是( )

A. ?2 ? a ? 2

B. a ? 2

C. a ? ?2

D. a ? ?6

10.函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如下图,则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能是( )

11.已知 F1, F2 为双曲线 x 2 ? y 2 ? 2 的左,右焦点,点 P 在该双曲线上,且 PF1 ? 2 PF2 ,

则 cos ?F1PF2 =( )

A. 1 4

B. 3 5

C. 3 4

D. 4 5

12.已知函数

f

(x ?1)

是偶函数,当

x ? (1, ??) 时,函数

f

(x)

? sin x ?

x

,设 a

?

f

? ??

?

1 2

? ??

,

b ? f (3) , c ? f (0) 则 a,b, c 的大小关系为

A. b ? a ? c

B. c ? a ? b

C. b ? c ? a D. a ? b ? c

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上).

13.已知 A ? {x | y ? x ? 1}, B ? {y | y ? x 2 ? 1} ,则 AI B ? _____________.

14.已知函数

f

(x)

?

??(1) x , ?2

x

?

2

,则 f (log 2 3) ?

?? f (x ? 1), x ? 2

15.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,若其外接球的表面积

为16? ,则异面直线 BD1 与 CC1 所成的角的余弦值为__________. 16.定义在 R 上的偶函数 f (x) ,且对任意实数 x 都有 f (x ? 2) ? f (x) ,当 x ?[0,1) 时,

f (x) ? x2 ,若在区间[?3,3] 内,函数 g(x) ? f (x) ? kx? 3k 有 6 个零点,则实数 k 的取
值范围为________.

-2-

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分)
已知集合 A ? {x y ? x2 ? 7x ?18},集合 B ? {x y ? ln(4 ? 3x ? x2)},集合 C ? {x m ? 2 ? x ? 2m ? 3}.
(1)设全集U ? R ,求 ?CU A? I B ; (2)若 A I C ? C ,求实数 m 的取值范围.
18.(本小题满分 12 分)
设函数 f (x) ? kx2 ? 2x ( k 为实常数)为奇函数,函数 g(x) ? a f (x) ?1(a ? 0且a ? 1) . (1)求 k 的值; (2)求 g(x) 在[?1, 2] 上的最大值; (3)当 a ? 2 时,g(x) ? t2 ? 2mt ? 1对所有的 x ?[?1,1] 及 m ?[?1,1] 恒成立,求实数 t
的取值范围.
19.(本小题满分 12 分)
如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD为菱形,PA ?平面 ABCD ,?ABC ? 60 , E,F 分别是 BC,PC 的中点.
(1)判定 AE 与 PD 是否垂直,并说明理由
(2)若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6 ,求二面角 2
E ? AF ?C 的
余弦值。
-3-

20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为

3 ,以椭圆的一个短轴端点及两个焦点构成 2

的三角形的面积为

3

,圆

C

方程为 (x

?

a)2

?

(y

? b)2

?

( a )2 b

.

(1)求椭圆及圆 C 的方程;

(2)过原点

O

作直线

l

与圆

C

交于

A,B

两点,若

uur CA

?

uur CB

?

?2

,求直线

l

的方程.

21.(本小题满分 12 分)
设函数 f (x) ? ln x ? a , g(x) ? f (x) ? x ,若 x ?1 是函数 g(x) 的极值点. x ?1 2x
(1)求实数 a 的值;
(2)当 x ? 0 且 x ? 1时, f (x) ? ln x ? n 恒成立,求整数 n 的最大值. x ?1 x

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程选讲

在平面直角坐标系中,直线

l

的参数方程为

??x

? ??

y

? ?

4t 3t

?1 ?3
2

(t

为参数).以坐标原点

O

为极

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 2? sin(? ? ? ) . 4
(1)求直线 l 的普通方程以及圆 C 的直角坐标方程;

-4-

(2)若点 P 在直线 l 上,过点 P 作圆 C 的切线 PQ ,求| PQ |的最小值.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f ? x? ? x ? a . (1)若不等式 f ? x? ? 2 的解集为{x |1 ? x ? 5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若不等式 f ?2x? ? f ? x ? 2? ? m对一切实数 x 恒成立,求实数 m
的取值范围.
-5-

高三理科数学第一次月考参考答案

1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 11.C 12.A

6.C 7.D 8.B 9.D 10.A

13. [1,??)

14. 1 . 6

15. 14 4

16. (0, 1] 6

17.(Ⅰ) ?CU A? I B ? (?2,1) .(Ⅱ)实数 m 的取值范围是 m ? 5 或 m ? 7 .

试题分析:(Ⅰ) A ? (??, ?2]U[9, ??) , B ? (?4,1) , CU A ? (?2,9) ,
?CU A? I B ? (?2,1) ..................................6 分
(Ⅱ)∵ A I C ? C ,∴ C ? A ,

当 C ? ? 时, m ? 2 ? 2m ?3 ? m ? 5 ,



C

?

?

时,

?m ? 2 ? 2m ? ??2m ? 3 ? ?2

3



?m ??m

? ?

2 2

? ?

2m 9

?

3

,解得:

m

?

7



综上:实数 m 的取值范围是 m ? 5 或 m ? 7 ..................................12 分

?a4 ?1, a ? 1

18.(1) k

?

0 .(2)

g ( x)max

?

? ?1 ?? a2

?1,

0

?

a

;(3) t ?1

?(??, ?2]U{0}U[2, ??)

试题解析:(1)由 f (?x) ? ? f (x) 得 kx2 ? 2x ? ?kx2 ? 2x ,∴ k ? 0 .........2 分

(2)∵ g(x) ? a f (x) ?1 ? a2x ?1 ? (a2 )x ? 1

①当 a2 ? 1,即 a ?1时, g(x) ? (a2 )x ?1在[?1, 2] 上为增函数,

? g(x) 最大值为 g(2) ? a4 ?1.

②当 a2 ? 1,即 0 ? a ? 1时,

∴ g(x)

?

(a2 )x

在[?1, 2] 上为减函数,∴

g(x)

最大值为

g(?1)

?

1 a2

?1.

?a4 ?1, a ? 1



g ( x)max

?

? ?1 ?? a2

?1,

0

?

a

.................................7
?1



(3)由(2)得 g(x) 在 x ?[?1,1] 上的最大值为 g(1) ? ( 2)2 ?1 ? 1 ,

∴1 ? t2 ? 2mt ?1 即 t2 ? 2mt ? 0 在[?1,1] 上恒成立分

令 h(m) ? ?2mt ? t2 ,

-6-

?

??h(?1) ? t2 ? 2t ? 0,

? ?? h(1)

?

t2

?

2t

?

0,



?t ??t

? ?

?2或t ? 0, 0或t ? 2.

所以

t ?( ? ?, ?2 ] {0} [ 2?,?. )

.................................12 分

19.(Ⅰ)垂直.证明:由四边形 ABCD 为菱形,?ABC ? 60 , 可得 △ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ? BC .又 BC ∥ AD ,因此 AE ? AD . 因为 PA ?平面 ABCD, AE ?平面 ABCD,所以 PA ? AE . 而 PA ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD 且 PA AD ? A, 所以 AE ? 平面 PAD .又 PD ? 平面 PAD ,所以 AE ? PD .
.................................6 分
(Ⅱ)解:设 AB ? 2 , H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH . 由(Ⅰ)知 AE ? 平面 PAD ,则 ?EHA为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中, AE ? 3 ,所以当 AH 最短时, ?EHA最大, 即当 AH ? PD时, ?EHA最大.

此时 tan ?EHA ? AE ? 3 ? 6 , AH AH 2

因此 AH ? 2 .又 AD ? 2 ,所以 ?ADH ? 45 ,所以 PA ? 2 . 解法一:因为 PA ?平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD.过 E 作 EO ? AC 于 O ,则 EO ? 平面 PAC , 过 O 作 OS ? AF 于 S ,连接 ES ,则 ?ESO 为二面角 E ? AF ?C 的平面角,

在 Rt△AOE 中, EO ? AE sin 30 ? 3 , AO ? AE cos 30 ? 3 ,

2

2

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中, SO ? AO sin 45 ? 3 2 , 4

又 SE ?

EO2 ? SO2 ?

3?9 ? 48

32

30 ,在 Rt△ESO 中,cos ?ESO ? SO ? 4 ?

4

SE 30

4

15 , 5

即所求二面角的余弦值为 15 ...................12 分 5
解法二:由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角 坐标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,

-7-

∴ A(0,0,0),B( 3,?1,0),C( 3,1,0),D(0,2,0) ,

P(0,0,2),E(

3,0,0),F

? ???

3 2

,1 2

,1????



uuur 所以 AE ? (

uuur 3,0,0),AF

?

? ???

3 2

,1 2

,1????



uuur

设平面

AEF

的一法向量为

m

?

(

x1,y1,z1 )

,则

??m ? ??m

? ?

AE uuur AF

? ?

0, 0,

?

因此

? ?

? ?

3x1 ? 0, 31 2 x1 ? 2 y1 ? z1

?


0.

z1

? ?1,则 m ? (0,2,?1) ,

因为 BD ? AC , BD ? PA , PA AC ? A,

uuur 所以 BD ? 平面 AFC ,故 BD 为平面 AFC 的一法向量.

又 BD ? (?

uuur 3,3,0) ,所以 cos ? m,BD ??

uuur m ? BD
uuur

?

2?3

?

m ? BD 5 ? 12

15 . 5

因为二面角 E ? AF ?C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为 15 ........12 分 5
20.(1)椭圆的方程 x2 ? y2 ? 1 ,圆的方程为 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ;(2) y ? 0 或 4x ? 3y ? 0 .
4

试题解析:(1)设椭圆的焦距为 2c,左、右焦点分别为 F1(?c,0), F2 (c,0) ,由椭圆的离心率为

3 2

可得 c ? a

3 2

即 a2 ? b2



a2

?

3 4

,所以 a ? 2b,b ?

3c 3

以 椭 圆 的 一 个 短 轴 端 点 及 两 个 焦 点 为 顶 点 的 三 角 形 的 面 积 为 1 b ? 2c ? 3 , 即 2

1 ? 3 c ? 2c ? 3 ,?c ? 3 , a ? 2,

b ?1

23

所 以 椭 圆 的 方 程 x2 ? y2 ?1 , 圆 的 方 程 为 4

..................6 分 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4

(2)①当直线 l 的斜率不存时,直线方程为 x ? 0 ,与圆 C 相

切,不符合题意

-8-

②当直线 l 的斜率存在时,设直线方程 y ? kx ,

? y ? kx



??( x

?

2)2

?

(y

? 1)2

?

可得 (k 2 4

? 1)x2

?

(2k

?

4)x

?1?

0,

由条件可得 ? ? (2k ? 4)2 ? 4(k 2 ? 1) ? 0 ,即 k ? ? 3 4



A(x1,

y1 )



B(x2 ,

y2 )

,则

x1

?

x2

?

2k k2

?4 ?1



x1x2

?

1 k2 ?1

y1

?

y2

?

k ( x1

?

x2 )

?

2k 2 k2

? 4k ?1

,

y1 y2

?

k 2 x1x2

?

k2 k2 ?1

uur

uur

而圆心 C 的坐标为(2,1)则 CA ? (x1 ? 2, y1 ?1), CB ? (x2 ? 2, y2 ?1) ,

uur uur 所以 CA ? CB ? (x1 ? 2)(x2 ? 2) ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? ?2 ,

即 x1x2 ? 2(x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 5 ? ?2

所以

1 k2 ?1

?

2?

2k k2

?4 ?1

?

k2 k2 ?1

?

2k 2 k2

? 4k ?1

?

5

?

?2

解得

k

?

0



k

?

4 3

.................................12 分 ?l : y ? 0或 4x ? 3y ? 0

21.(1) a ? 2 ;(2) 0 .

试题解析:(Ⅰ) g?(x)

?

f

?(x) ?

1 2x

?

1 (x ? 1) ? ln x x
(x ? 1)2

?

a 2x2

?

1 2x



依题意, g?(1) ? 0 ,

1 ? (1 ? 1) ? ln1

据此, 1 (1 ? 1)2

?

a 2 ?12

?

1 21

?

0

,解得 a ? 2 .........................4



(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f (x) ? ln x ? 1 , x ?1 x

由 f (x) ? ln x ? n ,得 ln x ? 1 ? ln x ? n ,

x ?1 x

x ?1 x x ?1 x

于是 n

?

x ln x x ?1

?1?

x ln x x ?1

?

1 1? x2

(2x ln

x

?

x2

? 1)



x

?0



x

? 1恒成立,

令 h(x) ? 2x ln x ? x2 ?1 ,则 h?(x) ? 2ln x ? 2 ? 2x ,再次求导 h??(x) ? 2 ? 2 ? 0 , x
①若 x ?1,可知 h?(x) 在区间 (1,? ?) 上递减,有 h?(x) ? h?(1) ? 0 ,

可知 h(x) 在区间 (1,? ?) 上递减,有 h(x) ? h(1) ? 0 ,

而1 1? x2

?

0,

-9-



1 1? x2

h(x)

?

0





1 1? x2

(2x ln

x

?

x2

?1)

?

0



②若 0 ? x ?1,可知 h?(x) 在区间 (0,1) 上递增,有 h?(x) ? h?(1) ? 0 ,

可知 h(x) 在区间 (0,1) 上递减,有 h(x) ? h(1) ? 0 ,而 1 1? x2

? 0,



1 1? x2

h(x)

?

0

,即 1 1? x2

(2x ln

x

?

x2

?1)

?

0



故当 n ? 1 (2xln x ? x2 ?1) 恒成立时,只需 n ?(??,0] ,又 n 为整数, 1? x2

所以,n 的最大值是 0..................................12 分

22.(1)



;(2) .

【解析】(1)由直线 的参数方程消去参数 ,得

,即

.

所以直线 的普通方程为

.

圆 的极坐标方程为

,即



将极坐标方程与直角坐标方程的转化公式

代入上式可得

,即

,此为圆 的直角坐标方程. .................................5 分

(2)由(1)可知圆 的圆心为

,半径 ,

所以



而 的最小值为圆心 到直线 的距离

.

所以 的最小值为

..................................10 分

23.(1) a ? 3(2) m ? 1 2
【解析】
(1)由 f ?x? ? 2 得 x ?a ? 2 ,解得 a?2 ? x ? a?2 ,又不等式 f ?x? ? 2 的解集为

- 10 -

a ?2 ?1

{x |1 ? x ? 5},所以{

,解得 a ? 3 ;...............................5 分

a?2?5

(2)当 a ? 3时, f ? x? ? x ?3 , 设 g ?x? ? f ?2x? ? f ?x ? 2? ,

3x ? 4, x ? 3 2
则 g ? x? ? f ?2x? ? f ? x ? 2? ? 2x ? 3 ? x ?1 ? {2 ? x, 1 ? x ? 3 ,
2 ?3x ? 4, x ? 1

所以

g

?

x?

的最小值为

g

? ??

3 2

? ??

?

1 2



故 当 不 等 式 f ?2x? ? f ?x ? 2? ? m 对 一 切 实 数 x 恒 成 立 时 实 数 m 的 取 值 范 围 是
m ? 1 ..................................10 分 2
司马迁与班固 司马迁作《史记》,完成于汉武帝末年。班固书未而者因与外戚窦宪的关系死狱中事在和永元四(公92)一属西东相去各约0今日看来这两部好像联袂出其实它们间隔了大18等我现距离清嘉庆朝时 《史记》为私人著作,汉书则经皇帝看过有国的色彩。司马迁自称“成一家之言”和藏名山已班固宗旨不同况且是通断代两位个性癖好这也使他们在取材行文间相当出入公元前90年中思想所处社会环境大幅度变化其关键于武用董仲舒建议罢斥百独尊儒术我里要特别指并以目而了树立种统正坦白地承认提倡学支持时政权置五博士、校官策贤良都根据此着眼从庞集团施逻辑读受影响到生活规多基础 司马迁和班固一样,自称是周公孔子的信徒。可今日我们打开《史记》随意翻阅三五处即以体会到作者带着种浪漫主义个人风爽快淋漓不拘形迹无腐儒气息他“少负羁之才长乡曲誉”应当真实写照所崇奉士为知己用女悦容也说源于家道德这立场就已经过正统限制谓同了 《史记》里写荆轲和高渐离饮酒击筑,又歌泣旁若无人已近于董仲舒所说的“邪辟”。并且项羽是汉祖刘邦死对头而本纪排列在之前(后代必称酋伪楚只能降格为载)文中把成一个虽暴躁却浑憨可爱角色其英雄末路令怜惜与相较反像君子 《史记》除了刺客列传之外,还有滑稽日者和龟策可谓涉及九流三教呈现整个社会剖面的样子。班固书里虽东方朔却不再缕非正派或下文化资料 也因其如此,司马迁就受到班固的指责。《汉书》里有传内中批评他“又是非颇缪于圣人论大道则先黄老而后六经序游侠退处士进奸雄述货殖崇势利羞贱贫所蔽” 这些地方还不足以表现班固的正统思想,最使我们看出他作品在历史上是属于“罢斥百家独尊儒术”之后产物乃《汉书》卷二十古今人。里列有193位代名包括传奇中如女娲氏、巢论语孔门弟子春秋国君等至秦亡为止由者显善昭恶原则按下区分三九内得圣四皇五帝周公殿仲尼外即再无孟也只与颜渊管同仁老商鞅申墨翟韩非都孙膑白起一流刺客荆轲和尝吕韦而愚既蚩尤共工苗倾城褒姒妲己始虽焚坑贬因面世胡亥入宦官赵高 因此,我们也可以推想出世俗观念中儒家的拘泥并不一定是孔子和他门徒真性格。那些呆板多方面样还后人所造其目在维持文官集团紧凑总算国读书运气好得有太史公司马迁兰台令班固之前写作否则没《记》径由汉开二十三端学传统必更趋向“载道”针缺乏百殊实生动活泼了 1.关于《史记》和汉书的表述,下列理解符合原文意思一项是 A.《史记》完成于汉武帝末年,书和永元四一属西东代相差约180。 B.《史记》为私人著作,而汉书则经皇帝看过带有国的色彩因此在编修上要比更严谨和准确。 C.司马迁的“成一家之言”藏名山宗旨和班固作《汉书》有很大不同,这就决定了史记是通断代。 D.汉武帝用董仲舒之建议,罢斥百家独尊儒术司马迁的思想并未受此影响而班固则不同这也是《史记》和书风格差异重要原因。 2.下列理解和分析,不符合原文意思的一项是 A.董仲舒之尊儒,并不是以为目的其真正在于树立一种统帝国思想支持当时政权。班固受影响呈现《汉书》创作中 B.司马迁和班固都认同儒家思想,但是作者个人气质的巨大差异使得《史记》汉书文风明显带着一种浪漫主义。 C.《史记》和汉书在对待项羽的态度上差异明显,里本纪排列高祖之前这中是不可能出现。 D.《史记》里的人物涉及三教九流各色等,如日者(占卜)而汉书秉持官方正统思想较少录不符合观念。 3.根据原文内容,下列理解和分析不正确的一项是 A.班固在《汉书?司马迁传》中表达了对的看法“是非颇缪于圣人”,他认为史记叙观念有悖之道。 B.《汉书》里的卷二十古今人表按照官方正统观念把历史物分为三等九则,内中得“上圣”者四仲尼之后即再无现了极强独尊儒术态度。 C.我们现在所看到的孔子及其门徒形象,多半出于汉朝“独尊儒术”以后历史典籍这些并不是他真实。 D.《史记》中把项羽刻画成一个虽暴躁却又浑憨可爱的末路英雄形象,与之相比刘邦反像伪君子这样描述在汉书是不能出现。 【答案】1.D2B3C 【解析】 1.试题分析:A项,根据原文可知班固死于狱中是在汉和帝永元四年《书》成此之后;B“编修上要比史记更为严谨准确”的说法无C强加因果。 2.试题分析:根据文意可以判断“个人气质的极大差异”并不是主要原因,班固受官方正统儒家思想影响较。 3.试题分析:C项说法过于绝对,根据最后一段可知作者是“推想”不定孔子及其门徒的真性情。

- 11 -


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