2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习空间的距离


一.内容归纳

空间的距离

1. 知识精讲:

(1) 点到直线的距离:点P到直线 a 的距离为点P到直线 a 的垂线段的长,



常先找或作直线 a 所在平面的垂线,得垂足为A,过A作 a 的垂线,垂足为

B连PB,则由三垂线定理可得线段PB即为点P到直线 a 的距离.在直角

三角形PAB中求出PB的长即可.

a

(2)异面直线间的距离:异面直线 a,b 间的距离为 a,b 间的公垂线段的长.常 ? A



用求法①先证线段AB为异面直线 a,b 的个垂线段,然后求出AB的长即可.②找或作出过 b

且与 a 平行的平面,则直线 a 到平面的距离就是异面直线 a,b 间的距离.③找或作出分别过

a,b 且与 b , a 分别平行的平面,则这两平面间的距离就是异面直线 a,b 间的距离..
(3)点到平面的距离:点P到平面? 的距离为点P到平面? 的垂线段的长.常用求法①作
出点P到平面的垂线后求出垂线段的长.②体积法. (4)直线到平面的距离:只存在于直线和平面平行时.为直线上任意一点到平面的距离. (5)平面与平面间的距离:只存在于两个平行平面时.为一个平面上任意一点到另一个平面 的距离. (6)以上所说的所有距离:点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两点 间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。 二、例题选讲
例 1、在平面 ? 内有 ? ABC,在平面外有点S,斜线SA ? AC,SB ? BC,且斜线S

A,SB与平面 ? 所成的角相等,点S到平面 ? 的距离为4 cm ,AC ? BC,且AB=6 cm ,

求点S与直线AB的距离



解:如图,过S作SD ? 平面 ? 于D点,连结D

A,DB,则 ? SAD, ? SBD分别为SA, SB和平面 ? 所成的角,?? SAD= ? SB
D,从而,Rt?SAD ? Rt?SBD,?SA=SB,?

?A

D O

B C

SA ? AC,SB ? BC,?? SAC= ? SBC= 90 0 .又SC=SC,? Rt?SAC ? Rt?SBC,?AC=BC,取AB的中点

O,连结SO,则由于SA=SB,所以SO ? AB.从而线段SO的长就是S点到直线 AB的距离.?SD ? ? ,?DA是SA在平面 ? 上的射影.又SA ? AC ,由三垂线

定理的逆定理,得DA ? AC.同理DB ? BC.又AC ? BC,AC=BC?四边形

ACBD是正方形.?O是对角线AB的中点,OD= 1 AB=3.在 Rt?SOD 中,S 2

D=4,OD=3,SO= SD2 ? OD2 =5.即S到直线AB的距离等于5 cm.

[思维点拔]用三垂线定理或其逆定理作出距离是最常用的方法.



2、如图,已知正方体ABCD-

A1

B1

C1

D 1

棱长为 a



求异面直线BD与 B1 C的距离.

(解法供选用)

解法一:连结AC交BD的中点O,取 CC1 的中点M,连结

D 1

C1

BM交 B1C 于E,连 AC1 ,则 OM // AC1 ,过E作EF// OM交OB于F,则 EF // AC1 ,又斜线 AC1 的射影为AC, B D ? A C , ? BD ? AC1, ? FE ? BD , 同 理

A1
D A

B1





C O
FB

AC1 ? B1C, EF ? B1C ,?EF 为BD与 B1C 的公垂线,由

于M为 CC1 的中点,

?MEC ∽ ?BEB1 ,?

MC BB1

?

ME BE

?

1 2



BM ? 5 , BE ? 2 MB ? 5 a ,EF//OM, BF ? BE ? 2 ,故 BF ? 2 OB=

2

3

3

BO BM 3

3

2 a ,? EF ? BE 2 ? BF 2 ? 3 a .

3

3

解法二.(转化为线面距)因为BD//平面 B1D1C , B1C ? 平面 B1D1C ,故BD与 B1C 的

距离就是BD到平面

B1 D1C

的距离,由

V ? V B?B1D1C

D1 ?B1BC

,即

? ? 1 ? 3 ?
34

2a

2
h

?

1? 3

1 2

a2

?a

,得 h

?

3a. 3

解法三.(转化为面面距)易证平面 B1D1C //平面 A1BD ,用等体积法易得A到平面 A1BD

的距离为

3 3

a

,同理可知:

C1

到平面

B1 D1C

的距离为

3 3

a

,而

A1C

?

3a ,故两平面间

距离为 3 a . 3

解 法 四 .( 垂 面 法 ) 如 图 , B D / / 平 面 B1D1C , B1D1 ? A1C1, B1D1 ? OO1 ,B1D1 ? 平面 OO1C1C ,平 OO1C1C ? 平面 B1D1C = O1C , O1 ? B1D1 ,故 O 到 B1D1C 的 距 离 为 Rt?O1OC 斜 边 上 的 高

D 1
A1
D A

C1
O1
B1
C O


面 平面

2

h ? OC ? OO1 ? a ?

2

a ?

3 a。

O1C

3a

3

2

解法五。(函数最小值法)如图,在上取一点 M,作 ME ? BC 于 E,过 E 作 EN ? BD 交 BD 于 N,易知 MN 为

B1C 的公垂线时,MN 最小。设 BE= x ,CE=ME= a ? x ,

D 1
A1
D A

C1

B1 M



N

E



BD 与

EN= 2 x ,MN== 1 x 2 ? ?a ? x?2 = 3 x 2 ? 2ax ? a 2

2

2

2

=

3 ?? x ? 3 a ??2 ? a2 2? 2 ? 3

。?当时

x

?

2 3

a

,时,

?MN

?m in

?

3 a。 3

[思维点拔]以上给出了求异面直线的几种常用方法,要细细体会并记住。

例 3、线段AB与平面? 平行,平面? 的斜线 A1 A, B1B 与平面? 所成角分别是 30 0 ,60 0 ,且

?A1 AB ? ?B1BA ? 90 0 , AB ? a, A1B1 ? b?b ? a? .求AB与平面? 的距离.
解:作AC ? 平面? 于C,作BD ? 平面? 于D,因为AB//? ,CD=平面? ? 平面A BCD,所以AB//CD,又CD ? CA,所以AB ? CA.又因为AB ? AA1 ,所以A

B ? 平面 A1 AC .同理,AB ? 平面 B1BD .所以平面 A1 AC //平面 B1BD ,所以 A1C // B1D .考

虑到 B1在CD的同侧或在CD的异侧,所以应分两种情形讨论.

(1) 如图,当 A1, B1 在CD的同侧时,在? 内作 B1E ? A1C 于点E,则 ?B1EA1 ? 90 0 .已

知 ?AA1C ? 30 0 , ?BB1D ? 60 0 .设BD=



a



x , 则 B1D ?

3 3

x



A1C

?

3x , 所 以

C E

? A1

b

D B1

A1E ? A1C ? EC ?

3x ? 3 x ? 2 3 x

3

3

.①.又在

Rt?A1B1E

中,

A1E ?

A1B12 ? B1E 2 ?

b2 ? a2 ,② 由①②得 2 3 x ? 3

b2 ? a2 ,

所以, x ? 3 b2 ? a 2 . 2

(2) 如图,当 A1, B1 在CD的异侧时,在? 内作 A1E ? B1D 交 B1D 的延长线于E.设B

D=

x

,则

B1E

?

B1D

?

DE

?

43 3

x

,③

B1E ? A1B12 ? A1E 2 ? b2 ? a2 , ④

由③④得: x ? 3 b2 ? a 2 . 4

A

aB

C b
? A1

B1 D
E

故AB与平面? 的的距离是 3 b 2 ? a 2 或 3 b 2 ? a 2 .

2

4

[思维点拔]在立几中要特别小心这种不同情形的讨论.

例 4、在长方体中 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=4,BC=3,CC1=2,
(1)求证:平面 A1BC1//平面 ACD1; (2)求(1)中两个平行平面间的距离 解:(1)由于 BC1//AD1,则 BC1//平面 ACD1 同理,A1B//平面 ACD1,则平面 A1BC1//平面 ACD1 (2)设两平行平面 A1BC1 与 ACD1 间的距离为 d, 则 d 等于 D1 到平面 ACD1 的距离,易求 A1 C1=5,

A1B=2 5 ,BC1= 13 ,

则 cos ?A1BC1 ?

2 65

,则 sin ?A1BC1

?

61 65

,则

S ?A1BC1

?

61

V 由于 D1 ? A1BC1

?

VB

?

A1C1D1

,则

1 3

S

?A1BC1

?d

?

1 3

?

?? ?

1 2

?

AD1

?

C1

D1

?? ?

?

BB1



代入求得 d ? 12 61 ,即(1)中两个平行平面间的距离等于 12 61 。

61

61

例 5、点 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA ? 面 ABCD,Q 为线段 AP 的中点,AB=3,BC=4,
PA=2,求

(1) Q 到直线 BD 的距离。 (2) 点 P 到平面 BQD 的距离
解:(1)在平面 ABCD 内作 AE ? BD,E 为垂足,连结 QE 则 QE ? BD ,算得 QE ? 13
5
(2)解法一:由于 Q 为 PA 中点,所以点 P 与点 A 到 平面 BQD 距离相等
在平面 AEQ 中,作 AF ? EQ,F 为垂足,则 AF ? 面 BQD

在 Rt?AEQ中,AF= 12 ,故点 P 到平面 BQD 的距离为 12

13

13

解法二:(等积法)根据 V A? BDQ

? VQ? ABD 得点

P

到平面

BQD

的距离为 12 13

课堂小结:

1. 求各类距离主要还是要熟悉各种解题的方法,并且把它记住,灵活运用。

2. 注意作证算三个步骤一定要清楚。 课外作业
能力提高 ex7.8 基础强化 ex7.8


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